傅立叶级数改课件

2023/7/271

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幂级数的应用十分广泛，例如可用于近似计算，表示非初等函数，解微分方程等。前面我们看到，幂级数的一般项形式简单，便于进行微分、积分运算，将函数写成幂级数形式便于进行数值分析、计算等。第五节函数幂级数展开式的应用

第十一章一、近似计算

二、欧拉公式本节介绍：2023/7/271目录上页下页结束2023/7/272一、近似计算(仅讲例1,3,5)例1.

计算的近似值,精确到解:

目录上页下页结束2023/7/272一、近似计算(仅讲例1,3,5)例1.2023/7/273例3.利用求误差.解:

先把角度化为弧度(弧度)误差不超过的近似值,并估计

目录上页下页结束2023/7/273例3.利用求误差.解:先把角度化2023/7/274例5.

计算积分的近似值,精确到解:

由于故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在

x=0处的值为1,则它在积分区间上连续,且有幂级数展开式:

目录上页下页结束2023/7/274例5.计算积分的近似值,精确到解:2023/7/275二、欧拉(Euler)公式则称①收敛

,且其和为绝对收敛收敛.若收敛,若对复数项级数①绝对收敛则称①绝对收敛.由于,故知

目录上页下页结束2023/7/275二、欧拉(Euler)公式则称①收敛2023/7/276定义:

复变量的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛.当y=0时,它与实指数函数当x=0时,的幂级数展式一致.

目录上页下页结束2023/7/276定义:复变量的指数函数为易证它在整个复2023/7/277（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式则

目录上页下页结束2023/7/277（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式2023/7/278据此可得(德莫弗公式)利用幂级数的乘法,不难验证特别有

目录上页下页结束2023/7/278据此可得(德莫弗公式)利用幂级数的乘法,2023/7/279一、三角级数及三角函数系的正交性

二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数

第十一章第七节傅里叶级数

目录上页下页结束2023/7/279一、三角级数及三角函数系的正交性二、函2023/7/2710一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.

目录上页下页结束2023/7/2710一、三角级数及三角函数系的正交性简单的2023/7/2711证:同理可证:正交

,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在

目录上页下页结束定理1.

三角级数的函数系2023/7/2711证:同理可证:正交,上的积分等于2023/7/2712上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在

目录上页下页结束2023/7/2712上的积分不等于0.且有但是在三角2023/7/2713二、函数展开成傅里叶级数定理2.

设f(x)是周期为2的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有证:

由定理条件,①②对①在逐项积分,得

目录上页下页结束2023/7/2713二、函数展开成傅里叶级数定理2.2023/7/2714(利用正交性)类似地,

用sinkx

乘①式两边,再逐项积分可得

目录上页下页结束2023/7/2714(利用正交性)类似地,用sink2023/7/2715叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里的傅里叶级数.称为函数

目录上页下页结束2023/7/2715叶系数为系数的三角级数①称为的傅里2023/7/2716定理3(收敛定理,展开定理)设

f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有

x

为间断点其中(证明略

)为f(x)

的傅里叶系数

.

x

为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.

目录上页下页结束2023/7/2716定理3(收敛定理,展开定理)设f2023/7/2717例1.

设

f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为解:

先求傅里叶系数将f(x)展成傅里叶级数.

目录上页下页结束2023/7/2717例1.设f(x)是周期为22023/7/2718

目录上页下页结束2023/7/2718目录上页下页结束2023/7/27191)

根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明:f(x)的情况见右图.

目录上页下页结束2023/7/27191)根据收敛定理可知,时,级数收敛于2023/7/2720例2.上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:设

f(x)是周期为2的周期函数,它在

目录上页下页结束2023/7/2720例2.上的表达式为将f(x)展成2023/7/2721说明:

当时,级数收敛于

目录上页下页结束2023/7/2721说明:当时,级数收敛于目录2023/7/2722周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法其它

目录上页下页结束2023/7/2722周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在2023/7/2723例3.

将函数级数.则解:

将f(x)延拓成以展成傅里叶2为周期的函数F(x),

目录上页下页结束2023/7/2723例3.将函数级数.则解:将f2023/7/2724利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=0时,f(0)=0,得说明:

目录上页下页结束2023/7/2724利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当2023/7/2725设已知又

目录上页下页结束2023/7/2725设已知又目录上页下页2023/7/2726三、正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.

对周期为2的奇函数

f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为

目录上页下页结束2023/7/2726三、正弦级数和余弦级数1.周期为22023/7/2727例4.

设的表达式为f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.是周期为2的周期函数,它在解:

若不计周期为2的奇函数,因此

目录上页下页结束2023/7/2727例4.设的表达式为f(x)＝x2023/7/2728n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情况见右图.n＝5

目录上页下页结束2023/7/2728n＝1根据收敛定理可得f(x)的2023/7/2729例5.

将周期函数展成傅里叶级数,其中E为正常数.解:是周期为2的周期偶函数,因此

目录上页下页结束2023/7/2729例5.将周期函数展成傅里叶级数,其2023/7/27302.在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成

目录上页下页结束2023/7/27302.在[0,]上的函数展成正弦级数2023/7/2731例6.

将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:

先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,

目录上页下页结束2023/7/2731例6.将函数分别展成正弦级数与余弦级2023/7/2732注意:在端点x=0,,级数的和为0,与给定函数因此得f(x)=x+1的值不同.

目录上页下页结束2023/7/2732注意:在端点x=0,,级2023/7/2733再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,

目录上页下页结束2023/7/2733再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,2023/7/2734说明:

令

x=0

可得即

目录上页下页结束2023/7/2734说明:令x=0可得即目录2023/7/2735内容小结1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:

若为间断点,则级数收敛于

目录上页下页结束2023/7/2735内容小结1.周期为2的函数的傅2023/7/27362.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数

奇函数正弦级数

偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法

作奇周期延拓,展开为正弦级数

作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在[0,]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:

不唯一,延拓方式不同级数就不同.机动目录上页下页返回结束思考与练习2023/7/27362.周期为2的奇、偶函数的傅里2023/7/2737处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛于

.提示:设周期函数在一个周期内的表达式为

,

目录上页下页结束2023/7/2737处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛2023/7/2738备用题

1.叶级数展式为则其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)的傅里

目录上页下页结束2023/7/2738备用题1.叶级数展式为则其中系提示2023/7/27392.

设是以2为周期的函数,其傅氏系数为则的傅氏系数提示: