半导体物理-能带论综述课件

能带论能带论的建立1927年，M.斯特拉特提出了能带模型。这一理论的核心是:“如果我们把价电子看成是互相独立的,就可以对价电子在固体内的行为得到一个合理的模型,但是在平均效应上,我们必须考虑电子间的相互作用。即对于一个原子来说电子的能级是分立的,而对于晶体来说原子间将会有相互作用,分立的原子能级扩展为属于整个晶体的能带。由此可引进充满整个晶体的电子波,这个电子波不是在真空中运动,而是受到原子场的干扰。”1928年，索末菲真正将量子力学应用到固体中解释电子运动：对金属电导的论述。他认为:各种电子的能级要由波动力学来决定。金属中原子的外层电子并不是束缚在个别原子上,而是在整个固体中自由运动,这些电子被称为价电子.假设电子由原子实和其他电子所产生的力场中运动,除在固体边界上之外,被当作是平滑的。如果电子运动到边界以外,就会强烈的被它们所吸引。此理论最简单的形式是用有限高度的势垒来讨论。索末菲的理论不能解释电子对比热贡献非常小这一现象。他认为电子是完全自由的,不与固体中的原子做频繁的碰撞。这种假设显然是非常粗糙的,而且这种理论也不能解释金属、半导体和绝缘体的区别。能带论的建立1928年，他做出了比索末菲的自由电子近似更精确一些的理论。他假设原子实位于晶体的格点上,电子仍是在独立的运动着,用另一种形式的势代替了索末菲所用的平滑势场。这种势的特征是周期性的,具有与晶格相同的周期。布洛赫用量子力学讨论了电子在这种势场中的运动,并得到了一个最基本的结果,从而完全改变了人们对晶体中电子运动的整个认识。能带论的建立他认为除晶体表面附近外势场是周期变化的,变化周期与晶格周期a相同,即:V(x)=V(x+na)式中n为任意整数。假设:每个电子在周期排列且固定不动的原子势场及其它电子的平均势场中运动,且作用在每一个电子的势场只与该电子的位置有关而与其它电子的位置和状态无关,从而将晶体电子的状态化简为单个电子在周期势场中运动的状态的问题。根据单电子近似,晶体中每一个电子都在与晶格同周期的周期性势场中运动,并遵守薛定浮方程:能带论的建立满足此方程的波函数一定具有如下形式:波函数是振幅随x做周期变化的平面波。其变化周期也与晶格的相同这一结果就是著名的布洛赫定理,波函数甲(x)称为布洛赫函数,而用布洛赫函数描写其状态的电子称为布洛赫电子。布洛赫的结果是极其普适的,适用于完整的周期场中任何电子的运动.布洛赫定理还说明,电子并不是被完全束缚在原子的周围,而是在整个晶体中做共有化运动。能带论的建立同年布里渊(Bri1oluin)提出布里渊区的概念,后来他和布洛赫合作用E(k)一k的曲线图说明电子在周期势场中运动的特征,这使得人们对能带结构一目了然,有一个完整的认识。能带论的建立在布洛赫发表他的论文后的第三年,克龙尼克和潘纳(R.Kronig和w.G.Penyn)又在布洛赫工作的基础上建立了一个理想化模型—克龙尼克一潘纳模型S[]来模拟周期势场,使得人们得以具体计算半导体的能带结构。克龙尼克和潘纳也作了详细的推导,来说明电子在周期势场中运动时,其能带宽度随c/b的变化的情况(c代表周期势场中的势垒,b代表势垒间的距离),并做出E(k)一c/b的关系曲线,使人们能很清楚的理解带宽的形成及从晶体结构的不同而发生的变化。能带论的建立1931年,威尔逊建立了他的半导体理论。他认为在晶体中电子填充能带的情况和在原子中类似,也遵循两条原理:一正常状态的电子将处于能量最小的状态；二,遵循泡利不相容原理.既不可能有两个电子处于完全相同的状态.原子内壳层一般都填满,电子能最很高的能级是空的.类似于原子.晶体的能量较低的能带被电子填满.较高的能带则可能是空的、半满的或全满的.布洛赫曾指出在外电场的作用下,导体中的电子可以无阻碍的在完整的晶体中运动:有的不导电的物体.当电子从电场中接受能量既被激发到更高的空带中.也可能产生导电。威尔逊则几体的分析了外场存在的情况下电子填充能带的不同情况。他认为:“如果在最高的满带和其上面的空带间的禁带宽度ΔE很大，由于不存在能把电子加速进去的“近邻”空能级,因此不可能发生电子导电，反之,如果ΔE的值很小.则电子能被热激发而跳到上面的带中去.这些激发了的电子便能导电”能带论的建立威尔逊以此区分了导体、半导体和绝缘体。他认为具有第一种性质的物质是绝缘体；具有第一种性质的物质是半导体。导体则是电阻的最高填充能带式半满的。在外场的作用下,可以直接导电的物质。这样威尔逊利用能带理论给半导体下了一个明确的定义,并阐明了导体、半导体和绝缘体的导电机理.能带论的建立能带论的概述晶体中的电子不再束缚于个别原子，而在一个具有晶格周期性的势场中作共有化运动。对应孤立原子中电子的一个能级，在晶体中该类电子的能级形成一个带。晶体中电子的能带在波矢空间内具有反演对称性，且是倒格子的周期函数。能带理论成功地解释了固体的许多物理特性，是研究固体性质的重要基础。能带的形成原子中的电子在分列在不同的能级上，形成所谓的电子壳层，不同支壳层对于对应于确定的能量。当N个原子相互靠近结合成晶体后，每个电子都要受到周围原子势场的作用，其结果是每一个N度简并的能级都分裂成N个彼此相距很近的能

级，这N个能级组成一个能带。

这时电子不再属于某一个原子

而是在晶体中做共有化运动。

分裂的每一个能带都成为允带，

允带之间因没有能级称为禁带。能带论的三个基本假设一、Born-Oppenheimer绝热近似二、Hatree-Fock平均场近似三、周期场近似（Periodicpotentialapproximation）Born-Oppenheimer绝热近似绝热近似是考虑到轻粒子（电子）和

重粒子（离子）运动的差异。对于快速

运动的电子来说，离子的瞬间位置是重要的。同时离子的运动不受电子的瞬间位置的影响而只受它们的平均运动的影响。当应用于多电子的原子时，这种论点就很容易理解。显然，由于离子质量大，它不随电子的运动而运动，而只在整个电子的平均场中运动。同时电子伴随着运动比较慢的离子，从而原子保持完整。绝热近似对能级影响在10-5eVBorn-Oppenheimer绝热近似Hatree-Fock平均场近似严格来说，体系中的每一对电子之间都有相互作用。

平均场近似是指对于单个电子，把其它电子对它的作用看成一个平均场，即假定每个电子所处的势场都相同，使每个电子的电子间相互作用势能仅与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关。Hatree-Fock平均场近似用表示第个电子的哈密顿算符，则电子体系的哈密顿算符为单个电子的哈密顿算符之和薛定谔方程变换为Hatree-Fock平均场近似由分离变量法，令代入上式所有电子都满足薛定谔方程，可略去下标。只要解得，便可得到晶体电子体系的电子状态和能量，使一个多电子体系的问题简化成一个单电子问题，所以上述近似也称为单电子近似。周期场近似考虑一理想完整晶体，所有的离子实

都周期性地静止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外其它电子的平均势场和离子实的势场中运动。按照周期场近似，电子所感受的势场是具有周期性。这种模型称为周期场模型。总势场的表达式即为：：电子与电子之间的相互作用，在平均场近似下代表一种平均势能，为一恒量：是离子实对电子的势能，具有与晶格相同的周期

具有晶格周期性。假定晶格是严格周期性的，那么也是严格周期性的。周期场近似Block定理周期场模型考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外其他电子的平均势场和原子实的周期场中运动，这样的模型称为周期场模型。Bloch定理在周期场中，描述电子运动的Schrdinger方程为其中，U(r)=U(r+Rl)为周期性势场，Rl=l1a1+l2a2+l3a3为格矢，方程的解为：这里，uk(r)=uk(r+Rl)是以格矢Rl为周期的周期函数。这个结果称为Bloch定理。Block定理----Bloch函数关于布里渊区波矢量k是对应于平移算符本征值的量子数，其物理意义表示不同原胞间电子波函数的位相变化。如1反映的是沿a1方向，相邻两个原胞中周期对应的两点之间电子波函数的位相变化。不同的波矢量k表示原胞间的位相差不同，即描述晶体中电子不同的运动状态。但是，如果两个波矢量k和k’相差一个倒格矢Gn，可以证明，这两个波矢所对应的平移算符本征值相同。关于Block定理的几点讨论对于k：对于k’＝k+Gn：这表明，这两个波矢量k和k’＝k+Gn所描述的电子在晶体中的运动状态相同。因此，为了使k和平移算符的本征值一一对应，k必须限制在一定范围内，使之既能概括所有不同的的取值，同时又没有两个波矢k相差一个倒格矢Gn。与讨论晶格振动的情况相似，通常将k取在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封闭体积，即简约区或第一布里渊区中。关于Block定理的几点讨论关于Block定理的几点讨论若将k限制在简约区中取值，则称为简约波矢，若k在整个k空间中取值，则称为广延波矢。由于h1，h2和h3为整数，所以，k的取值不连续，在k空间中，k的取值构成一个空间点阵，称为态空间点阵。每一个量子态k在k空间中所占的体积为：在k空间中，波矢k的分布密度为：在简约区中，波矢k的取值总数为2.Bloch函数的性质Bloch函数行进波因子表明在晶体中运动的电子已不再局域于某个原子周围，而是可以在整个晶体中运动的，这种电子称为共有化电子。它的运动具有类似行进平面波的形式。那么，周期函数的作用则是对这个波的振幅进行调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性。关于Block定理的几点讨论晶体中电子：自由电子：孤立原子：可以看出，在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是两者的组合。如果晶体中电子的运动完全自由，则；若电子完全被束缚在某个原子周围，则。但实际上晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有的形式。周期函数的性质就反映了电子与晶格相互作用的强弱。关于Block定理的几点讨论可以认为，Bloch函数中，行进波因子描述晶体中电子的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期函数因子则描述电子的原子内运动，取决于原子内电子的势场。从能量的角度看，如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子的能量取分立的能级；若电子只有共有化运动（自由电子情况），电子的能量连续取值。由于晶体中电子的运动介于自由电子与孤立原子之间，既有共有化运动也有原子内运动，因此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带相间组成的能带结构。关于Block定理的几点讨论

需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这是由于人们对固体性质的研究首先是从晶态固体开始的。而周期性势场的引入也使问题得以简化，从而使理论研究工作容易进行。所以，晶态固体一直是固体物理的主要研究对象。然而，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，现已证实，在非晶固体中，电子同样有能带结构。电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的必要条件。关于Block定理的几点讨论求解能带结构由于晶格周期势场V(r)的形式一般都比较复杂，严格求解单电子薛定谔方程仍是不可能的。因此在处理实际问题时需要根据具体的情况采用不同的近似方法。为了计算晶体能带，曾发展了许多近似方法，如原胞法、赝势法，紧束缚近似和近自由电子近似等。本PPT介绍以下两种方法。近自由电子近似紧束缚近似近自由电子近似

金属中电子受到粒子周期性势场的作用。假定周期性势场的起伏较小，使电子的行为很接近自由电子时采用的处理方法。作为零级近似，可用势场的平均值V代替晶格势V(x)，若要进一步讨论可把周期势的起伏作为微扰处理。这样就可用微扰论来求解薛定谔方程。这种模型可作为一些简单金属，如Na，K，A1等价电子的粗略近似。为了简单，我们仅以一维情形来说明这种方法。零级近似——电子的能量、波函数一维情况考虑一维单原子链晶体。晶格常数为a，有N个原胞，晶体线度

L=Na一维晶格中单电子薛定谔方程：其中周期性势场：其中n为任意整数。

波函数满足周期性边界条件：

近自由电子近似近自由电子近似引入周期性边界条件后，k的取值：----l为整数零级近似下的薛定谔方程：自由电子零级能量和零级波函数：2）微扰

根据微扰的理论：

电子能量的本征值

一级能量修正：近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似简并态微扰理论由于在零级近似解中，能量E是k的二次函数，

，即

与

所标志的电子态都相同的能量，因此是二度简并的。必须采用简并态微扰理论来讨论微扰哈密顿算符

对波函数和能量的影响。按照简并微扰理论，零级近似的波函数是相互简并的零级波函数的线性组合。因此可选用能量几乎相等的一对波矢为

和

的波函线的线性组合作为零级近似波函数。近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似情况近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似而每个En(k)又都是k的函数，对每一个En(k)，可以解出一组amk(G)系数，原则上我们可以得出En(k)和相应的Φnk(r)。能量本征值En(k)既与n有关也与k有关。对每个给定的n，En(k)包含由于k的不同取值所对应的许多能级，称为一个能带，指标n用以标志不同的能带。同一能带中相邻的K值的能量差别很小，En(k)可近似看成是k的连续函数。相邻两能带之间可能出现电子不允许有的能量间隙，称为禁带。En(k)的总体称为晶体的能带结构。波矢的数目由此，我们得到一个重要的结论：在每个能带中共有N个不同的电子态，考虑到电子自旋后，每个能带共有2N个电子态近自由电子近似541.模型与微扰计算紧束缚近似方法的思想---电子在一个原子(格点)附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其它原子势场的作用看作是微扰---将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合，得到原子能级和晶体中电子能带之间的关系---LCAO理论__LinearCombinationofAtomicOrbitals

---原子轨道线性组合法紧束缚近似紧束缚近似55---简单晶格原胞、只有一个原子---电子在第m个原子附近运动，其它原子的作用是微扰电子的束缚态波函数电子在格矢处原子附近运动56电子的束缚态波函数---格点的原子在处的势场----电子第i个束缚态的波函数--电子第i个束缚态的能级紧束缚近似57晶体中电子的波函数满足的薛定谔方程----晶体的周期性势场___所有原子的势场之和----对方程进行变换----微扰作用紧束缚近似58微扰以后电子的运动状态----晶体中有N个原子，有N个格点，环绕不同格点，有N个类似的波函数，它们具有相同的能量本征值i----微扰以后晶体中电子的波函数用N个原子轨道简并波函数的线性组合构成原子轨道线性组合(LCAO)晶体中电子的波函数电子的薛定谔方程紧束缚近似---当原子间距比原子半径大时，不同格点的重叠很小近似有----‘正交关系’电子的波函数紧束缚近似以左乘上面方程积分得到化简后得到---N种可能选取，方程是N个联立方程中的一个方程紧束缚近似61变量替换势场具有周期性----积分只取决与相对位置引入函数----表示方程中的积分项紧束缚近似62----周期性势场减去原子的势场，仍为负值紧束缚近似63----关于am为未知数的N个齐次线性方程组----am只由来决定方程的解---任意常数矢量紧束缚近似64对于确定的波函数晶体中电子的波函数能量本征值紧束缚近似65晶体中电子的波函数具有布洛赫函数形式改写为----晶格周期性函数---简约波矢，取值限制在简约布里渊区紧束缚近似周期性边界条件的取