医药高等数学第一章课件

医药高等数学第一章第一章第一节函数7/25/20232设有两个变量x和y，一个非空数集D,如果按照某个对应法那么f，对于D中的每个数x，都有唯一确定的实数y与之对应，那么称y是定义在D上的x的函数，记作其中x叫做自变量，y叫做因变量；定义域:D定义域一、函数1.函数的概念定义

值域:自变量因变量7/25/20233函数的表示方法:解析法、图象法、列表法如,绝对值函数定义域值域7/25/202342.函数的根本性质设函数且有区间(1)有界性使称使称为有界函数.在I上有界.称为有上界称为有下界假设不存在这样的正整数M,那么称f(x)无界.f(x)在(a,b)有界

f(x)在(a,b)既有上界,又有下界.7/25/20235(2)单调性时,称为I上的称为I上的单调增函数;单调减函数.当7/25/20236(3)奇偶性且有假设那么称f(x)为偶函数;假设那么称f(x)为奇函数.说明:假设在x=0有定义,为奇函数时,那么当必有例如,偶函数7/25/20237又如,奇函数再如,奇函数7/25/20238(4)周期性且那么称为周期函数,假设称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数7/25/202393.三种特殊的函数(1)分段函数注意：分段点7/25/202310(2)反函数习惯上,的反函数记成其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.7/25/202311如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数反三角函数定义域值域补7/25/202312(3)复合函数那么设有函数称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合7/25/202313两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:7/25/202314另外，一个复合函数，将其“分解〞例如，可以看成是由复合而成.7/25/2023154.初等函数六大根本初等函数(P-6)常量函数：2.幂函数：3.指数函数：4.对数函数：5.三角函数：6.反三角函数：为常数7/25/202316初等函数由六大根本初等函数否那么称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四那么运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故不为初等函数.取整函数当7/25/202317第一章第二节函数的极限7/25/202318数列通项an当n无限增大时,无限逼近一个有限数

√×√×一、数列的极限7/25/202319定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).假设数列及常数a有以下关系:当n>

N

时,总有记作此时也称数列收敛,否那么称数列发散.几何解释:即或那么称该数列的极限为a,7/25/202320例1.证明数列的极限为1.

证:欲使即只要因此,取那么当时,就有故7/25/202321收敛数列的性质证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.那么当n>N时,故假设不真!满足的不等式7/25/202322例2.

证明数列是发散的.

证:用反证法.假设数列收敛,那么有唯一极限a存在.取那么存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N时,有因此该数列发散.7/25/2023232.收敛数列一定有界.证:设取那么当时,从而有取那么有由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列7/25/202324二、函数的极限定义2

.设函数大于某一正数时有定义,假设那么称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A为曲线的水平渐近线A为函数1.时函数的极限7/25/202325例3.

证明证:取因此注:就有故欲使即7/25/202326直线y=A仍是曲线y=f(x)

的渐近线.两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，7/25/202327定义3.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有那么称常数A为函数当时的极限,或即当时,有假设记作几何解释:2.时函数极限的定义7/25/202328例4.证明证:故对任意的当时,因此总有7/25/202329例5.证明证:欲使取那么当时,必有因此只要7/25/2023303.左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理7/25/202331例6.

设函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理3.因为显然所以不存在.7/25/2023324.函数极限的性质极限值唯一局部有界保号性定理.假设且A>0,那么存在(A<0)假设在的某去心邻域内且那么7/25/202333三、无穷小量与无穷大量当1、无穷小量定义5.假设时,函数那么称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小.时为无穷小.7/25/202334说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为当时,显然C只能是0!CC时,函数(或)那么称函数为定义1.假设(或)那么时的无穷小.7/25/202335其中为时的无穷小量.定理6.

(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.7/25/2023362、无穷大量定义6.假设任给M>0,一切满足不等式的

x,总有那么称函数当时为无穷大,

使对假设在定义中将①式改为①那么记作(正数X),记作总存在7/25/202337注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!7/25/202338例7.证明证:任给正数M,要使即只要取那么对满足的一切x,有所以假设那么直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明:7/25/2023393、无穷小与无穷大的关系假设为无穷大,为无穷小;假设为无穷小,且那么为无穷大.那么据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.在自变量的同一变化过程中,说明:7/25/202340例8.求解:

利用性质2可知4、无穷小量性质1.有限个无穷小的和、差、积，以及常数与无穷小的乘积，还是无穷小.2.有界变量与无穷小的乘积，还是无穷小.7/25/2023411、极限的四那么运算法那么那么有定理7.假设四、函数极限的运算7/25/202342假设且B≠0,那么有为无穷小(详见P44)证:因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,7/25/202343推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)例2.设

n次多项式那么7/25/202344

x=3时分母为0!例9.例10.求解:7/25/202345例11.求解:

x=1时分母=0,分子≠0,但因7/25/202346例12.求解:时,分子分子分母同除以那么分母原式7/25/202347一般有如下结果：为非负常数)(如P-14例11)(如P-14例12)(如P-14例13)7/25/202348定理.设且x满足时,又那么有说明:假设定理中那么类似可得2、复合函数的极限运算法那么7/25/202349都是无穷小,引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.3、无穷小量的比较7/25/202350定义.假设那么称是比高阶的无穷小,假设假设假设假设或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作那么称是比低阶的无穷小;那么称是的同阶无穷小;那么称是关于的k阶无穷小;那么称是的等价无穷小,记作7/25/202351例如,当～时～～又如

，故时是关于x的二阶无穷小,～且～7/25/202352定理8.设且存在,那么证:例如,7/25/202353设对同一变化过程,,为无穷小,说明:无穷小的性质,(1)和差取大规那么:由等价可得简化某些极限运算的下述规那么.假设=o(),(2)和差代替规那么:例如,例如,7/25/202354(3)因式代替规那么:界,那么例如,例13.求解:原式7/25/202355～～～～常用等价无穷小:～～7/25/202356例14.求解:7/25/202357小结1.极限运算法那么(1)无穷小〔大〕性质(2)极限四那么运算法那么(3)复合函数极限运算法那么注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法(3)等价无穷小替换定理7/25/202358二、两个重要极限一、极限存在定理第三节极限存在定理及两个重要极限第一章7/25/202359一、极限存在定理1.夹逼定理定理1.且7/25/2023602.单调有界数列必有极限(证明略)7/25/202361圆扇形AOB的面积二、两个重要极限证:当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有注7/25/202362当时注7/25/202363例2.求解:例3.求解:令那么因此原式7/25/202364例4.求解:原式=例5.圆内接正n边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用7/25/2023652.说明:此极限也可写为7/25/202366例6.求解:令那么说明：假设利用那么原式7/25/202367例7.求解:原式=7/25/202368小结1.极限存在性定理2.两个重要极限或注:代表相同的表达式7/25/202369思考与练习7/25/202370二、函数的连续点一、函数连续性的定义第四节函数的连续性第一章7/25/202371可见,函数在点一、函数连续性的定义定义:在的某邻域内有定义,那么称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备以下条件:存在;且有定义,存在;7/25/202372continue假设在某区间上每一点都连续,那么称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.例如,在上连续.(有理整函数)又如,

有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有7/25/202373对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点连续有以下等价命题:7/25/202374例.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.7/25/202375在在二、函数的连续点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,那么以下情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为连续点.在无定义;7/25/202376连续点分类:第一类连续点:及均存在,假设称假设称第二类连续点:及中至少一个不存在,称假设其中有一个为振荡,称假设其中有一个为为可去连续点.为跳跃连续点.为无穷连续点.为振荡连续点.7/25/202377为其无穷连续点.为其振荡连续点.为可去连续点.例如:7/25/202378显然为其可去连续点.(4)(5)为其跳跃连续点.7/25/202379内容小结左连续右连续第一类连续点可去连续点跳跃连续点左右极限都存在第二类连续点无穷连续点振荡连续点左右极限至少有一个不存在在点连续的类型在点连续的等价形式7/25/202380思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷连续点.连续点的类型.2.设时提示:为连续函数.答案:x=1是第一类可去连续点,7/25/202381备用题确定函数连续点的类型.解:连续点为无穷连续点;故为跳跃连续点.7/25/202382定理2.连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续三、初等函数的连续性定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四那么运算法那么证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调7/25/202383定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.证:设函数于是故复合函数又如,

且即7/25/202384例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,7/25/202385根本初等函数在定义区间内连续连续函数经四那么运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而7/25/202386例2.求解:原式例3.求解:令那么原式说明:当时,有7/25/202387例4.求解:原式说明:假设那么有7/25/202388例5.设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类连续点.在点x=1

不连续,7/25/202389注意:假设函数在开区间上连续,结论不一定成立.〔最值定理〕定理1.在闭区间上连续的函数即:设那么使值和最小值.或在闭区间内有连续在该区间上一定有最大(证明略)点,四、闭区间上连续函数的性质7/25/202390例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,

7/25/202391推论.由定理1可知有证:设上有界.定理2.

(零点定理)至少有一点且使(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界.7/25/202392定理3.(介值定理)设且那么对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数那么且故由零点定理知,至少有一点使即推论:使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.7/25/202393例1.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即在区间内至少有7/25/202394上连续,且恒为正,例2.设在对任意的必存在一点证:使令,那么使故由零点定理知,存在即当时,取或,那么有证明:7/25/202395备用题至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.7/25/202396二、连续与连续一、函数三、极限习题课函数与极限第一章7/25/202397一、函数1.函数的概念定义:定义域值域图形:(一般为曲线)设函数为特殊的映射:其中7/25/2023982.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性3.反函数设函数为单射,反函数为其逆映射4.复合函数给定函数链那么复合函数为5.初等函数有限个常数及根本初等函数经有限次四那么运算与复复合而成的一个表达式的函数.7/25/202399例1.设函数求解:7/25/2023100解:利用函数表示与变量字母的无关的特性.代入原方程得代入上式得设其中求令即即令即画线三式联立即例2.7/25/2023101思考与练习1.以下各组函数是否一样?为什么?一样一样一样7/25/20231022.以下各种关系式表示的y是否为x的函数?为什么?不是是不是提示:(2)7/25/2023103⑶⑵3.以下函数是否为初等函数?为什么?⑷以上各函数都是初等函数.7/25/20231044.设求及其定义域.5.,求6.设求由得4.解:7/25/20231055.,求解:6.设求解:7/25/2023106二、连续与连续1.函数连续的等价形式有2.函数连续点第一类连续点第二类连续点可去连续点跳跃连续点无穷连续点振荡连续点7/25/2023107有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.闭区间上连续函数的性质例3.

设函数在x=0连续,那么a=,b=.提示:7/25/2023108有无穷连续点及可去连续点解:为无穷连续点,所以为可去连续点,极限存在例4.设函数试确定常数a及b.7/25/2023109例5.设f(x)定义在区间上,,假设f(x)在连续,提示:阅读与练习且对任意实数证明f(x)

对一切

x

都连续.P64题2(2),4;P73题57/25/2023110证:P73题5.证明:假设令那么给定当时,有又根据有界性定理,,使取那么在内连续,存在,那么必在内有界.7/25/2023111三、极限1.极限定义的等价形式(以为例)(即为无穷小)有2.极限存在准那么及极限运算法那么7/25/20231123.无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:

4.两个重要极限6.判断极限不存在的方法～～～～～～～～～5.求极限的根本方法7/25/2023113例6.求以下极限：提示:无穷小有界7/25/2023114令7/25/2023115～那么有复习:若7/25/2023116例7.确定常数a,b,使解:原式故于是而7/25/2023117例8.当时,是的几阶无穷小?解:设其为的阶无穷小,那么因故7/25/2023118阅读与练习1.求的连续点,并判别其类型.解:x=–1为第一类可去连续点x=1为第二类无穷连续点x=0为第一类跳跃连续点7/25/20231192.求解:原式=1(2000考研)7/25/2023120作业P743(1),(4);4;7;8(2),(3),(6);9;10;11;123.求解:

令那么利用夹逼准那么可知7/25/2023121内容小结1.区域

邻域:

区域连通的开集

2.多元函数概念n元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数7/25/2023122有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P11题2;4;5(3),(5)(画图);8P72题3;4思考与练习7/25/2023123解答提示:P11题2.称为二次齐次函数.P11题4.