华师大版七年级数学下册知识点整理

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华师大版七年级数学下册知识点整理第六章一元一次方程一、基本概念（一）方程的变形法则法则1：方程两边都加上或减去同一个数，方程的解不变。例如：在方程7-3x=4左右两边都加上7，得到新方程：-3x+14=11。在方程6x=-2x-6左右两边都加上2x，得到新方程：8x=-6。移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，这样的变形叫做移项，注意移项要变号。例如：(1)将方程x－5＝7移项得：x＝7+5即x＝12。(2)将方程4x＝3x－4移项得：4x－3x＝－4即x＝－4。法则2：方程两边都乘以或除以同一个数，方程的解不变。例如：(1)将方程－5x＝2两边都除以-5得：x=2/5。(2)将方程x＝3/5两边都乘以5得：x=3。这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。注意：（1）如遇未知数的系数为整数，“系数化为1”时，就要除以这个整数；如遇到未知数的系数为分数，“系数化为1”时，就要乘以这个分数的倒数。（2）不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。方程的解的概念：能够使方程左右两边都相等的未知数的值，叫做方程的解。求解方程的过程，叫做解方程。（二）一元一次方程的概念及其解法1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。而这些方程5x－3x+1=2、2x+y=l－3y、x-1=2/5就不是一元一次方程。2.一元一次方程的一般式为：ax+b=0（其中a、b为常数，且a≠0）。一元一次方程的一般式为：ax=b（其中a、b为常数，且a≠0）。3.解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，将未知数的系数化为1。注意：（1）方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。（2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）。（三）一元一次方程的应用1.纯数学上的应用：（1）一元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。二元一次方程组是指包含两个未知数和两个一次项的方程组。一般形式为ax+by=c，其中a、b、c为常数，且a、b均不为0。与一元一次方程类似，二元一次方程组也有解，解是指能够使方程组中的两个方程同时成立的未知数的值。二元一次方程组在实际生活中有很多应用，例如调配问题、行程问题、工程问题、利息问题、面积问题等。此外，还有一类问题是探索性应用，这些问题与前面提到的应用有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。解决二元一次方程组的基本思想是“消元”，即将方程组中的一个未知数消去，转化为一元一次方程，然后通过解一元一次方程得出未知数的值，再代入到另一个方程中求出另一个未知数的值。常用的解法包括代入消元法和加减消元法。在解二元一次方程组时，我们需要注意方程组的标准形式，即ax+by=c。同时，在写出方程组的解时，要使用“联立”符号“{}”将方程中两个未知数的值连接起来写。代入法是一种解二元一次方程组的方法，它通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解。具体步骤为：首先选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③；然后把③代入另一个方程，得到一个一元一次方程；接着解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；最后将这个未知数的值代入③，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。加减消元法是另一种解二元一次方程组的方法，它通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解。具体步骤为：首先将两个方程同一个未知数的系数乘以适当的倍数，使得这两个未知数的绝对值相同；然后将未知数的绝对值相同的两个方程相加或相减，得到一个一元一次方程；接着解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；最后将这个未知数的值代入原方程组中系数较简单的一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。需要注意的是，在解二元一次方程组时，应正确选用代入法或加减消元法，具体选择方法见下文。在解二元一次方程组时，有两种基本的解法，即代入法和加减消元法。对于第一种解法，适宜用于方程组中有一个未知数系数的绝对值为1的情况；而对于第二种解法，如果两个方程中有一个未知数系数的绝对值相等，则可直接用加减法消元；如果同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再用加减法求解；如果方程组比较复杂，应先化简整理。一元一次不等式是指未知数的次数为1，且不等式中含有不等关系的式子。常见的不等号有大于、小于、大于等于、小于等于和不等于。需要注意的是，大于和小于不仅表示左右两边不等关系，还明确表示左右两边的大小；而大于等于和小于等于则表示不等，前者表示“不大于”(小于或等于)，后者表示“不小于”(大于或等于)，“不等于”表示左右两边不相等。解一元一次不等式的过程就是求出能使不等式成立的未知数的值，这些值组成的集合称为不等式的解集。在数轴上，可以用不等式的解集来表示不等式的解。不等式的基本性质：1.如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c；如果a<b，那么a+c<b+c，a-c<b-c。2.如果a<b，c>0，那么ac<bc，a/c<b/c。3.如果a>b，c<0，那么ac<bc，a/c<b/c。解一元一次不等式：一元一次不等式是只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1的不等式。解一元一次不等式的一般步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。注意，不等式中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。同时，“去分母”指去掉不等式两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）。一元一次不等式组：一元一次不等式组是几个一元一次不等式合起来组成的不等式组。与二元一次方程组不同的是，这里的“几个”可以是两个，也可以是三个，或更多个。一元一次不等式组的解集是不等式组中几个不等式的解集的公共部分。解一元一次不等式组的步骤是：分别解不等式组中的每个不等式，把每个不等式组的解集在数轴上表示出来，找出各个不等式解集的公共部分，再结合不等式组解集的确定规律，写出不等式组的解集。一元一次不等式组的解集的确定规律是：同“大”取大，同“小”取小，“大”小“小”大中间找，“大”大“小”小无解。第九章多边形一、基本概念（一）三角形的相关概念1.三角形的定义：三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边。三角形专用符号为“△”。2.三角形的顶点、边：组成三角形的线段如图中的AB、BC、AC是这个三角形的三边，两边的公共点叫做三角形的顶点（如点A等）。三角形顶点只能用大写字母表示，整个三角形表示为△ABC。3.三角形的内角、外角的概念：（1）内角：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠BAC等。每个三角形有三个内角。（2）外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。例如，右图中∠ACD是∠ABC的一个外角，它与内角∠ACB相邻。一个三角形共有三个外角。4.三角形的分类：（1）三角形按角分类可分为：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。（2）三角形按边分类可分为：不等边三角形（三条边都不相等，又称斜三角形）、等腰三角形（只两边等）、等边三角形（腰和底不相等的等腰三角形、腰和底相等的等腰三角形）。5.三角形的中线、角平分线、高：三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线。三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线。三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高。注意：(1)一个三角形中三条中线(高、角平分线)之间的位置关系是交于一点。(2)一个三角形的三条中线(角平分线)的交点与三角形有位置关系，这一点在三角形内部。(3)直角三角形的三条高，它们有位置关系，其中一条高在三角形内部，另外两条就是直角三角形的两条直角边，三条高的交点就是直角三角形的直角顶点。钝角三角形有一条高在形内，两条高在形外，三条高所在的直线的交点在形外。(4)以上三线都是线段。二、三角形外角的性质及其和三角形外角有以下两个性质：(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。如图：在△ABC中，D是边BC上一点，则有∠ADC＝∠DAB+∠ABD，且∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABDB。问题：∠ADB＝∠()+∠()。三角形的外角和定义为与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角。从与每个内角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。根据三角形外角和定理，三角形的外角和是360°。三、三角形的三边关系三角形三边不等关系定理为：三角形的任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边。也就是说，三角形第三边的取值范围是：|任何两边的差|＜第三边＜任何两边的和。这个定理主要用于判断给出一定长度的线段能否构成三角形以及求第三边的取值范围。三角形具有稳定性，也就是说，三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了。而四边形则不具有这个性质。四、多边形的内角和与外角和多边形是由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，也称为n边形。一个n边形有n个内角和2n个外角。如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。多边形的内角和公式为n边形的内角和＝(n-2)·180°。而多边形的外角和定义为从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和。根据多边形的外角和定理，多边形的外角和等于360°，且与多边形的边数无关。五、用正多边形拼地板用相同的正多边形拼地板，能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加恰好等于360°。在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，能够拼出完整地面的内角和为(n－2)·180°。也就是说，当360°能够整除n×2时，用正n边形就可以铺满地面。设正多边形的个数为n，每个内角为α，则要铺满地面，它们满足下列关系：αn=360°。用多种正多边形拼地板的标志是：围绕一点的这几个正多边形的一个内角的和等于360°。设正多边形甲的个数为n，每个内角为α，正多边形乙的个数为m，每个内角为β，则它们满足下列关系：αn+βm=360°。一、轴对称：1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线对折后能重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。2.两个图形成轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，它能与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称图形，这条直线就是它们的对称轴，折叠时重合的对应点就是对称点。3.轴对称的性质：轴对称图形的对应线段、对应角相等。4.垂直平分线的定义：垂直平分线是指一条直线既垂直于另一条直线，又平分这条直线。5.对称轴的画法：先连结一对点，再作所连线段的垂直平分线，即为对称轴。6.对称点的画法：过已知点作对称轴的垂线，交对称轴于一点，该点即为对称点。二、平移：图形的平移是指一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，它是由移动的向量和所决定。平移的特征是：经过平移后的图形与原图形对应线段（或在同一直线上）相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化，即平移前后的两个图形连结每对对应点所得的线段（或在同一直线上）相等。三、旋转：图形的旋转是指把一个图形绕一个沿某个定点旋转一定的角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心。图形的旋转由旋转角度、旋转方向和旋转中心所决定。注意：①旋转中心在旋转过程中保持不动。②旋转分为顺时针和逆时针。③旋转一般小于360°。旋转的特征是：图形中每一点都绕着旋转了的角度旋转，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化，也就是旋转前后的两个图形连结每对对应点所得的线段相等。旋转对称图形是指，若一个图形绕一定点旋转一定角度（不超过180°）后，能与原图形重合，这种图形就叫旋转对称图形。四、中心对称：中心对称图形是指，把一个图形绕着某一个点旋转180°后，如果能够与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的中心。成中心对称的两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做中心点。中心对称的性质是：关于中心对称的图形，对应点所连线段都经过中心点。5.对称性质图形的对称性质是几何学中的重要概念，对于图形的分类和判定有着重要的作用。对称性质主要包括轴对称和中心对称两种形