各种等腰三角形难题

各种等腰三角形难题

例1.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠A=20°，点D在AB上，AD=BC，连接CD，求∠BDC的度数。解析：利用全等三角形的性质，构造全等三角形⊿DAE≌⊿CBA，得到DE=CE，∠DEC=40°，∠ADE=80°。因此，∠ADC=150°，∠BDC=30°。例2.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D和E分别在AB和AC上，且∠BCD=50°，∠CBE=60°，求∠DEB的度数。解析：通过连线，构造等边三角形⊿GEF和⊿GBC。得到∠FEG=∠EFG=60°，∠AFG=140°，∠DFG=40°，∠BDC=50°=∠BCD，BD=BC=BG，∠BGD=80°，∠DGF=40°。因此，通过全等三角形的性质得到∠DEG=∠DEF=30°。因此，∠DEB=30°。例3.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D和E分别为AB和AC上的点，且∠ABE=10°，∠ACD=20°，求∠DEB的度数。解析：通过连线，构造等边三角形⊿BCF和⊿DGF，得到CM=CB=CF，∠CMF=∠CFM=80°，∠GMF=100°，∠GFM=∠FGM=40°，FM=GM。因此，通过全等三角形的性质得到∠DMG=∠DMF=50°。因此，∠DEB=30°。根据已知条件，可以得到∠DMC=130°=∠EMB，且∠DCM=∠EBM=20°。因此，可以得到⊿DMC∽⊿EMB，进而得到DM/MC=EM/MB。同时，由于∠DME=∠BMC=50°，可以得到⊿DME∽⊿CMB，且∠DEM=∠CBM=50°。又因为∠BEC=∠ABE+∠A=30°，因此可以得到∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°。要证明M是BE的中点，可以连结BD，证明BD=ED。由于△ABC是等边三角形，可以得到∠DBE＝∠ABC。又由于CE＝CD，因此可以证明∠E＝∠ACB，从而得到∠1＝∠E，进而得到BD＝BE。又因为DM⊥BC，垂足为M，因此根据等腰三角形三线合一定理可以得到M是BE的中点。根据已知条件，可以得到∠FBE=∠CBE，且BE=BE。又因为BE⊥CF，因此可以得到∠BEF=∠BEC，进而可以根据ASA得到△BFE≌△BCE，从而得到CE=EF。又因为∠BAC=90°，且AB=AC，因此可以得到∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，进而可以得到∠FBE=∠CBE=22.5°。由此可以得到∠F=∠ADB=67.5°。又因为AB=AC，可以根据AAS得到△ABD≌△ACF，从而得到BD=CF。因此可以得到BD=2CE。首先可以证明△BDO和△CEO是等腰三角形，进而可以得到BD=OD，CE=EO。由于已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，因此可以得到△ABC的周长为10+5+2BD+2CE=20+2(BD+CE)=20+2(OD+EO)=20+2BC=30cm。因此，可以得到△ABC的周长为30cm。解：以B为圆心，BC为半径画弧，交AC于G，连接DG，则：因为BC=BG，所以△BCG是等腰三角形，∠BGC=∠GBC=80度因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=80度所以∠ABG=∠ABC-∠GBC=60度因为∠CBD=60度，所以∠ABD=20度，∠ABE=160度因为∠A=20度，所以∠EAC=∠ACB-∠BAC=60度所以∠EAB=∠EAC-∠BAC=40度因为DE平行BC，所以∠EDG=∠BGC=80度因为∠DBG=40度，所以∠DGB=∠BDG=40度因为DG=BG，所以△BDG是等腰三角形，所以∠BDG=∠BGD=70度所以∠ADE=∠AEB+∠BED+∠EDG+∠DGB=40+20+80+70=210度已知在三角形BRC中，∠BRC=180°-∠ABC-∠ECB=50°；圆孤，∠ABG=60°，则有BE=BC=BG=DG，△BGE为正三角形，且EG=BE=BC=BG=DG，∠EGB=60°，∠DGE=180°-∠BGC-∠EGB=40°。已知EG=DG，则有∠GED=∠EDG=(180°-∠DGE)/2=70°，∠ADE=180°-∠EDG=110°。要证明在等边三角形ABC中，DM是BE的中点，可以连结BD，证明BD=ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE=∠ABC，而由CE=CD，又可证∠E=∠ACB，所以∠1=∠E，从而问题得证。具体证明过程如下：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点，所以∠1=∠ABC。又因为CE=CD，所以∠CDE=∠E。所以∠ACB=2∠E，即∠1=∠E。因此BD=BE，又DM⊥BC，垂足为M，所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）。在三角形ABC中，已知AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，要求证∠BAC的度数。因为AB=AC，所以∠B=∠C。因为AD=DB，所以∠B=∠DAB=∠C。因为CA=CD，所以∠CAD=∠CDA（等边对等角），而∠ADC=∠B+∠DAB，所以∠ADC=2∠B，∠DAC=2∠B。因此，∠BAC=3∠B。又因为∠B+∠C+∠BAC=180°，即∠B+∠C+3∠B=180°，所以∠B=36°，即∠BAC=108°。在解题过程中，利用了等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理。，所以BDFBFD70又CFBD，所以CFD90所以CDF20因为ABAC，所以BAC40所以ADBADC70所以ADF为等腰三角形，所以ADDF又因为BDF为直角三角形，所以BD²BF·BC所以BFBD·BD/BC因为ABAC，所以BC2·AB·sin40所以BFBD²/2·AB·sin40所以BFBD²/2·AC·sin40所以DFBD²/2·AC·sin40又因为DEF80，所以DEDF·sin80/sin20所以DEBD²/2·AC·sin40·sin80/sin20所以DEBD²/2·AC·cos10又因为BCDBAC，所以BCD与BAC相似所以BD/BCBA/AB所以BD²BC·BA所以BD²/21/2·BC·BA所以DE1/2·AC·BA·cos10又因为ABAC，所以DE1/2·AB²·cos10所以CFDE所以ADBDADBFDFBFCFBFBC证明：在RtABF和RtAED中，因为ABAC，所以BAC60所以BC30所以1260，BFBC（等腰三角形三线合一性质）。所以360（邻补角定义）。又因为ED垂直平分AB，所以E30（直角三角形两锐角互余）。在RtABF和RtAED中，13AFADAFBADE90所以RtABFRtAED（AA）。所以DEBC（对应线段相等）。题目：在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE。证明CD=2CE。证明：首先，我们可以利用折半法来证明CD=2CE。（ⅰ）折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB。证明过程如下：取CD中点F，连接BF，得到BF=1/2AC，且BF∥AC（根据三角形中位线定理）。因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，且∠ACB=∠AEB（等边对等角）。在ΔCEB与ΔCFB中，有：BF=BE∠3＝∠2CB=CB因此，ΔCEB≌ΔCFB（SAS），从而CE=CF=CD/2，即CD=2CE。除此之外，我们还可以利用加倍法来证明CD=2CE。（ⅱ）加倍法：延长CE到F，使EF=CE，连BF。证明过程如下：在ΔAEC与ΔBEF中，有：AE=BE∠1＝∠2CE=FE因此，ΔAEC≌ΔBEF（SAS）。由此可得，AC=BF，且∠4＝∠3（全等三角形对应边、对应角相等）。因此，BF∥AC（内错角相等两直线平行）。由于∠ACB+∠CBF=180°，且AB=AC，所以∠ACB=∠ABC，从而∠CBF=∠CBD（等角的补角相等）。在ΔCFB与ΔCDB中，有：CB=CB∠CBF=∠CBDBF=BD因此，ΔCFB≌ΔCDB（SAS），从而CF=CD，即CD=2CE。因此，CD=2CE成立。由于∠AOD＝∠COE（对顶角相等），因此可以得出∠COE+∠OCE=90度。在这个等式中，∠COE和∠OCE