第7章-无穷级数解剖课件

第七章无穷级数第一节

数项级数第二节

幂级数第三节傅立叶级数第一节数项级数7.1.1

无穷级数的概念和基本性质7.1.2

正项级数敛散性的判别法7.1.3

任意项级数的敛散性判别法第七章无穷级数问题的提出1.计算半径为R圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积级数的定义(常数项)无穷级数部分和数列级数的部分和一般项级数的收敛与发散数项级数因为上式每一项都是常数，所以也叫常数项级数，简称数项级数.级数的部分和级数的收敛与发散示例讨论几何级数的敛散性.∴所给级数收敛，和为1示例讨论几何级数的敛散性.∴所给级数收敛，和为1示例讨论调和级数的敛散性.观察图中阴影部分，可以看出第一块矩形的面积第二块矩形的面积第块矩形的面积……示例所以阴影部分的总面积为显然大于与其对应的曲边梯形的面积因此调和级数是发散的解两个重要的级数无穷级数的基本性质性质一性质二注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;

发散2.必要条件但不充分.讨论这是不可能的无穷级数的基本性质性质三性质四注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.

收敛

发散例如例

判别级数的敛散性解该级数发散示例判断级数的敛散性.示例判断级数的敛散性.正项级数正项级数敛散性的判别法比较判别法

示例判断级数的敛散性.正项级数敛散性的判别法极限形式的比较判别法

正项级数敛散性的判别法示例判断级数的敛散性.正项级数敛散性的判别法比值判别法

示例判断级数的敛散性.任意项级数敛散性的判别法若交错级数满足条件则该级数收敛，且其和

莱布尼茨定理示例判断级数的敛散性.任意项级数敛散性的判别法示例判断级数的敛散性.所以由比值判别法判知

绝对收敛与条件收敛示例判断级数是绝对收敛、条件收敛还是发散.示例第七章无穷级数第一节数项级数第二节幂级数第三节傅立叶级数第二节幂级数7.2.1

幂级数及其收敛域7.2.2

幂级数的运算性质7.2.3

函数展开为幂级数第七章无穷级数函数项级数的概念收敛点与收敛域（2）函数项级数的部分和（3）余项(x在收敛域上)注：函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是常数项级数的收敛问题.和函数函数项级数的收敛所有收敛点的集合称为收敛域。例

求的和函数解幂级数及其收敛性1.定义12.收敛性:幂级数

称为幂级数的收敛半径，此时幂级数的收敛域是以原点为中心，以为半径的一个区间，此区间称之为收敛区间.幂级数的收敛半径与收敛区间幂级数的收敛半径的判定示例求的收敛半径.示例求的收敛区间.示例例

求幂级数

的收敛域.解令,原级数化为当时,,级数发散,当时,,级数收敛,原级数的收敛域为

的收敛域为幂级数的运算性质性质一性质二幂级数的运算性质性质三性质四幂级数的运算性质示例求幂级数在其收敛区间内的和函数，并求的和.设级数的和函数为，则逐项积分得

两边求导得

示例解两边积分得解收敛区间(-1,1),注：常用已知和函数的幂级数函数展开为幂级数麦克劳林级数

定理定理注意函数的麦克劳林级数是唯一的.函数的麦克劳林级数

≠把函数展开为麦克劳林级数求出函数的麦克劳林级数不仅求出函数的麦克劳林级数，而且该级数收敛于函数本身函数展开为麦克劳林级数的方法直接展开法

示例将函数展开为的幂级数.示例例解函数展开为麦克劳林级数的方法间接展开法

从已知函数的幂级数展开式出发，通过变量替换、四则运算，或逐项求导、逐项积分等方法求出未知函数的展开式示例将函数展开为的幂级数.示例将函数展开为的幂级数.例解第七章无穷级数第一节数项级数第二节幂级数第三节傅立叶级数三角级数三角函数族三角函数族的正交性函数的傅立叶级数则函数的傅立叶级数傅立叶级数的敛散性示例设是周期为的函数，它在上的表达式为，将展开成傅立叶级数示例先计算傅