2021年体育单招数学试题及答案

2021年体育单招数学试题及答案

全国普通高等学校运动训练、民族老式体育专业单招统一招生考试数学一、选择题：1.若集合A={x|2<x<7/2,x∈N}，则A元素共有（）A.2个B.3个C.4个D.无穷个2.圆x^2+y^2+2y-7=0的半径是（）A.9B.8C.22D.63.下列函数中减函数是（）A.y=|x|B.y=-x^3C.y=2x+x^2sinxD.y=ex+e-x4.函数f(x)=2x-x^2的值域是（）A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.[0,2]D.[0,1]5.函数y=3sin4x-3cos4x最小正周期和最小值分别是（）A.π和-3B.π和-2/3C.π/2和-3D.π/2和-2/36.已知ΔABC是钝角三角形，A=30°，BC=4，AC=√3，则B=（）A.135°B.120°C.60°D.30°7.设直线l，m，平面α，β，有下列4个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l//m②若l//β，m//β，则l//m③若l⊥α，l⊥β，则α//β④若m//α，m//β，则α//β其中，真命题是（）A.①③B.②③C.①④D.②④8.从5名新队员中选出2人，6名老队员中选出1人，构成训练小组，则不同构成方案共有（）A.165种B.120种C.75种D.60种9.双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1一条渐近线斜率为3，则此双曲线离心率为（）A.√23B.√3/3C.2D.410.已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x^2+ln(x+1+x^2)，则当x<0时，f(x)=（）A.-x^2+ln(x+1+x^2)B.x^2-ln(x+1+x^2)C.-x^2+ln(-x+1+x^2)D.x^2+ln(x+1+x^2)二、填空题：1.1-2x/(x+3)>0的解集是(-3/2,1)U(∞,-3)2.若椭圆焦点为(-3,0)，(3,0)，离心率为1/5，则该椭圆的标准方程为25x^2+5y^2=1253.不等式√(x+2)>x-1的解集是(-2,1)U(4,∞)4.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan2α=-7/245.若向量a，b满足，|a|=1，|b|=2，a·b=-1/3，则cos∠(a,b)=-1/36.(2x-1)的展开式中x的系数是4全国普通高等学校运动训练、民族老式体育专业单招统一招生考试数学一、选择题：1.集合A={x|2<x<7/2,x∈N}，则A元素的个数是（）A.2个B.3个C.4个D.无穷个2.圆x^2+y^2+2y-7=0的半径是（）A.9B.8C.22D.63.下列函数中是减函数的是（）A.y=|x|B.y=-x^3C.y=2x+x^2sinxD.y=ex+e-x4.函数f(x)=2x-x^2的值域是（）A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.[0,2]D.[0,1]5.函数y=3sin4x-3cos4x的最小正周期和最小值分别是（）A.π和-3B.π和-2/3C.π/2和-3D.π/2和-2/36.已知ΔABC是钝角三角形，A=30°，BC=4，AC=√3，则∠B=（）A.135°B.120°C.60°D.30°7.设直线l，m，平面α，β，有下列4个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l//m②若l//β，m//β，则l//m③若l⊥α，l⊥β，则α//β④若m//α，m//β，则α//β其中，真命题是（）A.①③B.②③C.①④D.②④8.从5名新队员中选出2人，6名老队员中选出1人，构成训练小组，则不同构成方案共有（）A.165种B.120种C.75种D.60种9.双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1一条渐近线斜率为3，则此双曲线离心率为（）A.√23B.√3/3C.2D.410.已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x^2+ln(x+1+x^2)，则当x<0时，f(x)=（）A.-x^2+ln(x+1+x^2)B.x^2-ln(x+1+x^2)C.-x^2+ln(-x+1+x^2)D.x^2+ln(x+1+x^2)二、填空题：1.1-2x/(x+3)>0的解集是(-3/2,1)U(∞,-3)2.若椭圆焦点为(-3,0)，(3,0)，离心率为1/5，则该椭圆的标准方程为25x^2+5y^2=1253.不等式√(x+2)>x-1的解集是(-2,1)U(4,∞)4.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan2α=-7/245.若向量a，b满足，|a|=1，|b|=2，a·b=-1/3，则cos∠(a,b)=-1/36.(2x-1)的展开式中x的系数是4(2a+1)<loga(3a)，则a的取值范围是多少？解：首先注意到loga(3a)=loga3+logaa=loga3+1，因此原不等式化为(2a+1)<loga3+1，即2a<loga3，a<√3。又因为a>0，所以a的取值范围是0<a<√3。17、某校组织跳远达标测验，已知甲同窗每次达标概率是3/4。她测验时跳了4次，设各次与否达标互相独立。（Ⅰ）求甲恰有3次达标概率；（Ⅱ）求甲至少有1次不达标概率。（用分数作答）解：（Ⅰ）甲恰有3次达标的概率为C4^3*(3/4)^3*(1/4)^1=27/64。（Ⅱ）甲至少有1次不达标的概率为1-甲全部达标的概率，即1-(3/4)^4=175/256。18、已知抛物线C：x=4y，直线l：x+y-m=0。（1）证明：C与l有两个交点充分必要条件是m>-1；（2）设m<1，C与l有两个交点A，B，线段AB垂直平分线交y轴于点G，求△GAB面积取值范围。解：（1）设交点为(x,y)，则有4y+y-m=0，即y=m/5。将其代入抛物线方程得x=4m^2/25，即交点为(4m^2/25,m/5)。C与l有两个交点的充分必要条件是交点坐标存在且不相等，即4m^2/25≠m/5，即m>-1。（2）设交点为A和B，由于线段AB垂直平分线，所以AG=GB，又由于A和B在抛物线上，所以AG=2yA，GB=2yB。因此2yA=2yB，即yA=yB，代入抛物线方程得xA=16yA^2，xB=16yB^2。设yA=a，则yB=a，xA=16a^2，xB=16a^2。因此线段AB的长度为√(16a^2-16a^2)=0，即线段AB为一个点，设该点为C。由于线段CG平行于x轴，所以GC=AB/2=0，即C和G重合。因此△GAB面积为0。19、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB//CD，且AB=2CD，∠ADC=90°。PA⊥平面ABCD，M是PD中点。（1）证明：AM//平面PBC；（2）设PA=AD=2AB，求PC与平面ABCD所成角正弦值。解：（1）连接PC和BM，由于AB//CD，所以∠ABP=∠CDP，又∠PDC=90°，所以∠BPC=∠DPB。因此三角形DPB和BPC相似，即DP/PC=PB/BC，又∠AMD=∠BPC，所以三角形AMD和BPC相似，即AM/PC=PB/BC。因此AM/PC=DP/PC，即AM=DP。因此AM//平面PBC。（2）连接PC和PM，由于∠PDM=90°，所以三角形PDM是直角三角形。又PA=AD=2AB，所以三角形APD是等腰直角三角形，因此PD=AD/√2=2AB/√2=AB√2。又M是PD的中点，所以PM=PD/2=AB√2/√2=AB。因此三角形PMB是等边三角形，所以∠MPB=60°，又∠BPC=∠MPB，所以∠BPC=60°。设PC=h，则AB=h/2，CD=h。由于AB=2CD，所以h=2CD/3，即PC=h/2=CD/3。因此PC与平面ABCD所成角正弦值为PC/CD=1/3。4.若m//α，m//β，则α//β错误。因为平行于同一始终线的两个平面可能是平行的，也可能相交，所以结论是错误的。因此，只有①和③是正确的，所以答案是A。8.从5名新队员中选出2人，6名老队员中选出1人，构成训练小组，则不同构成方案共有多少种？由于从5名新队员中选出2人，6名老队员中选出1人，构成训练小组，只有同时选出任务才算完成，因此使用乘法原理，C(5,2)×C(6,1)=60，所以答案是D。9.已知双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中一条渐近线的斜率为3，那么该双曲线的离心率是多少？由于该渐近线的方程为y=x，其斜率为3，因此a/b=3，又因为离心率的公式为e=√(a^2+b^2)/a，所以e=√(9+1)/3=2，所以答案是C。10.已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x^2+ln(x+1+x^2)，则当x<0时，f(x)=？由于f(x)是奇函数，因此f(x)=-f(-x)，所以f(x)=-(x^2+ln(-x+1+x^2))=-x^2-ln(1+x^2-x)=-x^2+ln(x+1+x^2)，所以答案是A。11.解不等式(1-2x)/(x+3/2)>1，得到解集为{x|-3<x<-1/2}。首先将分式化简，得到(1-2x)/(x+3/2)>1等价于1-2x>x+3/2或者1-2x<-(x+3/2)，解得-3<x<-1/2，所以答案是{-3<x<-1/2}。12.若椭圆焦点为(-3,0)，(3,0)，离心率为1/5，则该椭圆的标准方程为x^2/9+y^2/25=1。由于椭圆的离心率为c/a=1/5，其中a>b，因此设椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，解得a=9，b=5，所以方程为x^2/9+y^2/25=1，所以答案是x^2/9+y^2/25=1。1.a=5,b=a-c=25-9=16,222x^2+y^2=1。因为格式错误不明显，所以不需要改写。2.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan^2α=-4/7。根据正切函数的加法公式，tan(α+β)=tanα+tanβ/1-tanαtanβ，所以tanα+tanβ=3(1-tanαtanβ)，同理可得tanα-tanβ=5(1-tanαtanβ)。解得tanα=-4/7，代入tan^2α的公式得到答案。3.若向量a，b满足，|a|=1，|b|=2，a·b=-3/2，则cos<a,b>=-3/2。根据向量夹角公式，cos<a,b>=a·b/|a||b|，代入题目中的数值计算即可得到答案。4.(2x-1)展开式中x系数是-32。根据二项式展开式的通项公式，展开式中x^r的系数为C(n,r)a^(n-r)b^r，其中C(n,r)表示从n个元素中选取r个元素的组合数。代入题目中的数值，解得C(4,2)(-1)^2(2x)^2=216，化简得到答案。5.若<a<1，且loga(2a+1)<loga(3a)<1，则a取值范围是(1/3,1/2)。根据对数函数的性质，loga(x)的定义域为(a,∞)，当0<a<1时，loga(x)是单调递减函数。所以loga(2a+1)<loga(3a)等价于2a+1<3a<1，解得1/3<a<1/2，即a取值范围是(1/3,1/2)。6.甲有4次考试，每次考试有达标和不达标两种情况。已知甲的不达标概率为0.4，问甲恰有3次达标的概率和至少有1次不达标的概率。根据n重贝努力实验的公式，恰有k次成功的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，至少有k次成功的概率为1-恰有0~k-1次成功的概率之和。代入题目中的数值，可得到答案。7.已知直线L过点A(-1,2)且与曲线y=x^2+1有且仅有一个交点，求直线L的方程。利用根与系数的关系，可知直线L与曲线y=x^2+1的交点横坐标为-1的两个根之一。因为直线L与曲线y=x^2+1有且仅有一个交点，所以这个根的重数为1。根据中点坐标公式和两点间距离公式，可求出这个根的坐标和直线L与曲线y=x^2+1的交点的纵坐标。根据点到直线距离公式，可求出直线L的斜率。代入点斜式公式，即可得到直线L的方程。最后，根据直线L与曲线y=x^2+1的交点的坐标，计算出它们形成的三角形的面积，并确定它的取值范围。（Ⅰ）已给出的证明过程没有明显的格式错误和问题段落，只需稍微改写一下：设C与l交点为A(x,y)，则有方程组：x+y-m=0x-y-4m=0由第二个方程得y=m-x，代入第一个方程得x+4x-4m=0，即5x-4m=0，解得x=4m/5，代入y=m-x得y=m/5。因此，C与l的交点为(4m/5,m/5)。当且仅当鉴别式△=16(1+m)>0时，C与l有两个交点，即m>-1。证毕。（Ⅱ）同样没有格式错误和问题段落，只需改写一下：设C与l交点为A(x1,y1)和B(x2,y2)，则有方程组：x1+y1-m=0x2+y2-m=0x1+x2+4m=0解得x1=-2m-2，x2=-2+2m，代入x1x2=-4m得m=-1或m=1，但由题意可知m>-1