对角线上的两点带来的精彩

精品文档-下载后可编辑对角线上的两点带来的精彩平行四边形的对角线是平行四边形中两条特殊的线段.而在这个特殊线段上的有“特殊意义”的点，总能演绎出许多耐人寻味的“故事”，令人陶醉，你是不是也迫不及待地想领略一番？嗯，不多说了，请欣赏.

一、对角线上的两个动点

例，（2022年・益阳）如图1，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点.如果添加一个条件可使ABE相等于CDF，则添加的条件不能是（）.

A.AE=CFB.BE=DFC.BF=DED.∠1=∠2

解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AB//CD，所以∠ABE=∠CDF.

从“边角边”的角度来讲可以补充的条件是BE=DF因为EF是公共线段，所以BE=DF等价于BF=DE.所以选项B，C都可以使三角形全等.

从“角角边”的角度来讲可以补充的条件不具备.

从“角边角”的角度来讲可以补充的条件是∠l=∠2.所以选项D可以使三角形全等.

综上，选A.

二、对角线上的两个垂足点

例2如图2.在平行四边形ABCD中.BD是它的一条对角线.过点A，C分别作AEBD，CFBD.E，F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形，

解析：根据AEBD，CFBD，得AE//CF.只需再利用三角形全等证明AE=CF，问题就能得到证明.

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=CB，∠ADE=∠CBF，所以4DE全等于CBF（角角边），所以AE=CF

所以四边形AFCE是平行四边形.

三、对角线一半的两个中点

例3如图3所示，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.E，F分别是OA，OC的中点，求证：四边形DEBF是平行四边形.

解析：要证的四边形与已知的平行四边形有一条公共的对角线BD，这就意味着OD=OB.如果再证明OE=OF，就可以利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来完成证明.

因为E，F分别是OA，OC的中点，所以由OA=OC可得OE=OF.所以四边形DEBF是平行四边形.

四、对角线上等线段的两个端点

例4（2022年・鞍山）如图4，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE.DF=BE，DF//BE.求证：（l）AFD全等于CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形.

解析：（l）利用“边角边”容易证明AFD全等于CEB

（2）由AFD全等于CEB，容易得到AD=CB且AD//CB，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得结论.

五、等角与对角线的两个交点

例5如图5，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F是对角线AC上的两点，且∠ABE=∠CDF求证：四边形DEBF是平行四边形，

解析：利用平行四边形的性质和已知条件，可以证明ABE全等于CDF（角边角），ADE全等于CBF（边角边）.于是得到BE=DF，DE=BF，从而可证明结论，

六、对角线上两个等角的顶点

例6（2022年・贺州）如图6，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，∠1=∠2.（1）求证：BE=DF；（2）求证：AF//CE.

解析：（1）如图7，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AB//CD.

所以∠4=∠3.因为∠1=∠2，所以∠AEB=∠CFD，所以ABE全等于CDF（角角边），BE=DF.

（2）由（1）知ABE全等于CDF，所以AE=CF.因为∠1=∠2，所以AE//CF.

所以四边形AECF是平行四边形，AF//CE.

练习：

1.如图8，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD.BC于点M，N，分别交BA，DC的延长线于点E，F有下列结论：①AO=BO；②OE=OF；