微积分第三版课件第二章第六节

同济大学微积分第三版课件第二章第六节将公式（5-3）代入（5-4），得：Q=1n∙A∙R23∙I12（5-5）式中：A——过水断面面积（m2），其他参数意义同前。同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节将公式（5-3）代入（5-4），得：Q=1n∙A∙R23∙I12（5-5）式中：A——过水断面面积（m2），其他参数意义同前。本节要点本节主要讨论在微分学中起着重要作用的几个中值定一、费马引理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理理:一、费马引理首先,让我们来观察这样一个几何事实.如图所示:

我们看到在曲线弧的最高点

或最低点处的横坐标为

则有连续曲线弧

是函数的图形,如果曲线有水平切线.若记点进一步观察,当

时,又看到在曲线弧

上,至少有一点

弧

在该点处的切线

平行于弦由此启发我们考虑这样一个又切线

的斜率是以

记的横坐标,则有理论上的问题:设是否存在使等式成立？下面我们从理论上对这个问题进行讨论.为讨论方便,先引入费马引理,该引理本身在微分学中也很重要.则:或证:不妨设时,有引理（费马引理）设函数在点

的某邻域内有定义并在处可导,若对任意的有故当有当时,当时,由函数在点

处的可导性及极限的保号性,得由此得到注通常称导数为零的点为函数的驻点.该引理说明:可导函数的极值点为驻点.二、罗尔定理罗尔定理设函数且证因

故必在上取到最大值

与最小值若有若那么

与

中至少有一个不等于不妨设则存在使得注1罗尔定理的几何意义因故由此存在注2罗尔定理的简单表达式使得因

存在,由费马引理得例1对函数在区间上验证罗尔定理的正确性.证在区间上,函数为初等函数因而连续,可导.又条件满足.因故定理的结论成立.故定理从而对函数及区间罗尔定理是正确的.例2设实数满足方程证明方程在区间中可解.证令则且所以由罗尔定理,在区间中存在使得又:故方程在所给区间中可解.三、拉格朗日中值定理证为引用罗尔定理,构造函数⑴拉格朗日中值定理设函数那么至少存在一点使得则或即且函数

满足罗尔定理的条件,由此存在使得注1拉格朗日中值定理的几何描述公式⑴称为微分中值公式.注2当

时,上式仍然成立,即3.若在区间中点点可导,当⑵因而此式更好的给出了因变量的增量的近似刻画.时,有例3设函数形,在同一平面上作出过点的割线,并作割线的斜率为:为求切点的坐标,求解方程:所以,割线方程:即:相应的切线.画出曲线在中的图得由此得相应切点坐标故而切线方程为:切线割线切点注意微分中值定理给出的是“

”的存在性,而并没有指出它究竟取哪一个值.对不同的函数,对不同的区间,“

”的取值可能是完全不同的.这一点,在讨论问题时特别要注意.我们知道,若函数为常数,则其导数为零;作为该定理在

内是一个常数.定理如果函数

在区间

内的导数恒为零,那么的应用,我们导出如下事实:若函数的导数恒为零,则该函数必为常数.证在区间

内任取两点（不妨设）,则由公式:由条件知意性,得

为常数.由的任因因此例4证明:当

时,有证取,则在区间中,

满足定理的条件,因而有因而上式为代入上式,便得即有例5证明:当时,证因,故在区间()上对函数使用拉格朗日中值定理使得例6设函数的导函数在内恒为常数,则证设在区间内,令则由此得到：，令其为

.即有为线性函数.四、柯西中值定理⑷证由于定理如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,并且在开区间内那么至少存在一点使得

左边的分式有意义.为使用拉格朗日中值定理,构造辅助函数:因而上式由此得到公式⑷.则,易证函数

满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点使得即注1柯西中值定理可简单地表示为注2容易看出,拉格朗日中值定理是柯西中值定理当的特殊情况.例7对函数上验证柯西中值定理的正确性.证函数在区间上连续,可导,且即满足定理的条件,现求使得在区间因又由于令得所以,从而成立,故对上的函数柯西中值定理是正确的.例8在上分别就拉格朗日中值定理,柯西中值定理,计算相应的解先考虑就拉格朗日中值定理计算相应的由得再考虑求相应的同样得到最后对函数就柯西中值定理来求相应的即:得由关系式本例说明若函数满足中值定理的条件,则适合中值定理结论中的是存在的,但对不同的函数或同一函数在不同的区间,所得到的可能是不同的.所以对柯西中值定理中的中值等式使得不能错误地误解为两个拉格朗日中值等式的商.例9设函数在区间内有二阶导数.且其中,点使得证由条件所设知函数在区间满证明:在至少存在一足罗尔定理的条件,故在区间分别存在使得又二阶可导,故连续，在区间上再一次使用罗尔定理,知存在