第八章：向量代数及空间解析几何详解课件

四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影向量及其线性运算表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线

.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面

.记作－a;二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.2.向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此定理1.

设

a

为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b

同向时则b

与a

同向,设又有b＝

a,“”则例1.

设M

为解:ABCD对角线的交点,已知

b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥bⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,则沿三个坐标轴方向的分向量.此式称为向量

r

的坐标分解式

,任意向量r

可用向径

OM

表示.向径在直角坐标系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组(称为向量和点

M

的坐标)原点O(0,0,0);四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得例3.已知两点在AB直线上求一点M,使解:

设M

的坐标为如图所示及实数得即说明:由得定比分点公式:点

M为AB

的中点,于是得中点公式:五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与例4.

求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点例5.

在z

轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考:

(1)如何求在

xoy

面上与A,B

等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B

等距离之点的轨迹方程?离的点.提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点和解:求2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)

为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角

,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作方向余弦的性质:例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例8.设点A

位于第一卦限,解:已知角依次为求点A

的坐标.则因点A

在第一卦限,故于是故点A

的坐标为向径OA

与x

轴y轴的夹3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影的性质（保加与数乘）:记作向量在坐标轴上的投影与坐标的关系在空间直角坐标系下,则既是向量的坐标，也是向量沿三个坐标轴的投影.此式称为向量

r

的坐标分解式

,任意向量r

可用向径

OM

表示.沿三个坐标轴方向的分向量.解:

因例9.设求向量在x

轴上的投影及在y轴上的分向量.在y

轴上的分向量为故在x

轴上的投影为第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积数量积向量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积).引例.

设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为记作故2.性质为两个非零向量,则有3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;例1.

证明三角形余弦定理证:则如图.设4.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得例2.

已知三点AMB.解:则求故二、两向量的向量积引例.

设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量

M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F

作用在杠杆上的力1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:

右图三角形面积S＝2.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律证明:4.向量积的坐标表示式设则向量积的行列式计算法例3.已知三点角形

ABC

的面积

解:

如图所示,求三思考与练习1.设计算并求夹角

的正弦与余弦.答案:2.用向量方法证明正弦定理:证:由三角形面积公式所以因内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念二、旋转曲面

三、柱面曲面及其方程

一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:

动点轨迹为线段

AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.

定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).故所求方程为例1.

求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:

设轨迹上动点为即依题意距离为

R

的轨迹表示上(下)球面.例2.

研究方程解:

配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.定义2.一条平面曲线二、旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:建立yoz面上曲线C

绕

z

轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点给定yoz

面上曲线

C:则有则有该点转到思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z

轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例4.

求坐标面xoz

上的双曲线分别绕

x轴和

z

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕

x

轴旋转绕

z

轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为三、柱面引例.

分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy

面上，表示圆C,沿曲线C平行于

z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意

z,平行

z

轴的直线

l,表示圆柱面在圆C上任取一点

其上所有点的坐标都满足此方程,定义3.平行定直线并沿定曲线C

移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xoy

面上的抛物线.

z

轴的椭圆柱面.z

轴的平面.表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于C

叫做准线,l

叫做母线.一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x

轴;平行于

y

轴;平行于

z

轴;准线

xoz

面上的曲线l3.母线柱面,准线

xoy

面上的曲线l1.母线准线

yoz

面上的曲线l2.母线四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)1.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x

或y方向的伸缩变换得到．

)2.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与的交线为椭圆：(4)当a＝b

时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c

时为球面.(3)截痕:为正数)3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）平面

上的截痕情况:双曲线:虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;相交直线:双曲线:(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面图形4.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q

同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当p=q时为绕

z轴的旋转抛物面.(p,q同号)一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线

C.C又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t

的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距

.例1.将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去

z

得投影柱面则C在xoy

面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz

面上的投影曲线方程消去y得C在zox

面上的投影曲线方程例如,在xoy

面上的投影曲线方程为画出下列各曲面所围图形:

又如又如,所围的立体在xoy

面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy

面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy

面上的投影曲线所围之域.又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.第五节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角平面及其方程一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:

动点轨迹为线段

AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.

定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).①一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故例1.求过三点即解:取该平面

的法向量为的平面

的方程.利用点法式得平面的方程例2求过点

且垂直于二平面和的平面方程.解:

已知二平面的法向量为取所求平面的法向量

则所求平面方程为化简得二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.特殊情形•

当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

通过原点的平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于

y

轴的平面;平行于

z

轴的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.例3.

求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通过

x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为例4.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为

平面∏2的法向量为则两平面夹角

的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.特别有下列结论：因此有例5.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且外一点,求例6.设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0

到平面的距离为(点到平面的距离公式)内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:第六节一、空间直线方程二、线面间的位置关系空间直线及其方程一、空间直线方程因此其一般式方程1.一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)2.对称式方程故有说明:

某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量3.参数式方程设得参数式方程:例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.二、线面间的位置关系1.两直线的夹角

则两直线夹角

满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为特别有:例2.

求以下两直线的夹角解:直线直线二直线夹角的余弦为从而的方向向量为的方向向量为当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角

称为直线与平面间的夹角;2.

直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线

L的方向向量为平面

的法向量为则直线与平面夹角

满足直线和它在平面上的投影直︿特别有:解:

取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.

为所求直线的方向向量.垂例3.求过点(1,－2,4)