机械强度设计课件

第3章机械强度设计3.1强度与失效3.2应力状态与强度理论

3.3常见的机械强度理论3.4常用（初始）屈服条件3.5塑性应力应变关系的增量理论3.6塑性应力应变关系的全量理论3.7含裂纹的强度理论3.8脆性断裂的准则3.9弹塑性断裂力学返回3.1强度与失效关于机械零件强度设计的实践已经历了上千年的发展，作为一个理论体系，它也拥有500年左右的历史，并且其发展与力学、工程材料学和制造工艺学等学科的发展密切相关。从广义上来讲，机械零件的强度就是指零件抵扰各种机械破坏的能力。最早为人所知的对机械零件起破坏作用的外在因素是外载荷。后来，人们提出了内力和应力的概念。显然，应力的概念比外载荷更进了一步。直到今天，人们仍然把应力作为引起材料发生破坏的因素之一。只有在应力分布不均匀的构件内考虑超过弹性极限的破坏问题时，人们才又提出以极限载荷作为强度计算的准则。此外，对于某些零件，例如当柱、壳体等构件把丧失稳定性作为破坏形式时，才用失稳极限载荷作为强度计算的准则。材料抵抗破坏的能力取决于材料本身的力学性质。下一页返回3.1强度与失效以往，从强度的观点来看，人们只知道静破坏这一种现象，于是相应地开展了对静载荷作用下的弹塑性应力分析和材料的强度极限，以及屈服极限的研究工作，并得出了弹性力学、塑性力学和材料力学等一系列学科的理论知识。现代机械所承受的工况、载荷及环境条件越来越苛刻，所遇到的机械强度问题也越来越复杂。在制造和使用过程中，机械零构件中经常存在微观缺陷和微裂纹，在研究其裂纹的产生、成长及破坏机制时，除了需要固体力学、计算力学和实验力学知识以外，还需要细观力学、损伤力学和断裂力学的知识来进行分析研究。为确定机械零件的使用寿命以及延寿和安全评估等问题，还必须具有随机理论、疲劳强度、统计分析及可靠性方面的知识；因此，在研究现代机械强度问题时，需要把多种学科的知识综合应用起来。上一页下一页返回3.1强度与失效机械强度包括材料强度和结构强度两方面的内容。所谓强度是指材料、机械零件和构件抵抗外力而不失效的能力。狭义的强度是研究各种断裂和塑性变形过大的问题；而广义的强度则包括强度、刚度和稳定性，有时还包括机械振动问题。强度理论是指判断材料在复杂应力状态下是否会发生破坏的理论。材料在外力的作用下有两种不同的破坏形式：一种是在不发生显著塑性变形状况下的突然断裂，这种称为脆性破坏；另一种是因发生显著塑性变形而不能继续承载的破坏，这种称为塑性破坏。上一页下一页返回3.1强度与失效对于单向应力状态，由于可直接对其做拉伸或压缩实验，所以通常就用破坏载荷除以试样的横截面积而得到的极限应力（强度极限或屈服极限，见材料的力学性能）作为判断材料破坏的标准。但在二向应力状态下，材料的内破坏点处的主应力σ1、σ2不为零；在三向应力状态的一般情况下，三个主应力σ1、σ2和σ3均不为零。不为零的应力分量有不同比例的无穷多个组合，因此不能用实验逐个确定。由于工程上的需要，两百多年来，人们对于材料破坏产生的原因提但这些假说都只能被某些破坏实验所证实，而不能解释所有材料的破坏现象。这些假说统称为强度理论。上一页返回3.2应力状态与强度理论对于轴向拉压和平面弯曲中的正应力，通常将其与材料在轴向拉伸（压缩）时的许用应力相比较来建立强度条件。同样，对于圆杆扭转和平面弯曲中的切应力，由于杆件危险点处横截面上切应力的值最大，且处于纯剪切应力状态，故可将其与材料在纯剪切状态下的许用应力相比较来建立强度条件。则构件的强度条件为：其中，工作应力σmax或τmax由相关的应力公式来计算；材料的许用应力[σ]或[τ]采用直接试验的方法（如拉伸试验或扭转试验）测得材料相应的极限应力并除以安全因数来求得。但是，在一般情况下，受力构件内的一点处既有正应力，又有切应力，下一页返回3.2应力状态与强度理论这时，一方面要研究通过该点的各个不同方位截面上应力的变化规律，从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合称为一点处的应力状态。另一方面，由于该点处的应力状态较为复杂，而应力的组合形式又有无限多的可能性，因此，不可能用直接试验的方法来确定每一种应力组合情况下材料的极限应力。于是，就需要探求材料破坏（断裂或屈服）的规律。如果能确定引起材料破坏的决定性因素，就可以通过比较轴向拉伸试验的结果，来确定各种应力状态下破坏因素的极限值，从而建立相应的强度条件，即强度理论。上一页下一页返回3.2应力状态与强度理论研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小的正六面体——单元体来研究。作用在单元体各面上的应力可认为是均匀分布的。如果单元体的一对截面上没有应力，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内，则称为平面应力状态，如图3.1（a）所示；而单元体的所有面上均有应力的，则称为空间应力状态，如图3.1（b）所示。根据对弹性力学的研究可知，在任何应力状态下，总可以找到三对互相垂直的面，在这些面上的切应力等于零，且只有正应力，如图3.2（a）所示。这样的面称为应力主平面（简称主平面），主平面上的正应力称为主应力，一般用用σ1、σ2和σ3来表示（按代数值σ1≥σ2≥σ3）。如果三个主应力都不等于零，则称为三向应力状态，见图3.2（a）；上一页下一页返回3.2应力状态与强度理论如果只有一个主应力等于零，则称为双向应力状态，如图3.2（b）所示；如果有两个主应力等于零，则称为单向应力状态，如图3.2（c）所示。单向应力状态也称为简单应力状态，其他的应力状态称为复杂应力状态。上一页返回3.3常见的机械强度理论3.3.1第一强度理论第一强度理论又称为最大拉应力理论，其表述为：材料发生断裂是由最大拉应力引起的，即最大拉应力达到某一极限值时材料将发生断裂。在简单拉伸试验中，三个主应力当中有两个是零，那么最大主应力就是试件横截面上该点的应力σ1，当这个应力达到材料的极限强度σb时，试件就断裂。因此，根据此强度理论，通过简单拉伸试验，可知材料的极限应力就是σb。下一页返回3.3常见的机械强度理论于是在复杂应力状态下，材料的破坏条件为：上一页下一页返回3.3常见的机械强度理论需要指出的是，式（3.3）中的σ1必须为拉应力。在没有拉应力的三向压缩应力状态下，显然是不能采用第一强度理论来建立强度条件的。第一强度理论适用于脆性材料，且其最大拉应力大于或等于最大压应力（值或绝对值）的情形。3.3.2第二强度理论第二强度理论又称为最大伸长应变理论，它是根据J.V.彭赛列的最大应变理论改进而来的。该理论假定，无论材料内一点的应力状态如何，只要材料内该点的最大伸长应变ε1达到了单向拉伸断裂时最大伸长应变的极限值εu，材料就发生断裂破坏，上一页下一页返回3.3常见的机械强度理论其破坏条件为：上一页下一页返回3.3常见的机械强度理论E——材料的弹性模量；μ——材料的泊松比。这种理论的破坏条件可用主应力表达为：第二强度理论适用于脆性材料，且其最大压应力的绝对值大于最大拉应力的情形。上一页返回3.4常用（初始）屈服条件3.4.1Tresca屈服准则Tresca屈服准则又称为屈雷斯加屈服条件或最大剪应力屈服条件，它是由屈雷斯加于1868年根据金属挤压流过小孔的实验提出的。这个条件可表述为，当韧性金属的最大剪应力达到一定数值时，材料便开始屈服，即：式中τs——材料的剪切屈服应力。对于不同材料的τ

s值，可由实验来确定。屈雷斯加屈服条件要求预先知道最大与最小主应力。设σ1＞σ2＞σ3，则：下一页返回3.4常用（初始）屈服条件对于简单拉伸的情况，当σ1=σs（σs为简单拉伸时材料的屈服应力），σ2=σ3=0时，由式（3.10）可得：或写为：对于纯剪切情况，σ1=−σ3=τs，σ2=0，将其代入式（3.10）得：上一页下一页返回3.4常用（初始）屈服条件由此可见，根据简单拉伸试验和纯剪切可知，屈雷斯加屈服条件中的k0值为简单拉伸屈服应力的1/2。在一般情况下，σ1、σ2、σ3不按大小次序排列，则下列表示最大剪应力的6个条件中的任意一个成立时，材料就开始屈服，即：上一页下一页返回3.4常用（初始）屈服条件上式通常可写为：式（3.12）即为屈雷斯加屈服条件的数学表达式。在主应力空间，它是图3.3所示的一个与坐标轴成等倾斜各边长相等的正六棱柱体，平面π上为六边形，该正棱柱体称为屈雷斯加六棱柱体。对于二维应力状态（σ3=0），则有：上一页下一页返回3.4常用（初始）屈服条件式（3.13）在σ1、σ2平面内组成如图3.4所示的六边形，称为屈雷斯加屈服六边形。在应力空间讨论屈服条件时，对于二维应力状态则应将其退化为一个平面，称为主平面。显然，对于确定的应力状态（σ1,σ2），它在主应力平面内是一个确定的应力点，当物体中某一点的应力状态处在屈服六边形内部时，则表示物体在该处的材料尚处于弹性状态；如果物体中某一点的应力状态达到屈服六边形上的任一点，则意味着物体在该处的材料开始进入塑性状态。Tresca屈服条件的数学表达式很简单，与实验结果也较符合；但在使用该条件时，一般须预先知道主应力的大小次序，这样才能求出最大剪应力τmax。上一页下一页返回3.4常用（初始）屈服条件而一般情况下，主应力的大小次序是未知的，而且主应力的大小次序还可能随加载的变化而改变，因而，该条件使用起来比较困难。对于理想的弹塑性材料，其应力点不可能处在屈服六边形以外，而对于弹塑性强化材料开始屈服后的情况，则需做专门讨论。因此，这里所讨论的屈服条件为初始屈服条件，其屈服六棱柱体和屈服六边形分别为初始屈服面和初始屈服曲线。3.4.2Mises屈服准则应该指出的是，前面提到的平面π上的Tresca六边形的六个顶点是通过实验得到的，但连接这6个顶点的直线都是假定的，而且六边形的不连续性会引起数学处理上的困难。上一页下一页返回3.4常用（初始）屈服条件为了简化计算，又提出了Mises屈服准则。Mises准则认为，如果用一个圆将这6个顶点连接起来可能更合理，该屈服条件的数学表达式为：如果材料仍处于弹性状态；如果应力状态一旦满足屈服条件式（3.14），材料将开始屈服。Hencky对此屈服条件的物理意义进行了解释。他指出，Mises方程式（3.14）相当于弹性应变能U达到某个临界值时材料将开始屈服。由于平均正应力mσ（即静水应力）不能使材料屈服，也就是说弹性应变能U中的体积应变能VU对屈服不起作用，因而可认为，决定屈服的只是弹性应变能U中的形状变化应变能FU（又称形变能，畸变能）。上一页下一页返回3.4常用（初始）屈服条件因此，他提出的屈服准则可表达为：当形变能达到某个临界值时，材料将开始屈服。故Mises屈服准则又称为形变能屈服条件。由于形变能：上一页下一页返回3.4常用（初始）屈服条件式中2I′——应力偏量张量的第二不变量；k——表征材料屈服特征的参数，不同材料的k值可由简单拉伸实验来确定。式（3.15）与式（3.14）实际上是等价的，因为：将上式代入式（3.15）即得式（3.14）。上一页下一页返回3.4常用（初始）屈服条件将简单拉伸时与纯剪切屈服时所得到的结果加以比较，可得：由此可知，按照此准则，剪切屈服应力τs应为简单屈服拉伸应力σs的将代入准则，即：上一页下一页返回3.4常用（初始）屈服条件很明显，在主应力空间，方程式（3.16）所表示的是一个垂直于平面π的圆柱，见图3.3（a）。通常称此圆柱体为Mises圆柱体。它在平面π上的屈服曲线则是一个圆，见图3.3（b）。可以证明，Mises圆柱体就是Tresca正六角柱体的外接圆柱体，在平面π上的Mises圆就是Tresca正六边形的外接圆，而且此外接圆的半径为：对于平面应力状态，σ3=0，由式（3.16）可知，准则这时可简化为：上一页下一页返回3.4常用（初始）屈服条件即：此方程式在σ1−σ2平面内的图形是一个椭圆，如图3.5所示，通常称此椭圆为Mises椭圆，它就是Mises圆柱体与σ1−σ2平面的交线。对于Mises屈服准则的讨论，还应该提到苏联学者伊留申的工作。他把有效应力σi的概念引入了屈服条件，并把Mises准则解释为，当有效应力σi达到简单拉伸屈服应力σs时，材料将开始屈服。伊留申的解释为：上一页下一页返回3.4常用（初始）屈服条件这相当于：此式（3.20）即式（3.16），也即Mises准则。伊留申把复杂应力状态的屈服条件通过有效应力σi与简单拉伸屈服应力σs联系起来，使得Mises屈服条件的物理意义更加明确，并对建立弹塑性变形理论具有重要的意义。上一页下一页返回3.4常用（初始）屈服条件以上两种屈服条件各有优缺点，最大剪应力条件是主应力分量的线性函数，因而对于解决已知主应力方向及主应力间相对值的一类问题，该方法是比较简便的，而畸变能条件则显然复杂得多。但从理论上来说，最大剪应力条件忽略了中间主应力对屈服的影响，这是它的缺陷所在，而畸变能条件克服了这一问题。实验证明：畸变能条件比最大剪应力条件更接近于实验结果。上一页返回3.5塑性应力应变关系的增量理论在载荷的作用下，变形体中有的部分可能仍处于弹性状态，而有的部分则可能已进入塑性状态，因此，变形体可分为弹性区和塑性区两部分。在弹性区，加载与卸载过程都服从胡克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规律，而卸载过程则服从胡克定律。这就需要建立塑性阶段的本构方程来描述塑性应力与应变之间或应力增量与应变增量之间的关系。塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性和不唯一性，其应力、应变关系不再是线性的，应变不能由应力唯一确定。当外载荷发生变化时，应力也要随时发生变化，而在应力空间代表一点应力状态的应力点也要移动，应力点移动的轨迹称为应力路径，这一过程称为应力历史。对应于外载荷就是加载路径和加载历史。下一页返回3.5塑性应力应变关系的增量理论

在弹性阶段，应变可由应力直接用胡克定律求出。在塑性阶段，应变状态不但与应力状态有关，而且应变是应力和应力历史的函数。因为实际结构材料所经历的变形历史的复杂性，所以，在一般加载条件下，很难建立一个能够包括各种变形历史影响的全量形式的塑性应力—应变关系，而只能就增量应力与增量应变之间建立起增量形式的塑性本构关系，即所谓的增量理论或流动理论。由加载与卸载过程可知，当结构材料进入塑性状态之后，应力点位于屈服面上，此时材料的应力—应变关系将根据加载与卸载的不同情况而服从不同的规律。若为卸载，则施加的应力增量将使应力点从屈服面上返回到屈服面内，而增量应力与增量应变之间仍服从胡克定律。若为加载，则所施加的增量应力将使应力点在屈服面上移动或移动到新的屈服面上，上一页下一页返回3.5塑性应力应变关系的增量理论

此时材料的本构关系将服从流动规律。因此，塑性流动理论要解决的是在加载过程中应力增量与应变增量之间所服从的规律问题以及结构材料因加载与卸载的不同而具有不同的本构关系的问题。常用的论述材料在塑性状态下应力—应变关系的理论有两类：一类是建立在应变增量和应力偏量之间关系成比例基础上的理论，称为增量理论，又称为流动理论；另一类是建立在应变偏量与应力偏量之间理论描述的是材料在塑性状态下应力与应变增量之间的关系，它与物体的变形和变形历史有关，并能反映塑性变形的实质，适用于任何加求解具体问题有时比较困难。常用的增量理论有Levy−Mises理论和Prandtl−Reuss理论，后者是在前者的基础上进行的改进。上一页下一页返回3.5塑性应力应变关系的增量理论

全量理论与弹性力学相似，它在处理问题时取变形的全量，简单加载，并以满足比例变形为前提条件，分析问题时比较简单，只在一些特殊的情况下才能使用。当一点处的应力状态进入塑性状态以后，其相应的总应变εij可以分为弹性应变eij

ε和塑性应变pijε两部分，即：其中，弹性部分服从胡克定律，塑性部分是总应变与弹性应变之差，它是卸载后不能恢复的残留应变，当卸载发生时，其保持不变，而仅在继续加载时才发生变化。有时，为了方便，pij

ε的初值假定为零，之后的应变值便是与零应变相比较的相对值。上一页下一页返回3.5塑性应力应变关系的增量理论

塑性应变与加载路径有关，因此，必须讨论应力的变化特征和应变的变化特征，并且将进一步限定从考虑无穷小的变化开始计算其全部加载历史过程的增量，之后用积分或求和的方法求出总应变，所以塑性理论具有增量特征。上一页返回3.6塑性应力应变关系的全量理论通过增量理论可得到塑性应变增量的分量与应力分量之间的关系。为得到总塑性应变分量与应力分量之间的关系，对于理想弹塑性材料，应将方程式（3.38）对全部加载路径进行积分，从而求出总应变分量与瞬时应力分量之间的关系式。由此可见，应力与应变的全量关系必然与加载的路径有关。从全量理论的发展来看，首先是汉基（Hencky）于1924年建立了理想弹塑性材料的全量理论，随后是那达依（Nadai）于1937年提出了刚塑性材料大变形条件下的全量理论，再后来是伊留申于1943年系统地提出了弹塑性材料小变形条件下的全量理论。该理论试图直接建立用全量形式表示的与加载路径无关的本构关系。但塑性应变一般都与加载路径有关，所以全量理论一般来说是不正确的。下一页返回3.6塑性应力应变关系的全量理论然而，从理论上讲，沿路径积分总是可能的。但要在积分结果中引出明确的应力应变的全量关系式，而又不包含应变历史的因素，这仅在某些特殊情况下才有可能。全量理论（又称形变理论）即试图把弹性理论中的总应变与应力的关系扩展到塑性理论中来，建立一个用全量形式表示的与加载路径无关的本构关系。全量理论是直接用一点的应力分量和应变分量表示的塑性本构关系，它的数学表达式比较简单，且应用起来比较方便，但是其应用范围受到一定的限制。这里所介绍的弹塑性小变形理论描述了强化材料具有小变形时的塑性应力应变关系。其中应变包括弹性应变部分和塑性应变部分。这是全量理论中一个简单、常用的理论，和广义胡克定律相似。上一页返回3.7含裂纹的强度理论含裂纹的强度理论，即断裂理论是近40年来发展起来的一门学科，它是固体力学一个新兴的重要分支。断裂理论和其他学科一样，是在生产实践中产生和发展起来的，由于它与材料或结构的安全直接相关，因此，尽管它出现的时间很短，却在实验和理论方面均有了迅速的发展，并已开始为生产服务。随着现代科技和生产的发展，以及新材料、新产品和新工艺的不断出现，在产品安装、试验和运行过程中，经常发生脆断事故。在第二次世界大战中及战后，军事领域、工程领域发生了一系列的“低应力脆断事故”，造成了非常严重的损失。人们通过对大量破坏事故的研究发现，它们具有如下几点共同的特征：下一页返回3.7含裂纹的强度理论（1）破坏时的工作应力远远低于材料的屈服极限。（2）破坏的主要原因在于实际结构材料中存在各种缺陷或裂纹，这些裂纹的存在显著地降低了结构材料的实际强度。对一些典型脆断事故的分析表明，脆断总是由宏观裂纹引起的。这种裂纹多是由于冶金夹杂物、加工、装配、疲劳载荷和工作环境（如介质、高温等）中的一种或几种联合作用而产生的。对于大多数结构和零件来说，宏观裂纹的存在是不可避免的。含裂纹材料的强度取决于材料对裂纹的抵抗能力，这种抗力由材料的性质决定。上一页下一页返回3.7含裂纹的强度理论从材料或构件中存在宏观裂纹这一点出发，应用弹塑性理论和实验技术研究裂纹尖端附近的应力、应变场和裂纹的扩展规律的学科，就是断裂力学。简言之，断裂力学就是研究含裂纹的材料或结构的强度及裂纹扩展规律的一门学科，也称为“裂纹体力学”或“裂纹力学”。断裂力学认为，构件的断裂往往可以分为三个阶段：（1）裂纹的生成：由于疲劳、腐蚀介质、高温或环境等的影响，在构件的应力集中处，经过一段使用时间而形成微小裂纹；材料及构件中原本就存在缺陷或裂纹。（2）裂纹的亚临界扩展：在使用过程中，裂纹缓慢地扩展形成宏观裂纹。上一页下一页返回3.7含裂纹的强度理论（3）裂纹失稳扩展：在应力作用下，裂纹逐渐扩展，达到临界长度，构件突然失稳断裂。断裂力学的方法是在大量实验的基础上研究带裂纹的材料的断裂韧性，研究带裂纹的构件在各种服役条件下裂纹的扩展和止裂的规律，并应用这些规律进行设计，以保证产品的安全与可靠。由于断裂力学能把含裂纹的构件的断裂筋力和裂纹大小以及材料抵抗裂纹扩展的能力定量地联系在一起，所以它不仅能圆满地解释常规设计不能解释的“低应力脆断”事故，还为避免这类事故找到了方法。同时也为发展新材料、创造新工艺指明了方向，为材料的强度设计打开了一个新的领域。上一页下一页返回3.7含裂纹的强度理论断裂力学的理论基础是固体力学，其根据线弹性理论发展成为脆性断裂的线弹性断裂力学。目前，线弹性断裂力学发展得比较成熟，并在生产中得到广泛应用。由于裂纹尖端附近的应力集中，必然会产生塑性区，当塑性区达到一定尺寸时，它对材料的影响就不可以忽略，此时，线弹性理论已不适用。因此，又发展出了弹塑性断裂力学。目前，这方面的研究还不够成熟，因此，它是当前断裂力学研究的一个重要课题。当裂纹失稳扩展后，裂纹会迅速扩展，这又属于断裂动力学的研究范畴。这方面的研究工作已经开始，并应用于某些特殊领域。近年来，断裂力学的研究正朝着宏观和微观相结合的方向发展，这样对断裂机制的了解将会更加深入和全面。上一页下一页返回3.7含裂纹的强度理论实际零构件中的缺陷和裂纹是多种多样的，可以将其概括为三种，即穿透裂纹、表面裂纹和埋藏裂纹，如图3.7所示。在断裂力学中，按受力情况的不同，可将裂纹分为如下三种基本形式：（1）张开圆型（Ⅰ型）裂纹：受垂直于裂纹表面的拉应力的作用，裂纹上下两表面相对张开而扩展，如图3.8（a）所示。（2）滑开型（Ⅱ型）裂纹：受平行裂纹面而垂直于裂纹前缘的剪应力的作用，裂纹上下两表面相对滑开而扩展，如图3.8（b）所示。（3）渐开型（Ⅲ型）裂纹：受平行于裂纹前缘的剪应力的作用，裂纹上下两表面沿z轴相对滑开，即撕开扩展，如图3.8（c）所示。上一页下一页返回3.7含裂纹的强度理论在这三种裂纹扩展形式中，以Ⅰ型裂纹最为常见，也最危险，极易引起低应力脆断。若构件同时受到正应力和剪应力作用，或裂纹面与正应力成某一角度，则将出现“复合型”裂纹。上一页返回3.8脆性断裂的准则3.8.1应变能释放率与G准则设想一厚度为B的无限大玻璃板。将板拉长后，固定其两端。如板受到均匀拉伸应力的作用，则板内单位体积内储蓄的应变能为：如在板中心割开一长度为2a的裂纹，由于裂纹表面的应力消失，释放出部分弹性应变能，对于平面应力状态而言，由弹性力学理论可得到：下一页返回3.8脆性断裂的准则

另一方面，裂纹扩展形成新的表面，需要吸收的能量为：式中γ——形成单位面积表面所需的表面能；4aB——裂纹上下两个表面的面积之和。如果应变能释放率，恰好等于形成新表面所需要吸收的能量率，上一页下一页返回3.8脆性断裂的准则

则裂纹达到临界状态；如果需要吸收的能量率大于应变能释放率，则裂纹稳定；如果应变能释放率大于需要吸收的能量率，则裂纹不稳定。由此可写出：上一页下一页返回3.8脆性断裂的准则

现分别以GI、GIc代表应变能释放率和能量吸收率，即：式中下标“Ⅰ”——Ⅰ型裂纹，则裂纹失稳的临界条件，即G准则为：上一页下一页返回3.8脆性断裂的准则

对于无限大玻璃板有中心裂纹，受拉伸作用，而且两端固定边界的情况有：根据临界条件式（3.66），有：上一页下一页返回3.8脆性断裂的准则

式（3.69）写成临界应力形式为：式（3.70）表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a的裂纹失稳、扩展时拉应力的临界值，称为裂纹平板的剩余强度。式（3.69）写成临界裂纹长度形式为：上一页下一页返回3.8脆性断裂的准则

式（3.71）表示无限大板在工作应力σ的作用下，裂纹的临界长度。G是材料常数，用来表征材料对裂纹扩展的抵抗能力，其数值由实验来确定。GI是裂纹长度a和工作应力σ的函数。只有GI大于GIc时，裂纹才会失稳、扩展。必须指出的是，采用上述理论计算结构的断裂强度只局限于完全脆性材料，例如玻璃板等。对于有一定塑性的金属材料，上述理论不完全适用。将能量平衡理论应用于金属材料时，需要更广泛的概念，即材料抵抗裂纹扩展能力的概念，这种能力应该包括两部分，即形成裂纹新表面所需吸收的表面能和裂纹扩展所需吸收的塑性变形能。对于金属材料来说，材料抵抗裂纹扩展的能力是一个常数，只有应变能释放率大于此常数时，裂纹才会失稳、扩展。上一页下一页返回3.8脆性断裂的准则

设裂纹扩展单位面积所需的塑性变形能为Up，根据上述的广泛吸收能量率的概念，式（3.69）中的γ应该用来代替。对金属材料来说，Up比γ一般要大几个数量级，即γ与Up相比较属于极小微量，可忽略不计。因此，对于金属材料，则有：于是，具有中心裂纹、两端固定，且受拉伸作用的无限大金属板的临界条件GI=GIc，可以写成：上一页下一页返回3.8脆性断裂的准则

从而得出剩余强度与临界裂纹长度分别为：上一页下一页返回3.8脆性断裂的准则

3.8.2应力强度因子与应变能释放率之间的关系将无限大板中心穿透裂纹的应变能释放率公式（3.67）与应力强度因子公式（3.53）相比较，不难看出，KI的平方和GI都包含σ2a。因此，K

I

和GI之间应该存在一定的关系，这些关系将进一步揭示应力强度因子的物理意义。由式（3.67）和式（3.53）可得：上一页下一页返回3.8脆性断裂的准则

进一步可证明式中E′=E（平面应力情况）；上一页下一页返回3.8脆性断裂的准则

由此可见，应力强度因子和应变能释放率存在对应关系，KI不仅表示裂纹尖端附近的弹性应力场的强度，而且它的平方也能确定裂纹扩展时所释放出的能量率。所以在讨论线弹性断裂问题时，应用KI和GI为参数都是等价的。对于Ⅱ型和Ⅲ型裂纹也有类似的关系，即：上一页下一页返回3.8脆性断裂的准则

3.8.3脆性断裂的K准则式（3.66）表示脆性材料裂纹失稳、扩展的临界条件为：根据式（3.76）可以得到用应力强度因子表示的裂纹失稳、扩展的临界条件为：上一页下一页返回3.8脆性断裂的准则

式（3.79）称为脆性断裂的K准则，它表示裂纹尖端的应力强度因子KI达到某一临界值KIc时，裂纹将失稳、扩展。式中，KIc与GIc类似，是材料常数，被称为材料的平面应变断裂韧性。不难看出，在线弹性条件下，有：必须指出，KI和KIc是两个不同的概念，应力强度因子KI是由载荷及裂纹体的形状和尺寸决定的量，是用来表示裂纹尖端应力场强度的一个参量，可以用弹性理论的方法进行计算；而断裂韧性KIc是材料具有的一种机械性能，表示材料抵抗脆性断裂的能力，其值由试验测定。上一页下一页返回3.8脆性断裂的准则

实验和理论分析的结果都表明，材料的断裂韧性随试件厚度B的增加而下降，如图3.20所示。这是因为薄板的裂纹尖端处于平面应力状态，裂纹不易扩展，因此其断裂韧性值较高，一般用Kc来表示平面应力断裂韧性，随着板厚度的增加，裂纹尖端处于平面应变状态的部分也增加，此时，裂纹较易于扩展，因此其断裂韧性降低。当板的厚度增加到某一确定值以后，其断裂韧性降至最低值，称为平面应变断裂韧性，用KIc来表示。式（3.79）表示Ⅰ型裂纹在平面应变条件下的脆性断裂准则。对于金属材料而言，在平面应力条件下，裂纹尖端会产生较大的塑性变形，此时在线弹性基础上建立的K准则不适用，而要采用弹塑性断裂力学的断裂准则。上一页下一页返回3.8脆性断裂的准则

对于线弹性断裂问题，采用G准则或K准则得出的结果是完全一样的。由于应用弹性理论，可直接计算各种裂纹体的应力强度因子KI，同时，用试验测定KIc