用正交变换化二次型为标准形课件_第1页
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用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组4．将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为五、小结

1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．6.2正定二次型与正定矩阵一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．

下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质．二、正(负)定二次型的概念为正定二次型为负定二次型例如为不定型二次型三、正(负)定二次型的判别推论对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．定理3正定矩阵具有以下一些简单性质：这个定理称为霍尔维茨定理．定理4

对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即定义2推论对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即例3

判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，例4

判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.解例5

若二次型正定，求参数

t

应满足的条件.2.

正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(3)顺序主子式判别法；(2)特征值判别法.四、小结

1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．

3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导．1、解矩阵方程2、行列式的计算已知,且,求矩阵,故可逆,3方程组求解：何时有唯一解，无解，无穷多解线性方程组为

,问,各取何值时,线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。2，方程组有唯一解;

2，1时，方程组无解;

2，1时，

方程组有无穷多解P69例3两种解法4、求向量组的最大无关组，其余向量用最大无关组表示P90例1p93例45、证向量组线性无关（相关）设向量组线性无关,而向量组线性相关,线性无关.证明:向量组线性无关。6、二次型化为标准形设,则=__2__

，则有（B）。时，必有秩（B）当时，必有秩（C）当时，必有秩（D）当时，必有秩（A）当.设其中则方程的解为__

设为矩阵,为矩阵,则（）。时,必有行

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