同济大学第五版高数课件

第三章朝系微分中值定理与导数的应用「罗尔中值定理推广中值定理拉格朗日中值定理泰勒公式柯西中值定理(第三节)应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题同济大学第五版高数第三章朝系微分中值定理与导数的应用「罗尔中值定理推广中值定理拉格朗日中值定理泰勒公式柯西中值定理(第三节)应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题第三章第一爷中值定理一、罗尔(Role)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理费马(fermat)引理朝系y=f(x)在∪(xn)有定义f(:且f(x)≤f(x0),f(xo)存在或≥)证:设Vxo+△x∈∪(xo),f(xo+△x)≤f(xo)(o=linf(xo+△x)-f(x0)Ax→>0=(20x0)>f(xo)=0f(x)≤0(△x→>0证毕第三章第一爷中值定理一、罗尔(Role)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理费马(fermat)引理朝系y=f(x)在∪(xn)有定义f(:且f(x)≤f(x0),f(xo)存在或≥)证:设Vxo+△x∈∪(xo),f(xo+△x)≤f(xo)(o=linf(xo+△x)-f(x0)Ax→>0=(20x0)>f(xo)=0f(x)≤0(△x→>0证毕罗尔(Rolle)定理罗尔(Rol定理如果函数f(x)在闭区间[a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,直在区间端点的函数值相等,即∫(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点a<ξ<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零,即∫(ξ)=0例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).在-1,3连续,在(-1,3)上可导,且f(-1)=f(3)=0,∵:∫'(x)=2(x-1),取ξ=1,(1∈(-1,3)∫'()=0.几何解释Cy=∫(x)在曲线弧AB上至少有点C,在该点处的切线是水平的证∵∫(x)在[a,b]连续,必有最大值M和最小值m(1)若M=m,则∫(x)=M由此得∫(x)=0.vξ∈(a,b),都有∫()=0.(2)若M≠m.∵f(a)=f(b),∴最值不可能同时在端点取得.设M≠∫(则在(a,b)内至少存在一点使∫(5)=M.∵∫(ξ+△x)≤∫(2),∴∫(ξ+Ax)-∫(ξ)≤0,若Ax>0,则有(5+A)-(5)≤0△r若Ax<0,则有(+Ax)-f()n△r∫(5)=mmJ(+Ax)~→z0Ar→-0J(5)=lin∫(ξ+x)-f()≤0;∵f'(ξ)存在,Ar→+0∴∫'(3)=∫(ξ).∴只有∫'(2)=0.注意若罗尔定理的三个条件中有一个不满足其《两结论可能不成立例如,y=x,x∈[-2,2];在[2,2上除∫(0)不存在外满足罗尔定理的一切条件,但在区间[-22]内找不到一点能使∫'(x)=0.又例如,y1-x,x∈(O,10y=x,x∈[0,1]例1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于《两1的正实根证设∫(x)=x3-5x+,则f(x)在[0,连续,且f(0)=1,f(1)=-3.由介值定理彐x0∈(0,1),使∫(x)=0.即为方程的小于1的正实根设另有x1∈(0,1),x1≠x0,使f(x1)=0.∵f(x)在x0,x1之间满足罗尔定理的条件,至少存在一个(在x,x,之间使得r(E)=0.但∫(x)=5(x4-1)<0,(x∈(0,1)矛盾,为唯一实根二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数(x)在闭区间a,b上连续,在开区间a,b)内可导,那未在a,b)内至少