数列的综合应用课件

第五节数列的综合应用数列的实际应用(1)解答数列应用题的步骤.①审题——仔细阅读材料，认真理解题意；②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征；③求解——求出该问题的数学解；④还原——将所求结果还原到原实际问题中.具体解题步骤用框图表示如下：(2)数列应用题常见模型.①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑是an与an+1的递推关系，还是前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)在等差数列{an}中，首项a1、公差d、前n项和Sn、通项an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个.()(2)在等比数列{an}中，首项a1、公比q、前n项和Sn、通项an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个.()(3)数列与不等式问题中经常使用放缩的方法，则对n∈N*有

()(4)数列与函数问题中有时会使用导数的方法，证明不等式2n>n时，可以构造函数f(n)=2n-n(n∈N*)，然后对这个函数求导，研究函数的性质得出所证不等式.()【解析】(1)正确.根据等差数列各个元素之间的关系知正确.(2)正确.根据等比数列各个元素之间的关系知正确.(3)错误.对n≥2才有意义.(4)错误.函数在自变量离散的地方不存在导数，必须先把函数的定义域拓展到连续的实数区间上才能求导.答案:(1)√(2)√(3)×(4)×1.设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn=()(A)(B)(C)(D)n2+n【解析】选A.设数列{an}的公差为d，则根据题意得(2+2d)2=2·(2+5d)，解得或d=0(舍去)，所以数列{an}的前n项和2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k=()(A)2(B)4(C)6(D)8【解析】选B.由等差数列{an}且a1=9d，得ak=a1+(k-1)d=(k+8)d，a2k=a1+(2k-1)d=(2k+8)d.又∵ak是a1与a2k的等比中项，则有ak2=a1a2k,即[(k+8)d]2=9d×[(2k+8)d]得k2-2k-8=0，解得k1=4,k2=-2(舍去).3.已知x>0，y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是()(A)0(B)1(C)2(D)4【解析】选D.∵a+b=x+y,cd=xy,∴4.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为_______.【解析】设公比为q,则an=a1qn-1，又4S2=S1+3S3，即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2)，解得答案:考向1

等差数列与等比数列的综合问题【典例1】(1)已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1,S2,S4成等比数列,则=()(A)4(B)6(C)8(D)10(2)(2012·湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8.①求等差数列{an}的通项公式；②若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和.【思路点拨】(1)由等比中项的性质列出S22=S1S4,再代入等差数列的通项公式和前n项和公式，用a1和公差d表示出来，求出a1和d的关系，进而求出式子的比值.(2)①根据已知条件，列出方程求出首项和公差，根据等差数列通项公式可得结果.②根据a2，a3，a1成等比数列确定等差数列的公差，按照项的符号分段求解数列{|an|}的前n项和.【规范解答】(1)选C.设等差数列{an}的公差为d，且d≠0，∵S1,S2,S4成等比数列，∴S22=S1S4,∴d2=2a1d,解得d=2a1或d=0(舍去),∴故选C.(2)①设等差数列的公差为d，根据a1+a2+a3=-3可得a2=-1，进而得a1a3=-8，即(a2-d)(a2+d)=-8，所以1-d2=-8，解得d=±3.当d=3时，a1+3=-1，得a1=-4，此时an=-4+(n-1)×3=3n-7；当d=-3时，a1-3=-1，得a1=2，此时an=2+(n-1)×(-3)=-3n+5.∴{an}的通项公式为an=3n-7或an=-3n+5.②d=3时，a2=-1，a3=2,a1=-4,此时a2,a3,a1成等比数列；当d=-3时，a2=-1,a3=-4,a1=2，此时a2,a3,a1不是等比数列，故an=3n-7，这个数列的第一、二两项为负值，从第三项开始为正值.方法一：当n≤2时，|an|=7-3n，这是一个首项为4的公差为-3的等差数列，故当n>2时，|an|=an=3n-7，此时这个数列从第三项起是一个公差为3的等差数列，故Sn=|a1|+|a2|+a3+a4+…+an=(4+1)+[2+5+…+(3n-7)]所以这个式子中n=2时两段函数值相等，故可以写为方法二：设数列{an}的前n项和为Tn，则由于n≤2时，|an|=-an，所以此时当n＞2时，Sn=(-a1-a2)+(a3+a4+…+an)=-T2+(Tn-T2)=Tn-2T2=所以这个式子中n=2时两段函数值相等，故可以写为【互动探究】本例题(1)中将条件“S1,S2,S4成等比数列”改为“a1,a2,a4成等比数列”,结论“”改为“”，则结果如何？【解析】设等差数列{an}的公差为d，且d≠0,∵a1,a2,a4成等比数列,∴a22=a1·a4,∴(a1+d)2=a1·(a1+3d)⇒a1=d,∴an=nd.故【拓展提升】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序.(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.【提醒】在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合.【变式备选】已知{an}是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为{an}的前n项和.(1)求通项an及Sn.(2)设{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.【解析】(1)因为{an}是首项为a1=19，公差d=-2的等差数列，所以an=19-2(n-1)=-2n+21,Sn=-n2+20n.(2)由题意知bn-an=3n-1,所以bn=an+3n-1,即bn=-2n+21+3n-1.Tn=Sn+(1+3+…+3n-1)考向2

数列的实际应用【典例2】(2012·湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式.(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).【思路点拨】(1)只要根据增长率求出当年年底的资金总额，再减去上缴的资金，就是下年度年初的资金，即可求出a1,a2，以及建立an+1与an间的递推关系式.(2)使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数列{an}的通项公式an，令am=4000即可求出d.【规范解答】(1)由题意得a1=2000(1+50%)-d=3000-d，a2=a1(1+50%)-d=∴(2)方法一：由(1)得，当n≥2时，整理得由题意，am=4000,∴解得故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.方法二：由于设化为与比较可得λ=-2d，故这说明数列{an-2d}是以a1-2d=3000-3d为首项,为公比的等比数列，所以即(下同方法一).【拓展提升】解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表：数列模型基本特征等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{an}满足an+1=1.2an-a

(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确.(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点.【变式训练】某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为万元(n为正整数).(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需要扣除技术改造资金)，求An,Bn的表达式.(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【解析】(1)依题意知，数列{An}是一个以480为首项，-20为公差的等差数列，所以(2)依题意得，Bn>An，即可化简得设又∵n∈N*，f(n)是减函数，g(n)是增函数，又∴n≥4,n∈N*，所以至少经过4年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.

考向3

数列与函数、不等式的综合应用【典例3】已知函数f(x)=ln

x-x,数列{an}满足(1)求证：f(x)≤-1.(2)证明数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式.(3)求证不等式a1+a2+…+an＜n+ln2-ln(n+2).【思路点拨】(1)构造函数后，利用导数研究函数性质.(2)利用变换法将递推关系式转化得为等差数列，进而求{an}的通项公式.(3)根据(1)(2)的结果分析探究.【规范解答】(1)令g(x)=f(x)+1=lnx-x+1,g′(x)=

当0＜x＜1时，g′(x)＞0,当x＞1时g′(x)＜0,故g(x)在x=1处取得极大值，也是最大值，所以g(x)≤g(1)=0,故f(x)≤-1.(2)因为即数列是首项为公差d=-1的等差数列，由(1)知当x＞1时，f(x)+1＜0,即lnx＜x-1,令得：∴a1+a2+…+an＜n+ln2-ln(n+2).【拓展提升】数列中不等式的处理方法(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式.(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.(3)比较方法：作差或者作商比较.【变式训练】(1)(2013·滁州模拟)已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，其公比q≠1,且bi＞0(i=1，2，…，n)，若a1=b1，a11=b11，则()(A)a6＞b6(B)a6=b6(C)a6＜b6(D)a6＜b6或a6＞b6【解析】选A.∵数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，a1=b1，a11=b11，∴a1+a11=b1+b11，∴2a6=b1+b11≥=2b6，又q≠1,∴b1≠b11,∴a6＞b6，故选A.(2)已知an=2n-1，求使不等式≥对一切n∈N*均成立的最大实数p.【解析】由题意得对n∈N*恒成立，记则=∵F(n)>0,∴F(n+1)>F(n),即F(n)随n的增大而增大,F(n)的最小值为F(1)=∴p≤即pmax=．【创新体验】数列与函数的珠联璧合【典例】(2012·四川高考)设函数f(x)=2x-cosx，{an}是公差为的等差数列，f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π，则[f(a3)]2-a1a5=()(A)0(B)(C)(D)【思路点拨】找准创新点给出以等差数列前5项为自变量的函数值之和寻找突破口(1)根据等差数列性质和三角函数性质把f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)的结构使用a3表达(2)构造函数，通过函数的单调性确定a3的值(3)将求解结果用a3表示、化简【规范解答】选D.f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(cosa1+cosa2+cosa3+cosa4+cosa5)构造函数函数g(x)在(-∞,+∞)内单调递增，由g()=0，所以方程有唯一解所以所以【思考点评】1.方法感悟：本题充分体现了函数思想在解题中的应用，根据等差数列性质和三角函数性质化简f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)为关于a3的表达式，通过构造函数，研究其单调性，求出a3的值.这种“构造函数”的思想，是解决数学问题的重要思想.2.技巧提升：在数列与函数的综合问题中，通过观察分析，找出问题的特征，通过构造函数，研究函数的性质解决问题，是处理数列与函数综合问题的基本手段之一.

1.(2013·厦门模拟)在等差数列{an}中an＞0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5·a6的最大值等于()(A)3(B)6(C)9(D)36【解析】选C.等差数列的性质：项数和相等，则项的和也相等，所以由a1＋a2＋…＋a10＝30,得a5+a6==6，由基本不等式得a5·a6≤9，选C.2.(2013·太原模拟)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+1-an==2,n∈N*，则数列的前10项和为()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.根据已知an=2n-1，bn=2n-1，所以所以数列的前10项和等于3.(2012·湖北高考)定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的如下函数：①f(x)=x3；②f(x)=2x；③f(x)=④f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的序号为()(A)①②(B)③④(C)①③(D)②④【解析】选C.∵则对于①:可知①符合题意;对于②:结果不能保证是定值;对于③:可知也符合题意.对于④，由于在|q|≠1时，不能保证为常数，故不能保证④中的函数是“保等比数列函数”.4.(2013·泰安模拟)已知函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点，若数列的前n项和为Sn,则S2012的值为()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.由函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点，得5.(2013·重庆模拟)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍，工作时间为n天.(1)工作n天，记三种付酬方式薪酬总金额依