相似矩阵和二次型第十三课

1第5章相似矩阵及二次型

关于特征值和特征向量的讨论

用正交变换化二次型为标准形

(或用正交矩阵化对称阵为对角阵)

本章讨论

向量的内积特征值和特征向量

相似矩阵二次型的化简

本章重点2§2方阵的特征值和特征向量定义

设A为n阶方阵，如果数λ和n维非零向量

x,

使关系式成立，那么称数λ为方阵A的特征值，非零向量x为A的对应于λ的特征向量.注由定义可知：1)假设p是A的对应于λ的特征向量,那么kp(k≠0)也是A的对应于λ的特征向量.2)假设p1,p2皆是A的对应于λ的特征向量,那么p1+p2(p1+p2≠0)也是A的对应于λ的特征向量.3问题:给定方阵A,如何去求A的特征值及特征向量?这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,由克莱姆法那么知其有非零解的充要条件是系数行列式即4由代数学根本定理：在复数范围内，n次方程一定有n个根(重根按重数计算).故知有结论

n阶方阵A一定有n个特征值.称其为方阵A的特征多项式.这是一个关于λ的一元n次多项式.

上式是关于λ的一元n次方程,称其为A

的特征方程，显然A

的特征值即为特征方程的解.5通常，称为A的迹，记为tr(A).即，求对应的特征向量归结为解一个线性方程组.设A的特征值为由多项式的根与系数之间的关系知：61〕解特征方程2)对每个特征值总结：n阶方阵A的特征值、特征向量的求法：得到A的全部特征值.〔注意共有n个特征值〕求出齐次线性方程组的根底解系，它们就是A的对应于的线性无关的特征向量.7例〔教材P122例4〕求三阶矩阵的特征值和特征向量.解A的特征多项式为故得A的三个特征值为对于解齐次线性方程组〔2E-A)x=0,8系数矩阵同解方程组为取根底解系那么ξ1就是A的属于λ1=2的特征向量,而就是A

的属于λ1=2的全部特征向量.例（教材P122例4）求三阶矩阵的特征值和特征向量.9对于解齐次线性方程组（E－A)x=0,系数矩阵同解方程组为取根底解系那么ξ2就是A的属于λ2=λ3=1的特征向量,而就是A的属于λ2=λ3=1的全部特征向量.注意:这里基础解系只含一个向量例（教材P122例4）求三阶矩阵的特征值和特征向量.10例〔教材P123例5〕求三阶矩阵的特征值和特征向量.解A的特征多项式为故得A的三个特征值为对于解齐次线性方程组〔5E－A)x=0,11系数矩阵同解方程组为取根底解系那么ξ1就是A的属于λ1=5的特征向量,而就是A的属于λ1=5的全部特征向量.例（教材P123例5）求三阶矩阵的特征值和特征向量.12对于解齐次线性方程组（－E－A)x=0,系数矩阵同解方程组为例（教材P123例5）求三阶矩阵的特征值和特征向量.13取根底解系那么ξ2,ξ3就是A的属于λ2=λ3=－1的两个线性无关的A的属于λ2=λ3=－1的全部特征向量.注意:这里根底解系含有两个向量特征向量,而不同时为0）就是

由上两例可见：k重特征根所对应的线性无关的特征向量个数可能为k,也可能少于k.例（教材P123例5）求三阶矩阵的特征值和特征向量.14引理设λ是A的特征值，那么λ2是A2特征值，一般地，λk是Ak的特征值.证因为λ是A的特征值，即有于是，即λ2是A2

特征值，类似可证一般情形.注：此结论还可进一步推广如下：假设λ是A的特征值，那么更一般地，15定理2设是方阵A的m个特征值,依次是与之对应的特征向量，如果各不相等，则线性无关.证设有（*）式两端分别用左乘,由引理可得:16

左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，由条件知，此行列式不等于零，故该矩阵可逆，于是有：证毕用矩阵形式写出,即:171819§3相似矩阵定义

设A，B都是n阶方阵，若有可逆矩阵P，使则称矩阵B和A相似，对A进行运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为相似变换矩阵.定理3假设n阶方阵A与B相似，那么A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同.证因A与B相似，即有P，使故20推论若n阶方阵

A相似于对角阵则即是A的n个特征值.思考：1)假设A、B相似，A、B是否等价？2)假设A、B相似,是否有结论:若A、B相似,则A,B等价(从而秩相等),且有

A,B的特征多项式相同,特征值相同;

以及21问题对n阶方阵A，如何寻求相似变换矩阵P，使为对角阵？定理4n阶方阵A相似于对角阵〔即A能对角化〕充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

由此定理知，A能否对角化归结为何时A能有n个线性无关的特征向量，在上节的例子中，我们知道，尽管n阶矩阵一定有n个特征值，但却不一定有n个线性无关的特征向量.22那么有：定理4的证明即〔充分性〕将必要性证明逆推之即可.证〔必要性〕假设A与对角阵相似，即存在可逆矩阵P，使23推论如果n阶矩阵A的n个特征值各不相等，那么A与对角阵相似.在一个特别情形，我们有注意由定理4的证明过程可知：1〕对角阵Λ的对角线上的元素就是A的n个特征值；2〕相似变换矩阵P的列向量就是A的n个线性无关的特征向量.当有成立时，设3阶方阵A的特征值为－1,1,2，问A3

能否相似对角化？答:可以.24解A的特征多项式为故得A的三个特征值为对于方程组〔-2E－A)x=0,

试证三阶矩阵与对角阵相似.解齐次线性可得特征向量：例(P126例7)25对于解齐次线