人教B版（2023）必修一第三章 函数（含解析）

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（共18题）

一、选择题（共10题）

已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则

A．B．C．D．

函数的图象是

A．B．C．D．

直线的图象可能是下图中的

A．B．

C．D．

二次函数（，）的部分对应值如下表：则不等式的解集是

A．B．

C．D．

已知是上的奇函数，当时，，则

A．B．C．D．

函数在的图象大致为

A．

B．

C．

D．

若函数与在区间上都是减函数，则实数的取值范围是

A．B．

C．D．

设是奇函数，且在内是单调递增的，又，则的解集是

A．B．

C．D．

团体购买公园门票，票价如表：现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为元，那么这两个部门的人数之差为

A．B．C．D．

函数的零点所在的区间为

A．B．C．D．

二、填空题（共4题）

函数的定义域为．

若和分别是一元二次方程的两根，则．

已知甲、乙两地相距，某人开汽车以的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以的速度返回甲地，把汽车距甲地的距离表示为时间的函数，则此函数的表达式为．

已知函数，若，则，此时函数的单调增区间为．

三、解答题（共4题）

已知函数，．

(1)若，求函数的最值；

(2)若，记函数的最小值为，求关于的解析式．

已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求的解析式；

(2)用定义证明这上是增函数；

(3)若实数满足，求实数的取值范围．

已知函数．

(1)若函数的最大值为，求实数的值．

(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围．

(3)是否存在实数，使函数在区间上的值域也为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

已知定义在上的函数满足：

①对任意的实数，，有；

②；

③在上为增函数．

(1)求及的值．

(2)判断函数的奇偶性，并证明．

(3)请在①，②问中选择一问解答即可．

①解不等式；

②设，，为周长不超过的三角形三边的长，求证：，，也是某个三角形三边的长．

答案

一、选择题（共10题）

1.【答案】B

【解析】由题意得．

2.【答案】A

【解析】因为，

所以该函数的定义域为，且为偶函数，

由知在第一象限内的图象与的图象类似，故选A．

3.【答案】D

【解析】当时，

因为，

所以，

根据直线的斜率为及轴上的截距为，

可知直线经过第一，三，四象限，选项D符合；

当时，

因为，

所以，

根据直线的斜率为及轴上的截距为，

可知直线经过第一，二，四象限，选项中无符合条件的图象．

故选D．

4.【答案】D

【解析】由表知当或时，，

所以二次函数可化为．

又因为当时，，

所以．

所以不等式的解集为．

5.【答案】B

【解析】因为当时，，

所以，

因为是上的奇函数，

所以．

6.【答案】D

【解析】因为，

所以由，可知函数为奇函数，

所以选项A错误．

又由当时，，可知，

所以只有选项D中的图象符合．

7.【答案】D

【解析】依题意知函数的图象开口向下，对称轴为直线，在区间上单调递减，所以．又函数在区间上单调递减，所以．综上，，故选D．

8.【答案】C

【解析】因为是奇函数，且在内单调递增，

所以在内也单调递增．

又，

所以，作出的草图，如图所示．

由图象可知，

所以的解集是．

9.【答案】B

【解析】因为不能被整除，所以两个部门人数之和．

（）若，则，得

由共需支付门票费为元可知

解得，，不符合题意；

（）若，则，得

由共需支付门票费为元可知，，

得

解得人，人．故两个部门的人数之差为人．

10.【答案】B

【解析】易知在上单调递增，且其图象是一条连续的曲线．

因为，

，

所以的零点所在的区间为．

二、填空题（共4题）

11.【答案】

【解析】要使函数有意义，则需解得或，即函数的定义域为．

12.【答案】

【解析】由根与系数的关系可得，．

则．

13.【答案】

【解析】当时，；

当时，；

当时，．

综上所述，．

14.【答案】；

【解析】因为，

所以

解得

所以，

所以，

此时函数的单调增区间为．

三、解答题（共4题）

15.【答案】

(1)当时，，，

其图象开口向上，且对称轴方程为，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为，

因为，，

所以的最大值为．

(2)函数的图象开口向上，且对称轴方程为，

当，即时，在上单调递增，

所以；

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以；

当，即时，在上单调递减，

所以．

综上可得，．

16.【答案】

(1)因为函数是上的奇函数，

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以．

(2)任取，且，

因为，

所以，，，，

所以，即，

所以在上是增函数．

(3)因为，

所以，

又因为是上的奇函数，

所以，

因为是上的增函数，

所以

所以．

17.【答案】

(1)因为，开口向下，对称轴，，

所以，解得或．

(2)若函数在上单调递减，则，解得，

所以的取值范围是．

(3)，开口向下，

对称轴，在上的值域为，

当时，在上是减函数，

所以即解得不存在，

当时，在上是增函数，

所以即解得，

当时，在是增函数，在是减函数，

所以，解得或（舍），

综上，存在实数，使在区间上的值域为．

18.【答案】

(1)因为对任意的实数，，有，

所以取，得，解得：，

另取，，得，

又，所以，解得．

(2)函数是奇函数，证明如下：

取，得，即，

所以，所以是奇函数．

(3)①对于，

取得：，

所以的一条对称轴为，而取，，

得：．

所以是以为周期的周期函数．

取，得：，

由为的对称轴知，

所以，所以．

所以当时，；当时，，

此时，同理当时，，

因为是奇函数，

所以当时，，且当时，，

所以．

根据周期性可知：不等式的解集为：．

②因为，，