作业参考1此题需利用Bezier曲线几何生成法即升阶割角多边形_第1页
作业参考1此题需利用Bezier曲线几何生成法即升阶割角多边形_第2页
作业参考1此题需利用Bezier曲线几何生成法即升阶割角多边形_第3页
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再注意到:Pk= = Lk ∥Pk+1Pk+1∥= L0L1..Ln是严格递减的,再由升阶割角多边形序列的收敛性我limLn=LBBezier曲线的长度.那么立刻得到L0> 2:我们需要注意到Bezier曲线本质上是一个多项式曲线.即P(t),A(t)B(t)t的多项式.事实上,反证法P(t)是圆弧,(pq)使得(A(t)−p)2+(B(t)−q)2=R2,∀t∈[ta,等式的左边是多项式,这个等式有无穷个根说明了左边的多项式的次数为0,A(t)B(t)P(t)是一个点,不可能是曲线.不失一般性,A(t)B(t)的次数,deg(A(t))≥1,下面n如果deg(A(t))>deg(B(t)),设A(t)的最高次项系数为an,考虑(A(t)−p)2+(B(t)−q)2的最高次项,其系数为a2=0,那么an=0,.若如果deg(A(t))=deg(B(t))≥1,设A(t)的最高次项系数为an,设nB(t)bn,(A(t)p)2+(B(t)q)2的最高次项,其系数为a2+b2=0,那么an=bn=0,亦.证毕. 3:如图所示Figure1:SABCK=SABK+SBCID−SABKSCIDK,SBCID积分.SBCID,BezierP(t)=

∫SBCID

SBCID

∫xn

ydx

∫y(t)dx(t)0

∫′y(t)x0Beta函数的线性组合的积分.我们需要使用如下关于Beta函数的定积分的结论:∫xP−1(1−x)Q−1dx=B(P,Q)0

(P−1)!(Q−1)!(P+Q−1)! PQ均为正整数.在此题中,1Bn(x)Bn−1(x 积分,根据Beta函数的积分,我们得到∫1Bn(x)Bn−1(x)dx=1Cn

Cn−ii

2n−−CCBezier曲线的定义,y(t)x(t)的解析表达式y(t)

iix′(t)

(i−−1(t)

n(x

—x ∫ ∫ y(t)x′(t)dt

yBn(t))(n−1 —x i

1n

C y —C

2i2i=0通过简单的计算我们得到

SABKS

1(y0

x0

CIDK=2(xn−

yn+ nCSABCK=SABK+SBCID− Cn 1∑

CC

n=2(y0− yn)x0+n

yi(xj+1

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