数学大观03凌波微步课件

数学大观3

凌波微步微积分

李尚志北京航空航天大学

数学实验:微积分基础

函数图象：sin(x)及其Tylor逼近。sin(x)+sin(3x)/3+…sin(1/x)在x=0附近的性状。sin(x)

及其Tylor

逼近

球面镜的反射2023/7/24球面镜的反射

正确的聚光镜

形状2023/7/242023/7/24

sin(1/x)在x=0附近

[-1,1][-0.01,0.01]2023/7/24的计算

想一想：怎样算

？当一回祖冲之！

圆的面积2023/7/24无穷级数法

arctanx=x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-...

/4=arctan1=1-1/3+1/5-1/7+1/9-…

收敛太慢！

|x|应当比1小很多，级数收敛才快。

/4=arctan1/2+arctan1/3

/4=4arctan1/5-arctan1/239

蒙特卡罗法2023/7/24

调和级数

H（n）=1+1/2+…+1/n

的图象与lnx相比较

c=limn

(H(n)-lnn)

称为欧拉常数

2023/7/24最佳分数近似值祖冲之的圆周率:约率与密率最佳近似值：误差小，分母小。

准确值z=,分数近似值u/v，误差d=|z-u/v|。选法1：递增选v，使d递减。选法2：递增选v，使vd

递减。选法3：以v2d小为佳，选十佳。2023/7/24快速寻佳2023/7/24寻优光的折射定律光在同一种介质中走最短路线（直线），聪明！从一种介质进入另一种介质发生折射，傻了？2023/7/24光的反射2023/7/24光的折射2023/7/24设光在两种介质中的速度比为u，两介质分界线为直线。从第一介质的A点到第二介质的B点，走怎样的路线时间最短？问题：2023/7/24光的折射:

舍近求远大智慧2023/7/24

天不均匀地不平风云变幻大江东入水光线改方向

露珠圆圆看晶莹

不等式2023/7/24最速降线重力场中高度不同的两点A，B。在A静止的质点沿怎样的路径下滑到B点，时间最少？2023/7/24寻找最速降线求T=f(y1,y2,…,yn-1)的最小值点(y1,y2,…,yn-1)。用光滑曲线连接点Pi等时曲线2023/7/24

最速降线的形状2023/7/24

之一微分

凌波能信步苦海岂无边函数千千万万一次最简单微积分诗四首2023/7/24

隐函数存在定理

F(x,y)在某点P0可微何时由

F(x,y)=0确定

y=f(x)?线性化:

y=f(x)在

x0可微,导数为

2023/7/24

可微函数n个方程=0,线性化即当detB时有唯一解隐映射定理2023/7/24一元微积分物理：以匀速代替非匀速几何：以直代曲（只能看不能算）代数：以线性代替非线性例.自由落体x=4.9t2.求t秒末的速度.解：

x(t+Dt)=4.9(t+Dt)2=4.9t2+9.8t(Dt)+4.9(Dt)2线性化：

x(t+Dt)≈4.9t2+9.8t(Dt)误差4.9(Dt)2:

Dt

的无穷小倍=o(Dt).速度vt=一次项系数9.8=导数几何:以直代曲抛物线x=4.9(t+Dt)2

在点(t,4.9t2)附近被切线x=4.9t2+9.8Dt

近似代替速度v1=切线斜率此几何意义与x,t

的物理意义无关可以推广到别的函数y=f(x)DtDxtx微分与导数函数y=f(x)在x=a附近线性化。

函数增量Dy=f(x)-f(a),自变量增量Dx=x-a

Dy

≈kDx

，误差:Dy–kDx=o(Dx)

微分:

dy=kDx导数:=k,记为f’(a)=变化率=切线斜率.

一次函数代替f(x):y=f(x)≈f(a)+f’(a)DxxDxDyy假作真时貌似真极限：

f(x)A即:f(x)=A+q,q无穷小(0).

若f(x)A,g(x)B

f(x)g(x)=(A+q1)(B+q2)=AB+q1B+Aq2+q1q2AB无穷小的代数性质

(同济.用e-d语言证明.)可以将q1,q2看成0，略去不写写f(x)≡A,g(x)≡B,像等式一样加、减、乘得到f(x)±g(x)≡A±B,f(x)g(x)≡AB即f(x)±g(x)A±B,f(x)g(x)AB.被忽略的元素集合={无穷小}=O(Dx)微分：Dy≡dy

（modo(Dx))

f(x)≡f(a)+f

’(a)Dx（modo(Dx))多项式的导数.多项式f(x)=anxn

+…+a1x+a0

的导数:差分Df(x)=f(x+t)–f(x)=(nanxn-1+…+a1)t+(…)t2

是t的多项式,其中t的一次项系数即f’(x)

=nanxn-1+…+a1

和差积商的导数公式f(x)

≡

f(a)+f’(a)Dx

g(x)≡

g(a)+g’(a)Dx

两式相加减和差的导数相乘乘积的导数f(x)g(x)≡f(a)g(a)+(f(a)g’(a)+g(a)f’(a))Dx倒数的导数:

指数函数的微分ax+Dx

≡ax+kDx(modo(Dx)),aDx

≡1+lDx,l=k/ax(a1/l)

lDx

≡1+lDxbt

≡1+t,b=a1/l,t=lDx，取

t=1/n,b1/n

≡1+1/n(o)b≡(1+1/n)n(O)?b1/n

=(1+1/n)(1+q/n),b=(1+1/n)n(1+q/n)n

1+q

<(1+q/n)n

<1/(1-q/n)n

<1/(1-q)n∞,

q0,b=e,a=el,l=lna,(ax)’=k=axlna.

对数函数的导数k=lim(loga(x+Dx)

–logax)/Dx,=lim

loga(1+Dx/x)1/Dx,t=Dx/x

=(1/x)lim

loga(1+t)1/t=(1/x)logae当a=e时k=1/x.

之二泰乐展开漫天休问价就地可还钱我有乘除加减翱翔天地间微积分诗四首2023/7/24

罗必达法则例.求极限

(1)(2)分子分母都是多项式:享受幸运约分.Else,创造幸运化成多项式再约分.

之三定积分一帆难逢风顺一路高低不平平平淡淡分秒编织百味人生微积分诗四首2023/7/24微积分基本概念（二）

----定积分

速度v(t)

路程s(t)

路程=速度*时间

速度变化怎么办?

分段计算:Dsi=v(ti)*Dti

各段相加：s=Si

Dsi,Dti0微积分基本概念（三）

----微积分基本定理

飞檐走壁