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第五节矩阵的秩与矩阵的初等变换一、矩阵秩的概念二、矩阵的初等变换三、初等矩阵四、初等矩阵的应用五、小结思考题一、矩阵秩的概念矩阵的秩例1解由定义可知：非奇异方阵的秩等于它的阶数，故称其为满秩矩阵；而奇异方阵称为降秩矩阵。由定义可得，定理1：若矩阵A中至少有一个k阶子式不为零，而所有k+1阶子式全为零，则A的秩等于k。定义3下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换定理2对矩阵实施初等变换，矩阵的秩不变。由该定理，告诉我们求矩阵秩的方法。例2例2解计算A的3阶子式，另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．定义4证*矩阵秩的求法经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．证毕初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例3解由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是的一个最高阶非零子式.例4解分析：定义5由单位矩阵

E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵的概念定理3设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.四、初等矩阵的应用初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵

定理4设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵证即利用初等变换求逆阵的方法：解例4即初等行变换例5解列变换列变换解例6五、小结思考题(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);3.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．5.矩阵等价具有的性质4.初等变换思考题思考题解答答相等.即由此可知思考题已知四元齐次方程组及另一四元齐次方程组的通解为思考题解答解小结21.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是:思考题思考题解答

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