第3讲 实际问题与一元二次方程（一） 2023年人教版数学八年级升九年级暑假预习讲义（无答案）

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【教学目标】：

掌握平均变化率、传播性、握手问题。

掌握利润问题。

【教学重难点】：

一元二次方程的构建与应用;

【课前小测】

若方程+5=4是一元二次方程，则=_________

方程的根是_________

若，则方程必有一个根是_________

已知+3+5=9，则+9-2=_________

若方程+8-4=0的两根为、则+=_________

一个三角形的两边长为2和4，第三边长是方程2-10+12=0的解，则三角形的周长为_________

若一元二次方程-2=0的两根是、那么=_________

一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.

【考点解析】

考点一平均变化率问题

问题1两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大

分析:

设甲种药品成本的年平均下降率为，则一年后甲种药品成本为___________元，两年后甲种药品成本为___________。

依题意，得________________，解得___________

根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为___________.

设乙种药品成本的年平均下降率为，则一年后甲种药品成本为___________元，两年后甲种药品成本为___________。

依题意，得________________，解得___________

答:两种药品成本的年平均下降率_________。

归纳总结：

列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

增长率问题：平均增长率公式为

(为原来数，为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)

降低率问题：平均降低率公式为

(为原来数，为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)

在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2

（1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：）

（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由。

针对练习1

为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2，若每年的年增长率相同，则年增长率为（）

9%B．10%C．11%D．12%

某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.

考点二传播性问题

病毒的传播；设每轮传染中平均一个人传染了人

开始：1人人

一轮后：（+1）人（+）人

两轮后：（+1）+(+1)人（+）+(+)人

N轮后：

握手及单循环球赛；设总共人（队），则每人（队）共握手(赛球)：(-1)次，因为每两人（队）会重复一次，所以总次数为：(-1)÷2

送礼物及双循环球赛；设总共人（队），则每人（队）共握手(赛球)：(-1)次，

所以总次数为：(-1)

某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台

（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手66次，有多少人参加聚会

（2）要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛

（3）初三毕业晚会时每人互相送照片一张，一共要90张照片，有多少人

针对练习2

某次球赛共有个队参加，每两个队之间打一场比赛，共打了场，则根据题意可列出的方程是()

ABCD

有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是()

A1331B1210C1100D1000

有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染

了几个人？

甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？

考点三利润问题

利润（销售）问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价(成本)

总利润=每件的利润×总件数

某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。求：若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

某商店的一种服装，每件成本为50元，经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件．已知该商店销售这批服装获利12500元，问这种服装每件售价是多少元？

针对练习3

将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？

某商店进了一批服装，进价为每件50元.按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件.今商店计划获利12000元，问销售单价应定为多少元？此时应进多少件服装？

某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元？

山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：

（1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

【课后作业】

某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为，则有（）

A500（1+2）=720B500（1+）2=720

C500（1+2）=720D720（1+）2=500

要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请个球队参加比赛，根据题意可列方程为（）

A．（﹣1）=15B．（+1）=15

C．=15D．=15

一次学术研讨会上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了91次手，这次会议到会的人数是多少？

某商店进了一批名牌衬衫，平均每天可售出20件,每件盈利45元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的除件措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件.若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？

2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”