人教A版高二数学选择性必修第一册1.3 空间向量及其坐标的运算 同步精练（含解析）

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人教A版高二数学选择性必修第一册1.3空间向量及其坐标的运算同步精练(原卷版)

【题组一空间向量的坐标运算】

1．（2023·全国高二）已知点，向量，则点坐标是（）

A．B．C．D．

2．（2023·浙江高二学业考试）设点．若，则点B的坐标为（）

A．B．C．D．

3．（2023·绵竹市南轩中学高二月考（理））若，，，则的值为（）

A．B．5C．7D．36

4．（2023·包头市第四中学高二期中（理））若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（）

A．，B．，

C．，D．，

5．（2023·南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量，，以下说法错误的有()

A．若，则

B．若，则

C．

D．若，则为单位向量

6（2023·江苏连云港高二期末）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(﹣2，1，4)，＝(1，﹣2，1)，＝(4，2，0)，则（）

A．AP⊥ABB．AP⊥BPC．BC＝D．AP//BC

7（2023·全国高二课时练习）已知向量.

（1）计算和.

（2）求.

8．（2023·吴起高级中学高二月考（理））已知空间三点，设.

（1）的夹角的余弦值；

（2）若向量互相垂直，求实数的值；

（3）若向量共线，求实数的值.

【题组二坐标运算在几何中的运用】

1．（2023·全国高二课时练习）棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.

（1）求证：EF⊥CF；

（2）求与所成角的余弦值；

（3）求CE的长.

2．（2023·全国高二）棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点．

（1）求证：；

（2）求与所成角的余弦值；

（3）求的长．

3．（2023·全国高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则____，EF=____.

4．（2023·全国高二课时练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.

【题组三最值问题】

1．（2023·全国高一课时练习）在平面内的直线上求一点，使点到点的距离最小，并求出此最小值．

2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为______________.

人教A版高二数学选择性必修第一册1.3空间向量及其坐标的运算同步精练(解析版)

【题组一空间向量的坐标运算】

1．（2023·全国高二）已知点，向量，则点坐标是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】设点，则向量，

所以，所以点.故选：D

2．（2023·浙江高二学业考试）设点．若，则点B的坐标为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】设点B的坐标为，则，

∵，∴，解得，故选：C．

3．（2023·绵竹市南轩中学高二月考（理））若，，，则的值为（）

A．B．5C．7D．36

【答案】B

【解析】，.

故选：B

4．（2023·包头市第四中学高二期中（理））若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（）

A．，B．，

C．，D．，

【答案】D

【解析】A中，所以排除A；B中，所以排除B；

C中，所以排除C；D中，所以，能使.

故选D

5．（2023·南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量，，以下说法错误的有()

A．若，则

B．若，则

C．

D．若，则为单位向量

【答案】BD

【解析】对于A选项，因为，则，A选项正确；

对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；

对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；

对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.

故选：BD.

6（2023·江苏连云港高二期末）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(﹣2，1，4)，＝(1，﹣2，1)，＝(4，2，0)，则（）

A．AP⊥ABB．AP⊥BPC．BC＝D．AP//BC

【答案】AC

【解析】因为，故A正确；，，故B不正确；，，故C正确；，，各个对应分量的比例不同，故D不正确。故选:AC。

7（2023·全国高二课时练习）已知向量.

（1）计算和.

（2）求.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）因为向量

所以，

所以

（2）因为，所以

8．（2023·吴起高级中学高二月考（理））已知空间三点，设.

（1）的夹角的余弦值；

（2）若向量互相垂直，求实数的值；

（3）若向量共线，求实数的值.

【答案】（1）；（2）或；（3）或.

【解析】（1）已知空间三点，

（2）若向量互相垂直，

又，则

解得：或

（3）向量共线，又

当时，

当时，，成立，

当时，，不成立，

故：或

【题组二坐标运算在几何中的运用】

1．（2023·全国高二课时练习）棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.

（1）求证：EF⊥CF；

（2）求与所成角的余弦值；

（3）求CE的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz

则

所以

（1）证明：因为，所以，即EF⊥CF.

（2）因为

.

（3）

2．（2023·全国高二）棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点．

（1）求证：；

（2）求与所成角的余弦值；

（3）求的长．

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系

则,,,,.

所以,

,,.

（1）证明：因为

所以

即

（2）因为

由向量夹角的求法可得

∴

（3）根据空间中两点的距离公式可得

.

3．（2023·全国高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则____，EF=____.

【答案】

【解析】以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系

设正方体棱长为1，则

.

故答案为：；

4．（2023·全国高二课时练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.

【答案】

【解析】因为，所以向量的坐标为.

因为，

所以向量的坐标为.

因为，所以向量的坐标为.

故答案为：；；

【题组三最值问题】

1．（2023·全国高一课时练习）在平面内的直线上求一点，使点到点的距离最小，并求出此最小值．

【答案】点的坐标为时，

【解析】设，

则．

所以当，即点的坐标为时，．

2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为______________.

【答案】

【解析】建