ccna包数学2 3高阶导数

高阶导数在变速直线运动中,位移函数s=s(t)对时间t的导数可以得到a

dt为速度函数v=v(t)，即v

ds

，同样可以得到速度函数dtv=v(t)对时间t的导数为加速度a=a(t)，即a

dv

.从而dt

dt

dtdv

d

ds

(

),或a

(s).dt

22这种导数的导数，称为二阶导数，可以记为d

s2

dsdt

dtdt或

s"

，即

d2

s

d(

)或s"(s

).一般地，若y=f(x)的导数

y

f

(x)

仍可导，则称f

(x)的导数为y=f(x)的二阶导数，记为或y",或f"(x)等，即2

2dx

dxd2

y

d2

f,或

,(

),dx2

dx

dxd2

y

d

dy2dx

dx

dxd

2

f

d

df

(

),f"

(

x)

f

(

f'

(x))'

.y"

(

y'

)',类似地，称二阶导数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，

，(n－1)阶导数的导数为n阶导数.分别为dxdx

dxd3

y

d4

y

dn

y3

,

4

,

,

n

,或d3

f

d4

f

d

n

fdx3

,

dx4

,

,

dxn

,或y，y(4)

(x),

,

y(n)

,f

(x),

f（4）(x),

,

f

(n)

(x).或二阶或二阶以上的导数称为高阶导数.相应地，称f

(x)为一阶导数.若y=f(x)的n阶导数f(n)(x)存在，则称y=f(x)n阶可导，此时意味着f

(x),f

"(x)，

，f

(n1)(x)都存在.设

y

x

arctan

x，求y"

.例1解1

x2y'

arctan

x

x1

1

x2

x

2x.(1

x2

)21y"

1

x2

(1

x2

)21

x21

x2

(1

x2

)22设

y

x3e2

x，求y

.例2解y'

3x2e2

x

x3

e2

x

2

e2

x

(2x3

3x2

)

.y"

e2

x

2(2x3

3x2

)

e2

x

(6x2

6x)

e2

x

(4x3

12x2

6x)

.例3x2y

x

1，求y".

2x

1x22

12

1

x

y'

x.x2

12x2

1

1

2x12

1

1)

x2x2x24x

1

(2x2y"

2

2

4x(x

1)

x(2x

1)(x2

1)3/

2.(x2

1)3/

22x3

3xy

a0

xn

an

,求y

(n).

a1

xn1

a2

xn2例4

设解y'

na0

xn1

(n

1)a1

xn2

(n

2)a2

xn3

an1

,y"

n(n

1)a0

xn2

(n

1)(n

2)a1

xn3

(n

2)(n

3)a2

xn4

2an2

,y

n(n

1)(n

2)a0

xn3

(n

1)(n

2)(n

3)a1

xn4

(n

2)(n

3)(n

4)a2

xn5

3

2an3

,

y

(n)

n!a0

.容易看出,

当k

n时,

y(k

)

0.设y

sin

x，求y(n).求n阶导数时，通常的方法是先求出一阶、二阶、三阶等导数，从中归纳出n阶导数的表达式.因此，求n阶导数的关键在于从各阶导数中寻找共有的规律.例5解2y

cos

x

sin(

x

π),y

cos(

x

π)

sin(

x

π

π)

sin(

x

2π),2

2

2

22

2

2

2y

cos(

x

2π)

sin(

x

2π

π)

sin(

x

3π),

所以2y(n)

sin(

x

nπ)

.y'

cos

x,

y"

sin

x,

y

cos

x,

y(4)

sin

x,当然，我们也可以从：中归纳出下面的规律：k

0,1,2,

sin

x,

cos

x,n

4k

2,n

4k

3,n

4(k

1),cos

x,

n

4k

1,

sin

x,(sin

x)(n)

2同理

(cos

x)(

n

)

cos(

x

n

π).设y

ln(1

2x),求y(n).例6解

2,1

2x1y'

.(1

2x)n1y

(n)

(1)n1

2n

(n

1)!1

2

2

22

,(1

2x)2

(1

2x)21y"

,(1

2x)31y

22

(1)(2)

2

(1)2

23

2!,(1

2x)4

(1)3

24

3!

(1

2x)41

2(3)(1

2x)3y

(4)

(1)2

23

2!1，求y(n).

x设y

x21例7解,1

1

x x

1x(x

1)1x2

xy

,(x

1)112y'

x2(x

1)3x31y"

(1)

(2)

1

(1)

(2)

133,

(1)2

2!

1

x

(x

1)1n1

.n1x

(x

1)

y

(n)

(1)n

n!

1

(3)

4(x

1)2y

(1)

2!

3

11x4144,

(1)3

3!

1

x

(x

1)d

2

yx

t

cos

t,设

y

t

sin

t,

求dx2

.例8解dt两边再对x求导时，由于右端是t的函数，因此在dxdx

1

sin

tdydy

dt

1

cos

t

.dxdx求导时就对t求导再乘以dt

.由反函数求导法知dt与dt

是倒数关系，所以有dx(1

sin

t)(1