数学第一学期nuaapi0qc5wchq

§1.7内容回顾1.

无穷小的比较设a

,b

对同一自变量的变化过程为无穷小,且a

„0b

是a

的高阶无穷小

b

是a

的低阶无穷小

b

是a

的同阶无穷小

b

是a

的等价无穷小b

是a

的k

阶无穷小b

=

o(a

)a

~

b2.常用的八组等价无穷小:…§1.8

内容回顾第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点左右极限都存在左右极限至少有一个不存在左连续 右连续在点 间断的类型在点连续的等价形式一、连续函数的运算法则二、初等函数的连续性§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性第一章一、连续函数的运算法则例如,

y

=

sin

x

在上连续严格单调递增，其反函数

y

=

arcsin

x

在

[－1

,

1]

上也连续严格单调递增.定理1.

在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为

0)

运算,

结果仍是一个在该点连续的函数

.(利用极限的四则运算法则证明)例如,在其定义域内连续定理2.

连续且严格单调递增(递减)函数的反函数也连续且严格单调递增

(递减).

(证明略)同理

y

=

arccos

xy

=

arctan

xy

=

arccot

x在其定义域内都是连续、严格单调我们还可以证明指数函数

在其反函数在上连续、严格单调.上也连续、严格单调.xfi

x0则"e

>0,所以lim

ax

=ax0ax

-

ax0

=

ax0

|

ax-x0

-1

|

<

e.令aaax0,

取d=

min{

log

(1

-

e

),

log

(1

+

e

)}例2.

证明

函数在 内连续

.0证:

"

x

˛

(-¥

,

+

¥

)xfi

x0由x0的任意性得,在内连续.0ax0

ax01

-

e

<

ax-x

<1

+

e我们证明lim

ax

=ax0（不妨设a>1)a0

aax0

ax0log

(1

-

e

)

<

x

-

x

<

log

(1

+

e

)x0(

0

<

e

<

a

)ax0x

x"

˛

U(x0

,d),

有

a

-

a

0

<

e.定理3.

连续函数的复合函数是连续的.证:

设函数lim

f

(u)u

fi

u0=

f

[f(x0

)]于是故复合函数且f(x0

)=u0

.即xfi

D推论:

设

limf(x)

=

u0，则(连续函数符号与极限符号可交换次序)(当x>0时连续)(若μ允许x<0，此时也连续)至此,基本初等函数在定义域内连续.例如,是由连续函数链x

˛

R*在

x

˛

R*

上连续

.复合而成

,

因此xyoxy

=

sin

1例1

.

设均在上连续,

证明函数上连续.也在证:f

(x)

-

g

(x)-

f

(x)

-

g

(x)也在上根据连续函数运算法则,可知连续.f

(x)

-

g

(x)

=

[

f

(x)

-

g

(x)]2思考题在x=0处连续.续?

反之是否成立?提示:

“反之” 不成立

.反例x

≤0x

>0在x=0处间断,二、初等函数的连续性一切初等函数在定义的区间内连续P68基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续例如,y

=1

-x2

的连续区间为(端点为单侧连续)y

=ln

sin

x

的连续区间为而

y

=

cos

x

-1

的定义域为因此它无连续点.

但不能说x=2nπ是函数的间断点.例2.

求解:

原式例3.

求解:

令

t

=

ax

-1,

则

x

=

log

a

(1

+

t)

,ta原式=limt

fi

0

log

(1

+

t)11tat

fi

0=

limlog

(1

+

t)例4.

求解:原式3sin

xln(1

+

2

x)lim

3xfi

0

x说明:

若

lim

u(x)

=1,则有lim

v(x)

=

¥

,lim

u(x)

v

(

x

)

=elim

v(x)[u(x)

-1]=

e2x3limln(1

+

2

x

)xfi

0

sin

x－1+1“1∞”型常用此法特别对于填空题若

lim

u(x)

=

A

>

0,

lim

v(x)

=

B.则

lim[u(x)]v

(

x

)

=

lim

ev

(

x

)

ln

u

(

x

)

=

elim

v

(

x

)

ln

u

(

x

)

=

elim

B

ln

A

=

AB例4.解:所以,原式=v

(

x

)=

ek3sin

xlim

2xxfi

0=6,e6若

lim

u(x)

=1;lim

v(x)

=

¥.

lim

v(x)[u(x)

-1]

=

k则

lim

u(x)(91考研)(93考研)(95考研)(03考研)2e-pe6e-12e2P75

9(6)=2令x

=p

-t=所以原式0=e

=1.x

£1x

+

4

,

x

>1j

(x)

=

x,解:例5.

设讨论复合函数的连续性.=x2

,

x

£1-

2

-

x

,

x

>

1xfi

1-xfi

1-lim

f

[j

(x)]

=

lim

x2

=1lim

f

[j

(x)]

=

lim

(-2

-

x)

=

-3xfi

1+

xfi

1+故x

=1为第一类间断点.j

(x)

£1j

(x)

>1j

2

(x),2

-j

(x),时显然连续;x

„

1而在点x

=1

不连续,内容小结基本初等函数在定义域内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义的区间内连续说明:

分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.作业P69

3

(5)

, (6)

, (7)

;4

(4)

,

(5) ,(6)

;

6一、最值定理二、介值定理§1.10

闭区间上连续函数的性质第一章b

xy

y

=

f

(

x)o

a

x1

x2a

£

x

£bf

(x1

)

=

min

f

(x)f

(x2

)

=

max

f

(x)a

£

x

£b一、最值定理定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.即:

设

f

(x)

˛

C

[

a

,

b

]

,

则

$

x1

,x2

˛

[

a

,

b

]

,

使(证明略)注意:

若函数在开区间上连续,

或在闭区间内有间断点

,

结论不一定成立

.例如,无最大值和最小值xo1y1xo1

2y21也无最大值和最小值又如,b

xy

=

f

(x)mo

a

x1

x2yM由定理1

可知有f

(x)f

(x)

,

m

=

minx˛[

a

,

b

]证:

设M

=

maxx˛[

a

,

b

]上有界.二、介值定理定理2.

(零点定理)且使xyoby

=

f

(x)ax至少有一点(证明略)推论.

在闭区间上连续的函数在该区间上有界.一点证:

作辅助函数j

(x)

=

f

(x)

-

C则j

(x)˛

C

[a

,b

],且j

(a)

f(b)

=

(

A

-

C)(B

-

C)故由零点定理知,

至少有一点即b

xyy

=

f

(x)BCAo

a使x使定理3.

(

介值定理

)

设

f

(x)

˛

C

[

a

,

b

]

,

且

f

(a)

=

A,f

(b)=B

,A

„B

,则对A

与B

之间的任一数C

,至少有推论:

在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值

.例1.

证明方程一个根

.证:

显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:x

=

1

,

f

(1

)

=

1

>

0

,2

2

82取44的中点

x

=

3

,

f

(3)

<

0

,2

4二分法12x01+-+3-4在区间内至少有则(1

,1)内必有方程的根;则

(1

,

3)

内必有方程的根

;

可用此法求近似根.内容小结上有界;上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;在在在4.

当 时,

必存在

使称为函数的零点定理或根的存在性定理.常用于判断方程根的存在性．作业P74

题

2; 3;

5且总之原命题得证.在开区间至少有一个若上式等号成立,则有正根a+b(不超过a+b

).若上式等号不

成立,

根据零点定理

,内至少存在一点为原方程的一个正根.(也不超过a+b

).备用题1.证明:方程正根,且不超过a+b

.证：令显然lim(

f

(x)

-

ax

-

b

)

=

0xfi

¥1limxfi

¥

x(

f

(x)

-

ax

-

b

)

=

0lim(f

(x)

bx

xxfi

¥-

a

-

)

=

0,f

(x)xa

=

limxfi

¥xxfi

¥反之,若

a

=

lim

f

(x)

,2.

斜渐近线问题(P76

14)直线L:y=ax+b是曲线y=f

(x)的渐近线

(a≠0时L是曲线y=f

(x)的斜渐近线)而点M(x,f

(x))到直线L的距离则f

(x)-ax

-b

=xfi

¥f

(x)

-

ax

-

lim[

f

(x)

-

ax]

→b－b=0xxfi

¥xfi

¥

a

=

lim

f

(

x)b

=

lim[

f

(

x)

-

ax]直线L:y=ax+b是曲线y=f

(x)的渐近线

(a≠0时L是曲线y=f

(x)的斜渐近线)xxfi

¥

a=

lim

f

(x)b

=

lim[

f

(x)

-

ax]

xfi

¥曲线曲线)曲线的斜渐近线(的斜渐近线为(的斜渐近线为()

(05考研))

(00考研)(05考研)曲线曲线的斜渐近线为(的斜渐近线为()(99考研))(98考研)涉及到渐近线方面的填空题与选择题还有很多