2021年广东省佛山市跃华中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021年广东省佛山市跃华中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.关于函数下列说法正确的是(

)A．是周期函数,周期为

B．关于直线对称C．在上最大值为

D．在上是单调递增的参考答案：D略2.在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（3，1）到直线的距离分别为1，2，则符合条件的直线的条数是

A.3

B.1

C.4

D.2参考答案：D3.已知集合，，则（

）

A.[－1,2]

B.[－1,+∞)

C.[2,+∞)

D.参考答案：A4.已知集合,则

A．

B．

C．

D．

参考答案：D5.已知的内角的对边分别为，且，，且，则的面积为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知，设D是边BC的中点，且△ABC的面积为，则等于（

）A.2

B.4 C.－4 D.－2参考答案：A∵，，∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈（0，π），可得：A=，又的面积为，即,∴bc=4,又=-=-=-===-bccosA=2.故选A.

7.与直线平行的抛物线的切线方程为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D由已知得切线斜率为2，设切点（，），则，解得，所以切点为（1，1），因此切线方程为，故选择D。8.已知全集，，，则（

）A．

B． C． D．参考答案：B，，所以，所以，选B.9.一个几何体的三视图如图所示，主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，则该几何体的全面积为（

）

A、4

B、8

C、12

D、4+4

参考答案：C略10.设为虚数单位，复数等于A． B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数集中至少含有两个元素，且中任意两个元素之差的绝对值都大于2，则称为“绝对好集”。已知集合，则的所有子集中“绝对好集”的个数为

。

参考答案：略12.设样本数据x1，x2，…，x2017的方差是4，若yi=2xi﹣1（i=1，2，…，2017），则y1，y2，…y2017的方差为

．参考答案：16【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，设数据x1，x2，…，x2017的平均数为，由方差公式可得=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=4，进而对于数据yi=2xi﹣1，可以求出其平均数，进而由方差公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设样本数据x1，x2，…，x2017的平均数为，又由其方差为4，则有=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=4，对于数据yi=2xi﹣1（i=1，2，…，2017），其平均数=（y1+y2+…+y2017）=[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+…+（2x2017﹣1）]=2﹣1，其方差=[（y1﹣）2+（y2﹣）2+（y3﹣）2+…+（y2017﹣）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=16，故答案为：16．【点评】本题考查数据的方差计算，关键是掌握方差的计算公式．13.△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，则c的值为．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知及正弦定理可解得a，利用余弦定理可得：c2﹣2c﹣5=0，解方程即可得解．【解答】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，∴由正弦定理可得：，解得：a=3，∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣5=0，∴解得：c=1+，或1﹣（舍去）．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．14.已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．上述命题中所有正确命题的序号为．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），可得f（﹣2）=f（2），在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．从图中可以得出：②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．故答案为：①②④．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．15.已知都是定义在R上的函数，，且，且．若数列的前n项和大于62，则n的最小值为

▲

参考答案：6

16.如图，已知是⊙的一条弦，点为上一点，，交⊙于，若，，则的长是

参考答案：如图，因为，所以是弦中点，由相交弦定理知，

即，故17.设满足约束条件，若目标函数

的最大值为8，则的最小值为________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=sinx﹣cosx+1．（Ⅰ）若f（x）≥ax在[0，π]上恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：sin≥．参考答案： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sinx﹣cosx+1．设函数F（x）=sinx﹣cosx+1﹣ax，∴F′（x）=cosx+sinx﹣a∵f（x）≥ax在[0，π]上恒成立，∴函数F（x）=sinx﹣cosx+1﹣ax≥F（0）=0，∴只需F′（x）=cosx+sinx﹣a≥0恒成立，即：a≤（sinx+cosx）min，∵sinx+cosx=sin（x+），∴sinx+cosx的最小值为﹣．∴a≤﹣．∴a的取值范围（﹣∞．﹣]；（Ⅱ）（用数学归纳法证明）当n=1时，sin=＞，成立，假设当n=m，m∈N?时成立，即sin+sin+sin+…+sin≥，∴当n=m+1，m∈N?时，sin+sin+sin+…+sin+sin≥+sin（+）≥，∴当n=m+1，m∈N?时成立，∴原命题成立．略19.（14分）设，如图，已知直线及曲线上的点的横坐标为作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列（Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式；（Ⅱ）当时，证明（Ⅲ）当时，证明参考答案：解析：（Ⅰ）解：∵∴

∴，

∴

（Ⅱ）证明：由a=1知

∵

∴∵当

∴

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，因此

20.已知数列的前n项和为，且满足，．（1）问：数列是否为等差数列？并证明你的结论；（2）求和；参考答案：略21.（本小题满分12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S＝accosB（1）若c＝2a，求角A，B，C的大小；（2)若a＝2，且，求△ABC的面积．参考答案：由已知及三角形面积公式得化简得即，又所以.（1）解法1：由及正弦定理得,，又因为，所以，化简可得而，∴，.

………6分解法2：由余弦定理得,∴∴,知，∴.………6分（2）由，知为正三角形，又，所以

………12分22.（12分）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；（Ⅱ）记“函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；（Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】：相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．综合题．【分析】：（I）利用相互独立事件的概率公式及相互对立事件的概率公式列出方程求出学生小张选修甲的概率．（II）先判断出事件A表示的实际事件，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出事件A的概率；（II）求出ξ可取的值，求出取每个值的概率值，列出分布列，利用数学期望公式求出随基本量的期望值．解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z依题意得所以学生小张选修甲的概率为0.4（Ⅱ）若