2021-2022学年四川省成都市祥福中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年四川省成都市祥福中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数，当时,,若在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是(

).

.

.

.参考答案：A2.设集合，则(

)(A) (B)

(C)

(D)参考答案：D略3.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0，f（2）=，则不等式f（lgx）＜+4的解集为（）A．（10，100） B．（0，100） C． D．（1，100）参考答案：D【分析】令g（x）=f（x）﹣，求出函数的导数，问题转化为g（lnx）＜g（2），求出x的范围即可．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）+＞0，g（x）在（0，+∞）递增，而g（2）=f（2）﹣=4，故由f（lgx）＜+4，得g（lnx）＜g（2），故0＜lnx＜2，解得：1＜x＜100，故选：D．4.已知、是不同的两条直线，、是不重合的两个平面，

则下列命题中为真命题的是

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则参考答案：D略5.过圆：的圆心P的直线与抛物线C：相交于A，B两点，且，则点A到圆P上任意一点的距离的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A由题，设，不妨设点A位于第一象限，则由可得解方程可得，则故点到圆上任意一点的距离的最大值为.

6.设是边长为的正的边及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，若点，则的最大值为Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：C7.如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3…，若an=2015，则n=(

) A．83 B．82 C．39 D．37参考答案：A考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用“吉祥数”的定义，分类列举出“吉祥数”，推理可得到结论．解答： 解：由题意，一位数时只有8一个；二位数时，有17，26，35，44，53，62，71，80共8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0，1，7）有4个，（0，2，6）有4个，（0，3，5）有4个，（0，4，4）有2个，（1，1，6）有3个，（1，2，5）有6个，（1，3，4）有6个，（2，2，4），有3个，（2，3，3）有3个，共1+4×3+2+3×3+6×2=36个，四位数小于等于2015：（0，0，1，7）有3个，（0，0，2，6）有1个，（0，1，1，6）有6个，（0，1，2，5）有7个，（0，1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个，（1，1，3，3）有3个，（1，2，2，3）有3个，共有3×4+6×3+1+7=38个数，∴小于等于2015的一共有1+8+36+38=83个，即a83=2015故选：A点评：本题考查新定义，涉及简单计数原理和排列组合的知识，属中档题．8.已知集合M={1,2，zi}，i，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2i

B.2i

C.-4i

D.4i参考答案：C9.已知向量a、b满足b·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a+2b与a的夹角为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.已知△ABC中，，则A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若对恒成立，则实数a的范围为

。参考答案：略12.在球O的内接四面体ABCD中，且，则A,B两点的球面距离是_______________参考答案：略13.过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k==tan=，即离心率e===．解法二：设过左焦点F作的垂线方程为联立，解得，，联立，解得，，又，∴yB=﹣2yA∴3b2=a2，所以离心率．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．14.下列函数①；②；③；④中，满足“存在与x无关的正常数，使得对定义域内的一切实数x都成立”的有

.（把满足条件的函数序号都填上）参考答案：②，③15.已知过抛物线＜的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2,则|BF|=

.参考答案：2略16.已知抛物线，则它的焦点坐标为_____________.参考答案：略17.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是参考答案：24【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知椭圆()的短轴长为2，离心率为．过点M（2,0）的直线与椭圆相交于、两点,为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）若点关于轴的对称点是，证明：直线恒过一定点.参考答案：（Ⅰ）易知，得,故.故方程为. （3分）（Ⅱ）证明：设：，与椭圆的方程联立,消去得.由△＞0得.设,则.∴=，∴，故所求范围是. （8分）（Ⅲ）由对称性可知N，定点在轴上.直线AN：，令得:,∴直线过定点. （13分）19.已知函数

（I）若，判断函数在定义域内的单调性；高考资源网

（II）若函数在内存在极值，求实数m的取值范围。参考答案：解：（I）显然函数定义域为（0，+）若m=1，令

………………2分当单调递增；当单调递减。

………………6分（II）令

………………8分当单调递增；当单调递减。

………………6分故当有极大值，根据题意

………………12分略20.对于无穷数列{an}，{bn}，若，，则称{bn}是{an}的“收缩数列”.其中，分别表示中的最大数和最小数.已知{an}为无穷数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是{an}的“收缩数列”.（1）若，求{bn}的前n项和；（2）证明：{bn}的“收缩数列”仍是{bn}；（3）若且，，求所有满足该条件的{an}.参考答案：（1）；（2）详见解析；（3），.【分析】（1）根据可得为递增数列，从而可得，利用等差数列求和公式可得结果；（2）可证得，即，则可知，可证得结论；（3）令猜想可得，，整理可知此数列满足题意；利用反证法可证得不存在数列不满足，的符合题设条件，从而可得结论.【详解】（1）由可得递增数列由通项公式可知为等差数列的前项和为：（2），又的“收缩数列”仍是（3）由可得：当时，；当时，，即，所以；当时，，即（*），若，则，所以由（*）可得，与矛盾；若，则，所以由（*）可得所以与同号，这与矛盾；若，则，由（*）可得.猜想：满足的数列是：，经验证，左式右式下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述时的情况可知，时，，是成立的假设是首次不符合，的项，则由题设条件可得（*）若，则由（*）式化简可得与矛盾；若，则，所以由（*）可得所以与同号，这与矛盾；所以，则，所以由（*）化简可得.这与假设矛盾.所以不存在数列不满足，的符合题设条件综上所述：，【点睛】本题考查新定义运算的问题求解，关键是能够明确新定义的具体意义，从而将问题转化为最大项与最小项的问题，涉及到