高等数学（新标准教材）高职PPT完整全套教学课件

第一章函数ChapterIFunctions全套PPT课件函数极限与连续导数和微分导数的应用不定积分定积分定积分的应用常微分方程多元函数微积分学函数函数描述了客观世界中变量与变量之间的关系，是高等数学研究的主要对象．微积分是从研究函数开始的，本章将在中学已有函数知识的基础上进一步讲解函数的概念，并介绍反函数、复合函数及初等函数的主要性质，为微积分的学习打下基础．函数在工科专业中有许多应用，如出租车的收费问题，判断车速是否超速问题，机械构件的转动惯量问题，发电机的功率问题，减振器的减振原理，等等．目录1函数及其性质2复合函数与初等函数CONTENTS函数及其性质第一节问题情境9月1日，学校新生开学报到，有些外地同学由于没有赶上学校的接送车，只能自己乘出租车到学校．该市出租车的起步价是6.5元（路程在2.5km以内，不含2.5km），超过2.5km的路程，每千米1.6元（不足1km的按1km算）.你能写出路程与车费的关系吗？如果小张同学从火车站到学校付了9.7元的车费，你知道从火车站到学校有多远吗？一、常量与变量在研究自然现象、进行科学实验、解决生产中的问题时，我们会遇到各种各样的量，如时间、重量、温度、长度、面积、体积、速度等．在一特定运动过程中，始终保持同一数值不变的量，称之为常量；有的量可以取不同的数值，称之为变量．二、函数的概念实例1分析减振器的减振原理时需要研究液压传动中的液体静压力.容器中盛有液体，假设作用在液面上的力为p0，则液面下深h处的液体的压力p=p0+ρgh（液体静压力方程），其中，ρ是液体密度，g是重力加速度．实例2实例3实例41.函数的定义1.函数的定义1.函数的定义1.函数的定义对于汽车旋转构件而言，转矩与功率成正比，与转速成反比．汽车爬坡时，需要降低车轮的转速（降低挡位）来增大转矩，以增加爬坡的能力．这是因为，转矩，其中，P是功率，ω是转速．发动机每输出1kW·h的有效功所消耗的燃油量称为有效燃油消耗率，记作be，单位为g/（kW·h）.be可按式计算，其中，B是发动机在单位时间内的耗油量，Pe是发动机的有效功率．自由落体的运动规律为式中，h为下降距离，g为重力加速度，t为降落的时间.这个公式描述了物体在自由降落的过程中，其下降的距离h与时间t之间的依赖关系．6二、函数的概念在以上几个实例中，虽然各个变量的实际意义和解析式虽然不相同，但是它们都具有以下相同的特点：所描述的变化过程中有两个变量，变量之间有一个确定的依赖关系，或称为对应法则，虽然对应法则的表达式不同，但是当其中一个变量在一定范围内取定一个数值时，按照对应法则，另一个变量有唯一确定的数值与之对应．数学上将变量之间对应关系的实质进行了总结，就得到函数的概念．1.函数的定义定义1设x与y是某一变化过程中的两个变量，D是一个给定的数集，如果有一个对应法则f，使得对于每一个数值x∈D，变量y都有唯一确定的值与之对应，则称f是定义在数集D上的x的函数，或简称y是x的函数，记作y=f(x),x∈D式中，x为自变量；y为因变量；集合D为函数的定义域．二、函数的概念1.函数的定义若对于确定的x0∈D，通过对应法则f，函数y有唯一确定的值y0相对应，则称y0为函数y=f(x)在点x0处的函数值，记作函数值的集合，称为函数的值域，记作M．若函数在某个区间上的每一点处都有定义，则称这个函数在该区间上有定义．试验1教具：一个黑色盒子，在盒子的两个侧面分别设置一个口（出口、入口）.再制作几个圆形的卡片，在卡片的正面写1，2等数字，表示1元、2元等各种不同的币值；在卡片的背面画上相应的物品，如可乐、汉堡等．试验过程：将1元的自制卡片从黑色盒子的入口输入后，从出口滚出来的是在卡片背面所画的物品，如一瓶可乐．再取一张3元的自制卡片输入黑色盒子，则从盒子出口滚出来的是另一件物品．你想知道这是为什么吗？在没有看到滚出来的是什么物品时，谁也不知道会有怎样的结果，但是可以确定的是：必须投入一张卡片，才会有一个物品滚出来；投入不同的卡片，会滚出来不同的物品．由此可知，物品是随着输入卡片的变化而变化的．这一试验揭示了出口与入口的“变”性，而且出口会因入口的“变”而“变”．二、函数的概念2.函数的本质二、函数的概念2.函数的本质试验2在另一组硬币卡片的正反面分别写上1，2；2，4；3，6等数组．老师演示两次后，学生很快就猜出投入正面是3的硬币时出来的结果一定是6．这一试验揭示，有些变化我们知道它是怎样发生的，因此可以控制它．通过两个试验的对比，我们可以明白生活中存在许多因变而变的例子，就像函数中的自变量与因变量，自变量是输入的数，因变量是输出的数，因变量随自变量而变，而且输入一个自变量只能得到一个因变量，它们之间的这种关系就是函数．因此，函数的本质就是变量间的相互依赖“关系”．二、函数的概念3.函数的两个要素函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素．只有当两个函数的定义域和对应法则都相同时，才认为两个函数是相同的，而与自变量或因变量用什么字母表示无关．因此，在研究函数时，除了确定对应法则以外，还要明确函数的定义域．在高等数学中，函数的解析式还有以下两种表示方式：（1）隐函数.在研究变量的变化规律时，根据问题的实际特点，用方程Fx,y=0的形式来描述变量之间的依赖关系可能更方便．当x在某个数集D内取定某一数值时，相应地总有满足该方程的唯一的y值存在，则通过方程Fx,y=0，在数集D上可以确定一个函数，称此函数为隐函数．以前研究的函数，因变量y都能用含有x的解析式表示，称之为显函数．有些隐函数能方便地化成显函数，如y+x=5可转换成y=5－x.而有的隐函数则难以化成显函数的形式．如隐函数exy－sinx+y－y=0就无法化成显函数．虽然有些隐函数无法化成显函数的形式，但是在有些情况下并不影响研究函数的某些变化规律．（2）分段函数.在自变量的不同取值范围内，对应关系用不同的解析式来表示的函数称为分段函数．三、函数的表示法1.解析法例如，患者服用某药物，服用剂量D与体温T所产生的变化之间的关系由下式给出：解析法的优点是便于数学上的分析和计算．本书主要讨论用解析式表示的函数．三、函数的表示法1.解析法例3旅客乘坐火车可免费携带不超过20kg的物品，超过20kg而不超过50kg的部分每1kg交费a元，超过50kg的部分每1kg交费b元，求运费与携带物品质量的函数关系．分段函数在工程技术及日常生活中都会遇到．分段函数是定义域内的一个函数，不要理解为是多个函数.在求分段函数的函数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表达式进行计算．三、函数的表示法2.列表法例如，要获得某地一天中的气温与时间的变化关系，可以每隔一段时间测量一些数据．表1-1列出了某地从上午10:00到中午12:00每隔20min测得的气温数据，由此可以观察出这段时间内该地气温的变化情况．列表法的优点是简明、直观．在一些科技手册中常采用这种方法来表达数据．三、函数的表示法3.图像法例如，心电图（见图1-1）可以显示患者的心率模式，它是由心电图仪直接根据患者的心率情况绘制的．通过心电图的分析，医生可以诊断患者是否患有心脏病．图像法的优点是直观、通俗、容易比较．它的缺点是不便于做精细的理论研究．图1-1四、函数的几种特性1.有界性若存在正数M，使得函数f(x)在区间I上恒有|f(x)|≤M，则称函数f(x)在区间I上有界；若不存在这样的正数M，则称函数f(x)在区间I上无界．在定义域内有界的函数称为有界函数，如y=sinx、y=cosx等都是有界函数．函数f(x)在（a，b）内有界，在图形上表现为f(x)在（a，b）内的一段图像必介于两条平行线y=M和y=-M之间，如图1-2所示．图1-2四、函数的几种特性2.单调性6四、函数的几种特性3.奇偶性设函数f(x)在关于原点对称的区间上有定义，若f(x)满足f（－x）=－f(x)，则称f(x)为奇函数；若f(x)满足f（－x）=f(x)，则称f(x)为偶函数．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．注意四、函数的几种特性3.奇偶性6对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，对一切x均有f（x+T）=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，并把T称为f(x)的周期．通常讲的函数周期指的是函数的最小正周期．例如，在三角函数中，y=sinx、y=cosx都是以2π为周期的周期函数，而y=tanx、y=cotx则是以π为周期的周期函数．常数函数y=C以任意正数为周期，且没有最小正周期．四、函数的几种特性4.周期性定义2设函数y=f(x)的定义域为D，值域为M，如果对于数集M中的每个y值，在数集D中都有使等式y=f(x)成立的唯一的x值与之对应，其对应法则记为f－1，即变量x是y的函数．这个定义在数集M上的函数x=f－1(y)称为函数y=f(x)的反函数．记为x=f－1(y)习惯上用x表示自变量，用y表示因变量，因此约定将反函数x=f－1(y)的自变量记号改为x，因变量的记号改为y，用y=f－1(x)来表示y=f(x)的反函数．反函数y=f－1(x)的定义域仍为M，值域仍为D，此时由于改变了变量的记号，因此函数y=f(x)与其反函数y=f－1(x)的图形在同一坐标系内是关于直线y=x对称的．此时函数的定义域为M，值域为D，并且函数y=f(x)与其反函数x=f－1(y)的图形在同一坐标系内是相同的．由定义2可知，指数函数y=axa>0,a≠1与对数函数y=logaxa>0,a≠1互为反函数．五、反函数132（1）反函数的定义域为原函数的值域，反函数的值域为原函数的定义域.（2）原函数与反函数的单调性相同.（3）原函数与反函数的图像在同一坐标系内是关于直线y=x对称的．五、反函数反函数具有下列性质：（1）分析问题中哪些是变量、哪些是常量，分别用不同的字母来表示，并确定哪个变量为自变量．（2）根据问题所给的条件，运用数学知识或结合专业知识确定变量之间的等量关系．（3）写出函数的具体解析式，并指明函数的定义域．六、函数建模举例用数学方法解决实际问题时，先要建立函数关系（函数模型），再用适当的数学工具加以解决．建立函数模型的一般步骤为：六、函数建模举例例8近几年，不少地区将“区间测速”作为判断车辆是否超速的依据之一．所谓“区间测速”，就是通过在两个监测点上安装的监控探头和测速探头，测出一辆车通过两个监测点的时间t，再根据两个监测点之间的距离S，算出该车在这一区间段内的平均速度v，如果这个平均车速超过了该路段的最高限速vmax，即被判为超速．若监测点A，B相距15km，该路段的最高限速为120km/h，则车辆通过测速路段的最短时间tmin为多少？一辆车通过两个监测点的时间如图1-3所示，通过两个监测点的速度分别为110km/h和100km/h，则该车在此路段的平均速度为多少？该车会不会被判为超速？图1-3复合函数与初等函数第二节问题情境在一RC电路的充电过程中，电容器两端的电压为U(t)，充电时间为t，则电压与时间的关系式为（E，R，C均为常数）.在利用微积分方法解决问题时，需要明确这个函数的类型与构成方式，才能顺利地进行计算.那么就需要对函数进行分类，对函数的构成方式进行分析.一、基本初等函数定义1常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数（见表1-2）．二、复合函数一个函数可以与另一个函数发生联系从而构成新的函数.例如，函数y=u2与u=sinx可以构成新的函数y=sinx2，使得y成为x的函数.这种由较简单的函数复合成较复杂的函数的情况在应用上常常出现，下面给出复合函数的定义．定义2设函数y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=g(x)．如果对于u=g(x)的定义域中的某些x值所对应的u值，函数y=f(u)有定义，则y通过u的联系也是x的函数，称为由y=f(u)和u=g(x)复合而成的复合函数，记为y=f［g(x)］，其中u称为中间变量．并不是任意两个函数都可以构成复合函数．例如，函数y=arcsinu与u=2+x2就不能复合成一个复合函数，因为y=arcsinu的定义域为［-1，1］，而u=2+x2的值域为［2，+∞）．注意二、复合函数在可能的情况下，更多的函数也可以构成复合函数，此时的中间变量为两个或更多个．对于复合函数，应该明确其复合与分解的过程．函数的复合过程就是把中间变量依次代入的过程，而分解过程就是把复合函数分解为几个简单函数的过程，而这些简单函数往往都是基本初等函数，或者是基本初等函数与常数的四则运算的结果．三、初等函数由基本初等函数或常数经过有限次的四则运算或有限次的复合所构成的，并且可以用一个解析式表示的函数叫作初等函数．否则就是非初等函数．我们后面所讨论的函数大多数都是初等函数，但分段函数一般不是初等函数．例如，函数数学实验一Mathematica是由美国Wolfram公司研究开发的一个数学软件．它的语法规则简单，操作语言与人们的日常语言非常相近．在功能方面，Mathematica除了可以完成数值计算外，还有强大的符号运算功能和制图功能．Mathematica能给出问题的解析符号解，可用来处理微积分、微分方程、线性代数和规划优化等各类问题．目前，Mathematica软件已在工程、科研、教学等各个领域被广泛使用．Mathematica入门数学实验一运行Mathematica9.0，打开如图1-4所示的窗口，系统暂时取名“未命名-1”，直到用户保存时重新命名为止.1.Mathematica的启动和运行图1-4数学实验一先在窗口中输入“2+3”，然后按Shift+Enter组合键或按右边小键盘中的Enter键，系统开始计算并输出计算结果，并给输入内容和输出结果附上次序标识In［1］(In［1］是计算后才出现的)和Out［1］.再输入第二个表达式，要求系统在［0,2π］上画出函数y=sinx+cos3x的图形，按Shift+Enter组合键输出计算结果后，系统分别将输入的表达式和输出的图形标识为In［2］和Out［2］，如图1-5所示．1.Mathematica的启动和运行图1-5数学实验一在Mathematica9.0窗口中，可以用这种交互方式完成各种运算，如函数作图、求极限、解方程等．1.Mathematica的启动和运行（1）Mathematica严格区分大小写，一般情况下，内建函数的首字母必须大写，如果一个函数名是由几个单词构成的，则每个单词的首字母都必须大写，如求局部极小值的函数FindMinimum［f，{x，x0}］等．（2）在Mathematica中，函数名和自变量之间的分隔符是用方括号“［］”，而不是一般数学书上用的圆括号“()”．注意完成各种计算后，执行“文件”→“退出”命令退出程序，如果文件未存盘，系统会提示用户存盘，文件名以“．nb”作为后缀，称为笔记本文件．以后想使用本次保存的结果时，可以执行“文件”→“打开”命令读入，也可以直接双击文件名，系统会自动调用Mathematica将文件打开．数学实验一例1计算42×3-10÷（8-3）.解In［1］:=42×3-10/(8-3)Out［1］=462.Mathematica的基本运算（1）乘法可以用“*”和空格表示，如2×3=2*3=23=6．（2）乘方可以用“”表示，如52=52．说明^数学实验一例2求π2的近似值（保留6位有效数字）．解In［1］:=N［π^2，6］Out［1］=9.869602.Mathematica的基本运算（1）Ｎ［］在Mathematica中表示近似运算.Ｎ［］的语法如下：Ｎ［表达式］可求6位有效数字的近似值；Ｎ［表达式，ｎ］可求ｎ位有效数字的近似值．（2）Mathematica中定义了一些常见的数学常数，这些数学常数都是精确数．如Pi表示π＝3.14159…；E表示自然对数的底e＝2.71828…；Degree表示1°（π/180弧度）；I表示虚数单位i；Infinity表示无穷大∞；-Infinity表示负无穷大-∞.说明^数学实验一2.Mathematica的基本运算数学实验一2.Mathematica的基本运算说明Mathematica提供了一组按不同形式表示代数式的函数，其语法格式及意义见表1-3.数学实验一2.Mathematica的基本运算数学实验一3.用Mathematica定义的函数数学实验一4.用Mathematica作平面曲线数学实验一在Mathematica中定义了大量的可以直接调用的数学函数，这些数学函数的名称一般表达了一定的含义，可以帮助我们理解．常用数学函数的语法格式及其意义见表1-4.5.Mathematica系统函数数学实验一Mathematica中的函数与数学上的函数有一些不同的地方.Mathematica中的函数是一个具有独立功能的程序模块，可以直接被调用；同时，每一个函数既可以包括一个或多个参数，也可以不包括参数．而且，参数的数据类型也比较复杂．具体内容可以参看系统的帮助.了解各种函数的功能和使用方法是学习Mathematica的基础．5.Mathematica系统函数复习题一复习题一复习题一数学故事函数概念发展的历史过程函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300多年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数，直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动整个数学的发展．函数概念的纵向发展如下：1.早期函数概念——几何观念下的函数17世纪，意大利数学家伽利略(G.Galileo)在《关于两门新科学的对话》一书中几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系.法国数学家笛卡尔(Descartes)虽然在他的解析几何中已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期，牛顿、莱布尼茨建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分的函数是被当作曲线来研究的．2.18世纪函数概念——代数观念下的函数1718年，瑞士数学家约翰·伯努利(JohannBernoulli)在莱布尼茨函数概念的基础上把函数定义为：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量.”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫作x的数学故事函数.函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子．18世纪中叶，瑞士数学家欧拉(L.Euler)给出了非常形象的、一直沿用至今的函数符号．欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数（常数）以任何方式组成的解析表达式．他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数及变量的无理数幂所表示的函数）,还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数）.不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义．3.19世纪函数概念——对应关系下的函数1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier)发现某些函数可以用曲线来表示，也可以用一个式子来表示，或者用多个式子来表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识推向一个新的层次．1823年，法国数学家柯西(A.L.Cauchy)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是德国数数学故事学家狄利克雷(Dirichlet)．1837年，狄利克雷拓宽了函数的概念，他指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫作x的函数．”狄利克雷的函数定义出色地避免了以往函数定义中所有关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式被所有数学家无条件地接受．至此，我们可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义．美国数学家维布伦(Veblen)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化，并且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其他对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）．4.现代函数概念——集合论下的函数1914年，豪斯多夫(F.Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数．其优点是避开了意义不明确的“变量”“对应”概念，其不足之处是引入了不明确的概念“序偶”．波兰数学家库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}，这数学故事样就使豪斯多夫的定义更加严谨．1930年，新的现代函数定义为：若对于集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)．元素x称为自变元，元素y称为因变元．函数概念的定义经过300多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结.20世纪40年代，伴随着物理学研究的需要，发现了一种叫作Dirac-δ的函数，它只在一点处不为零，而在全直线上的积分等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的；但广义函数概念的引入，将函数、测度及以上所述的Dirac-δ函数等概念统一了起来．因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展．谢谢欣赏THANKYOUFORLISTENING第二章极限与连续ChapterIILimitsandContinuity极限与连续极限是高等数学的一个重要概念，也是学习高等数学的一个重要工具.高等数学的后续概念(如连续、导数、定积分等)都是用极限来描述的．连续则是很多函数的一个重要形态，连续函数是高等数学的主要研究对象．本章首先介绍极限的概念和极限的运算方法，然后研究函数的连续性．极限与连续在工科专业中有许多应用，如汽车的制动速度问题、设备折旧问题、电流的连续性问题等．目录1极限的概念2极限的运算CONTENTS3两个重要极限4无穷小量与无穷大量5函数的连续性极限的概念第一节问题情境古人对极限的概念进行了不懈的探索．古希腊数学家芝诺（Zeno）提出过4个著名的悖论，其中的一个是运动不存在．运动物体到达目的地之前必须到达路程的一半，然后再到达剩下一半路程的一半，然后再到达还剩下路程的一半……如此下去，它永远到达不了终点.第二个是巨人阿喀琉斯赶不上在他前面的乌龟．因为乌龟在他的前面，尽管他跑得很快，但当他赶到乌龟的起点时，乌龟（尽管跑得很慢）已经往前跑了一段距离；然后，当他赶到乌龟刚才所在点时，乌龟又已经向前走了一段距离，他再赶过去，乌龟又已经往前走了一段距离……如此下去，巨人阿喀琉斯永远赶不上在他前面的乌龟．芝诺的论点对吗？为什么？定义1将自变量为正整数的函数un=f(n)的函数值按自变量n由小到大的顺序排成的一列数u1，u2，u3，…，un，…称为数列，记为{un}.其中，un=f(n)为数列{un}的通项或一般项．由于一个数列{un}完全由其一般项un所确定，因此有时也将数列{un}简写成un．一、数列的概念与极限1.数列的概念定义2对于数列{un}，若存在一个常数M>0，使得|un|≤M(n=1，2，…)恒成立，则称数列un为有界数列，或称数列有界．如果数列{un}有界，也可理解为存在两个数M和m，使得m≤un≤M，也称M为数列的上界，m为数列的下界．一、数列的概念与极限1.数列的概念定义3对于数列{un}，若数列的各项满足un≤un+1，则称数列{un}为单调增加的数列；若数列的各项满足un≥un+1，则称数列{un}为单调减少的数列．单调增加的数列或单调减少的数列统称为单调数列．一、数列的概念与极限2.数列的极限看下面3个无穷数列：一、数列的概念与极限2.数列的极限为了直观，我们把这三个数列的前n项分别表示在数轴上，如图2-1~图2-3所示．图2-1图2-2图2-3一、数列的概念与极限2.数列的极限一、数列的概念与极限2.数列的极限例1观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限.二、函数的极限1.当x→∞时，函数f(x)的极限图2-4观察函数f（x）=可以发现，x无论取正数还是取负数，只要|x|无限增大，函数值就会无限趋近于0，如图2-4所示．定义5设函数f(x)当|x|＞a时有定义（a为某个常数），如果当x的绝对值无限增大时，相应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为当x趋于无穷大时函数f(x)的极限，记作定义5中的x→∞包括以下两种情形：（1）x取正值无限增大，记为x→+∞.（2）x取负值而绝对值无限增大，记为x→-∞．对于某些函数f(x)，自变量x的变化趋势只能或只需取这两种情形中的一种.对于这两种情形，有如下定义：定义6设函数f(x)在（a，+∞）内有定义（a为某个常数），如果当x无限增大时，相应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为当x趋于正无穷大时函数f(x)的极限，记作二、函数的极限1.当x→∞时，函数f(x)的极限二、函数的极限1.当x→∞时，函数f(x)的极限定义7设函数f(x)在（-∞，a）内有定义（a为某个常数），如果当x无限减小（或x无限增大）时，相应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为当x趋于负无穷大时函数f(x)的极限，记作二、函数的极限2.当x→x0时，函数f(x)的极限自变量x无限趋近于某个确定的数值x0，其几何意义是数轴上的动点x到定点x0的距离越来越小，逐渐趋近于0．在这种情况下，由于只考虑函数f(x)的变化趋势，因此无论f(x)在点x0处有无定义，都不影响我们的讨论．先来看下面的例子．图2-56二、函数的极限2.当x→x0时，函数f(x)的极限对于这种当x→x0时，f(x)无限趋近于A的变化趋势，有如下定义：定义8设函数f(x)在点x0的去心邻域内有定义，当x从x0的左、右两侧无限趋近于x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为当x趋近于x时函数f(x)的极限，记作说明6二、函数的极限在定义8中，x→x0表示x从x0的左、右两侧以任何方式无限趋近于x0，但有时需要考虑x只从大于x0的方向或只从小于x0的方向无限趋近于x0的情况，此时有如下定义：定义9设函数f(x)在点x0的去心邻域左侧（x0-δ，x0）有定义，当x从x0的左侧无限趋近于x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为当x趋近于x0时函数f(x)的左极限，记作2.当x→x0时，函数f(x)的极限定义10设函数f(x)在点x0的去心邻域右侧（x0，x0+δ）有定义，当x从x0的右侧无限趋近于x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为当x趋近于x0时函数f(x)的右极限，记作二、函数的极限2.当x→x0时，函数f(x)的极限二、函数的极限2.当x→x0时，函数f(x)的极限图2-6三、函数极限的性质问题1“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，请用数列表示每天剩余的木棍长度，并讨论此数列的极限以及数列和的极限．问题2某市2018年年末的垃圾已达到100×104t．根据预测，从2019年起，该市还会以每年5×104t的速度产生新的垃圾．如果从2019年起每年处理上一年积累垃圾的20%，那么长此以往，该市的垃圾能否被全部处理完？四、知识拓展极限的运算第二节问题情境我们都体会过谣言的可怕．比如“非典”时期，谣传板蓝根、口罩、白醋能够预防流感，导致民众大量抢购；甲流时期，谣传大蒜具有预防甲流的功能，导致大蒜一度脱销等．谣言在初期迅速蔓延，这些行为会随着时间的推移而终止．这一过程能否用数学模型表示出来？在一定情况下，谣言的传播符合以下函数关系：，其中，p（t）为t时刻人群中知道此谣言的人数比例，a和k都是正数．说明，随着时间的推移，最后所有人都会知道此谣言．一、极限的四则运算法则在自变量x的同一变化趋势下，设函数f(x)和g(x)的极限都存在，分别用limf(x)和limg(x)表示．此处省略了自变量x的变化趋势，表示在下面的讨论中，对于x→x0，x→x0-，x→x0+，x→∞，x→-∞，x→+∞中的任何一种情形，结论都成立（下同）．注意上面的法则可以简单叙述为：若函数f(x)和g(x)的极限都存在，则它们代数和的极限等于极限的代数和，乘积的极限等于极限的乘积，商的极限等于极限的商（此时分母的极限不为0）．关于数列的极限，也有类似的四则运算法则．二、复合函数的极限运算法则二、复合函数的极限运算法则二、复合函数的极限运算法则二、复合函数的极限运算法则二、复合函数的极限运算法则二、复合函数的极限运算法则三、知识拓展两个重要极限第三节问题情境伴随着汽车普及程度的提高和汽车消费观念的不断成熟，人们对于二手车的接受程度也在不断地提高，从而带来了二手车市场的蓬勃发展．据中国汽车流通协会统计，2018年全国二手车累积交易1382.19万辆，累计同比增长11.46%．预计到2020年，我国二手车交易规模将达到2920万辆，新车与二手车交易规模比例将接近1∶1．但由于影响二手车价格的因素比较多，因此消费者在对二手车进行估价时往往不知道从何下手．一、重要极限图2-7一、重要极限注意一、重要极限二、重要极限二、重要极限三、知识拓展问题1（汽车设备折旧问题）由于国内的二手车交易市场体制还不够健全，因此很多消费者对卖家的报价都心中没底.汽车设备折旧就是将汽车设备的原价值减去到期后的折旧费用继续产生折旧费用的结算方式，即把第一期的价值减去折旧费作为第二期的价值，然后反复折旧．假设某品牌汽车的原价为20万元，年平均折旧率为10%，问5年后该汽车的价值是多少?问题2某公司花10万元购买了汽车设备，年平均折旧率按20%的连续折旧计算，问多少天后，汽车设备的价值将少于3万元？无穷小量与无穷大量第四节问题情境英国海岸线有多长,也许你会很快给出一个答案．设想我们只考虑超过1km的弯儿，会有一个数；如果将超过1m的弯儿考虑在内，则肯定会比原来的长度长;如果进一步将1cm,1mm,…的弯都考虑在内，则会得到什么结果呢？下面介绍Koch雪花曲线．瑞典人科赫(Koch)于1906年提出了著名的雪花曲线.这种曲线的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间长度为底边,分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉，这样就得到一个六角形，它共有12条边．再把每条边三等分，以各中间部分的长度为底边，向外作正三角形后，抹掉底边线段．反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线．这个曲线叫作科赫曲线或雪花曲线，如图2-8所示.问题情境图2-8一、无穷小量1.无穷小量的定义定义1若函数α(x)在x的某种变化趋势下以零为极限，则称α(x)为在x的这种变化趋势下的无穷小量，简称无穷小．一、无穷小量1.无穷小量的定义（1）无穷小量是一个函数．说一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势.例如，当x→∞时是无穷小量，当x→1时则不是无穷小量.（2）不要将绝对值很小的常数说成无穷小量.例如，100－10000是一个很小的数，但不是无穷小量.（3）常数中只有零可以看成无穷小量．注意无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量．注意一、无穷小量2.无穷小的性质性质1有限个无穷小量的代数和是无穷小量.性质2有限个无穷小量的乘积是无穷小量．推论常数与无穷小量的乘积是无穷小量．性质3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量．两个无穷小量的商未必是无穷小量．注意一、无穷小量2.无穷小的性质一、无穷小量3.函数极限与无穷小的关系定义2在自变量的某种变化趋势下，若函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)为在x的这种变化趋势下的无穷大量，简称无穷大．例如，由存款分析案例知道，若某人将一定本金存入银行，则当存入年限n→+∞时，本金的本利和无限增大．二、无穷大量例3判断下列函数在指定的过程中是无穷小量还是无穷大量？说明理由．二、无穷大量66有时，无穷大量具有确定的符号：在x的某种变化趋势下，若f(x)恒为正且无限增大，则称f(x)为正无穷大量，并用+∞表示；若f(x)恒为负且其绝对值无限增大，则称f(x)为负无穷大量，并用-∞表示．二、无穷大量无穷大量是一个函数，而不是一个很大的数.函数为无穷大量，是函数极限不存在的一种特殊情况．但为了叙述方便，仍然说成函数的极限是无穷大．任意常数都不是无穷大量．注意定理2在自变量的同一变化趋势下，无穷大量的倒数是无穷小量；恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量．使用无穷小量与无穷大量的关系定理可以方便地讨论极限结果是无穷大量的情况．三、无穷小量与无穷大量的关系前面已经讨论了无穷小量的和、差、积的运算结果，而两个无穷小量的商会出现各种不同的情况，有的可能为无穷大量，有的可能为无穷小量，有的可能为常数．两个无穷小量的商的不同结果反映了两个无穷小量趋于零的快慢程度．比较两个无穷小量趋于零的速度快慢，将会使后面问题的讨论更加方便，因此主要根据商的结果来定义无穷小量的比较结果．定义3设α(x)与β(x)均为自变量在同一变化趋势下的无穷小．三、无穷小量与无穷大量的关系等价的无穷小量是同阶的无穷小量的一个非常重要的特例．三、无穷小量与无穷大量的关系三、无穷小量与无穷大量的关系66函数的连续性第五节问题情境发电机是汽车的主要电源，由发动机驱动.发电机在正常工作时，对除起动机以外的所有用电设备供电，若还有过余能量，则再向蓄电池充电.现在的汽车发电机主要采用交流发电机．随时间按照正弦规律变化的电动势、电压和电流统称为正弦交流电，简称交流电．交流电函数必须是连续函数，才能保证供电的连续性．在自然现象和日常生活中，变量的变化有渐变和突变两种形式，如气温的变化、人体身高的增长等都随着时间的变化而连续变化，而火车和出租车的票价则随着运输距离的不同而呈现出跳跃性的变化.这些现象反映在数学上就是函数的连续性与间断性．函数的连续性是函数的重要形态之一.利用函数的连续性也可方便地计算函数的极限.连续函数是高等数学的主要研究对象之一．一、连续的概念1.变量的改变量引例我们知道人体的高度h是时间t的函数h(t)，而且h随着t的变化而连续变化．事实上，当时间t的变化很微小时，人的高度变化也很微小，即当Δt→0时，Δh→0．定义1如果自变量x从初值x0变到终值x1，那么终值x1与初值x0的差x1-x0叫作自变量的改变量（有的称为自变量的增量），记为Δx=x1-x0．定义2设函数y=f(x)在点x0的邻域内有定义，当自变量x由x0变成x0+Δx时，相应的函数值由f(x0)变成f(x0+Δx)，则称f(x0+Δx)-f(x0)为在点x0处的函数的改变量（有的称为函数的增量），记为y=f(x0+Δx)-f(x0)，如图2-9所示．图2-9一、连续的概念2.函数在一点的连续性函数在一点连续，其直观的几何意义是曲线在对应点处是连续的，如图2-9所示．定义3设函数y=f(x)在点x0的邻域内有定义，如果当自变量x在点x0处的改变量Δx趋近于零时，函数y=f(x)相应的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)也趋近于零，则称函数f(x)在点x0处连续．用极限来表示，则是（1）在点x0处有定义；（2）在点x0处的极限存在；（3）在点x0处的极限值等于点x0处的函数值．一、连续的概念2.函数在一点的连续性这样，函数y=f(x)在点x0处连续的定义也可叙述如下：定义4设函数y=f(x)在点x的邻域内有定义，如果当x→x0时函数f(x)的极限存在，且等于它在点x0处的函数值，即，则称函数y=f(x)在点x0处连续．由定义4可知，函数y=f(x)在点x0处连续必须同时满足以下3个条件：由于连续是用极限来定义的，而函数在点x0处的极限又分左极限和右极限，因此，函数在点x0处的连续也可分为左连续和右连续．一、连续的概念2.函数在一点的连续性一、连续的概念3.函数在区间上的连续性66一、连续的概念3.函数在区间上的连续性66一、连续的概念3.函数在区间上的连续性66一、连续的概念3.函数在区间上的连续性66二、函数的间断引例电子技术中常用周期为T的矩形波，显然电压E在－,－T,0,,T等处不连续，如图2-10所示．图2-10定义9如果函数y=f(x)在点x0处不连续，则称x0为函数f(x)的一个间断点，也称函数f(x)在该点间断．由函数在点x0处连续的定义可知，如果函数y=f(x)在点x0处满足下列3个条件之一，则点x0是f(x)的一个间断点：二、函数的间断例如，导线中的电流通常是连续变化的，但当电流增加到一定程度时，会烧断保险丝，电流就突然为0，这时连续性被破坏而出现间断．二、函数的间断二、函数的间断二、函数的间断说明三、初等函数的连续性1.连续函数四则运算的连续性定理1若函数f(x)和g(x)均在点x0处连续，则f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)·g(x)在点x0处连续，若g(x0)≠0，则在点x0处也连续．三、初等函数的连续性2.复合函数的连续性三、初等函数的连续性定理3若函数y=f(x)在某区间上单调且连续，则其反函数在对应的区间上也单调且连续，且它们的单调性相同．3.反函数的连续性连续函数经过四则运算及复合运算后仍然是连续函数，根据初等函数的定义可得如下结论：定理4初等函数在其定义域内都是连续的．定理4说明，求初等函数在定义域内指定点处的极限时，只需计算该点处的函数值即可．4.初等函数的连续性及连续函数极限运算三、初等函数的连续性4.初等函数的连续性及连续函数极限运算三、初等函数的连续性4.初等函数的连续性及连续函数极限运算四、闭区间上连续函数的性质定义12设函数y=f(x)在数集D上有定义，x0是D中的某一点，对于D中的任一点x∈D，若恒有f(x)≥f(x0)（或f(x)≤f(x0)），则称f(x0)为函数f(x)的最小值（或最大值），x0称为函数f(x)的最小值点（或最大值点）．说明不同函数在不同的区间内取得最大值与最小值的情况是不同的.例如，函数y=2x在（1，2）内没有最大值，也没有最小值；在［1，2)内只有最小值2，而没有最大值；在（1，2］内只有最大值4，而没有最小值;在［1，2］上既有最大值，也有最小值．y=(x-1)2在(-∞，+∞)内只有最小值0，而没有最大值，且最小值点只有x=1．y=sinx在(-∞，+∞)内既有最大值1，又有最小值-1．四、闭区间上连续函数的性质定理5（最大值和最小值存在定理）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．说明定理中的闭区间和连续这两个条件缺一不可．若函数在开区间内连续，则它在该区间内未必能取得最大值和最小值.例如，函数y=x2在区间(0，1)内就没有最大值和最小值．函数在闭区间上不连续，也未必能取得最大值和最小值．推论若函数y=f(x)在闭区间上连续，则它在该区间上有界．定理6(介值定理)若函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，且f(a)≠f(b)，则对于任意f(a)与f(b)之间的一个常数c，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=c．推论若函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，则它必能取到其所在区间上的最小值与最大值之间的一切值．定理推论定理推论定理四、闭区间上连续函数的性质定理7（零点定理）若函数f(x)在［a，b］上连续，且f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)＜0，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0，如图2-11所示．函数f(x)的零点即为方程f(x)=0的根，因此，零点存在定理又称根的存在定理，用它来证明方程根的存在性是非常有效的.结合函数的单调性还可以明确方程根的分布情况．图2-11四、闭区间上连续函数的性质例13证明方程x5-3x=1在(1，2)内至少存在一个实根．证明将方程x5-3x=1化成x5-3x-1=0，构造函数f(x)=x5-3x-1，由于f(x)在［1，2］上连续，且f(1)=-3<0，f(2)=25>0，因此，连续函数f(x)在区间端点处的函数值异号．由零点定理可知，f(x)在(1，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0，即ξ是方程f(x)=0的一个根，故方程x5-3x=1在(1，2)内至少存在一个实根．例14证明方程x+ex=0在(-1，1)内有唯一的实根．证明构造函数f(x)=x+ex，由于f(x)是初等函数，在［-1，1］上连续，又f(-1)=-1+e-1<0，f(1)=1+e>0即f(-1)·f(1)<0,因此由零点定理可知，f(x)在(-1，1)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0，即ξ是方程f(x)=0的一个根，故方程x+ex=0在(-1，1)内至少存在一个实根．又因为函数f(x)=x+ex中的x和ex在［-1，1］上是单调增加的，所以函数f(x)=x+ex在［-1，1］上也是单调增加的，从而方程f(x)=0在(-1，1)内最多存在一个实根．综上所述，方程x+ex=0在(-1，1)内有唯一的实根．数学实验二利用Mathematica求极限在计算极限时，常常需要应用一些运算技巧对函数f(x)进行初等变换，特别是自变量在某一给定值的变化过程中，分子和分母都趋向于０或∞的情况下，更需要具有一定的运算技巧．利用Mathematica可以比较迅速地得到极限的计算结果．利用Mathematica求极限的命令语法格式及其意义见表2-2.数学实验二数学实验二数学实验二复习题二复习题二复习题二复习题二复习题二复习题二复习题二复习题二数学故事刘徽刘徽是中国数学史上一名非常伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产．《九章算术注》约成书于东汉之初，书中共有246个问题的解法．在许多方面，如解联立方程、分数四则运算、正负数运算、几何图形的体积和面积计算等，都位居世界先列.《海岛算经》研究的对象是有关高与距离的测量，使用的工具是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒.有人说这本书是实用三角法的启蒙，不过其内容并未涉及三角学中的正余弦概念.刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．他用割圆术从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小．他计算了3072边形的面积并验证了这个值．刘徽提出的计算圆周率的科学方法奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位．数学故事刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，该方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生，在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念，如幂(面积)、方程(线性方程组)、正负数等．刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提．他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章算术注》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上．虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他写《九章算术注》所运用的数学知识实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断，并以数学证明为其联系纽带的理论体系．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”可视为中国古代极限思想的佳作．在《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了9个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和代表性，都在当时为西方所瞩目．刘徽思维敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．谢谢欣赏THANKYOUFORLISTENING第三章导数和微分ChapterIIIDerivativeandDifferential导数和微分本章将在函数和极限这两个概念的基础上来研究微分学的两个基本概念——导数与微分．在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度及生物繁殖率等；而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题．所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率，即导数．而微分则与导数密切相关，它指明当变量有微小变化时，函数大体上变化多少．因此，在这一章中，除了阐明导数与微分的概念之外，还将建立起一整套的微分公式和法则，从而系统地解决初等函数求导问题．在工科专业中有很多关于导数与微分的实例，如汽车行驶路程相对于速度的变化快慢程度，液压系统中的静压力，电子专业中电路的瞬时电流，机械零件受热时膨胀体积的近似值，等等．目录1导数的概念2求导法则CONTENTS3高阶导数及几种特殊求导法则4微分及其应用导数的概念第一节问题情境交警10：01在公路上拦下一辆卡车，对卡车司机说：“你超速行驶了，此路段限速80km/h．”司机说：“我早上7：00出车，到现在3个小时才开了180km，你怎么说我超速了！”交警说：“我们用测速仪测到刚才（10：00）你的车速是90km/h，所以你超速了．”设某汽车做变速直线运动，若汽车的运行路程s与运行时间t的关系为s=s（t），求该汽车在时刻t0的瞬时速度．一、导数问题举例1.变速直线运动的瞬时速度问题分析：如果汽车做匀速直线运动，给时间一个增量Δt，那么该汽车在时刻t0与时刻t0+Δt间隔内的平均速度v0也就是汽车在时刻t0的瞬时速度，即在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果汽车做变速直线运动，则它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算瞬时速度，在时刻t0任给时间一个增量Δt，考虑汽车由t0到t0+Δt这段时间的平均速度为当时间间隔|Δt|很小时，其平均速度就可以近似地看作时刻t0的瞬时速度，且|Δt|越小，近似程度越好．因此，当|Δt|→0时，如果平均速度的极限存在，那么此极限称为汽车在时刻t0的瞬时速度，即设电路中在[0,t]这段时间内通过导线横截面的电荷为Q=Q(t)，求时刻t0的瞬时电流．一、导数问题举例2.电路中的瞬时电流问题分析：如果是恒定电流，在Δt时间内通过导线横截面的电荷为ΔQ，那么它的电流为i=；如果电流是非恒定电流，就不能直接用上面的公式求时刻t0的瞬时电流，此时称为在Δt这段时间内的平均电流．当|Δt|很小时，平均电流可以作为时刻t0的瞬时电流的近似值，|Δt|越小，近似程度越好.令Δt→0，则平均电流的极限（如果极限存在）就称为时刻t0的瞬时电流i(t0)，即二、导数的定义定义1设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在点x0处有改变量Δx时，相应的函数f(x)在点x0处也有一个改变量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)，若二、导数的定义由此可见，导数就是函数值的增量Δy与自变量的增量Δx之比的极限.一般地，称为函数关于自变量的平均变化率，所以，导数f′(x0)为f(x)在点x0处关于x的瞬时变化率．若式（1）或式（2）的极限存在，则称f(x)在点x0处可导，否则称f(x)在点x0处不可导．函数在某一定点处的导数是一个数值．注意二、导数的定义例1假设某汽车在做变速直线运动过程中的路程函数为s(t)=5t2，求时刻t0=5的瞬时速度v(5)．二、导数的定义定义2设函数y=f(x)在点x0的某右邻域（x0,x0+δ）内有定义，若二、导数的定义例2证明函数f(x)=|x|在点x0=0处不可导．二、导数的定义（1）在求函数在点x0处的导数时，其实只要先求其导函数f′(x)，然后将x=x0代入就可得到该点的导数值f′(x0)．（2）导数、导函数通常不加区别统称为导数，但读者要明白两者的区别．（3）通常情况下,求函数的导数绝大多数是求其导函数．注意二、导数的定义6二、导数的定义定义4设函数f(x)在(a,b)内的每一点处都可导，则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导；若函数f(x)在开区间(a,b)内可导，且在点a处右可导，在点b处左可导，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上可导．三、用定义求函数的导数66三、用定义求函数的导数66三、用定义求函数的导数四、初等函数的求导公式66五、导数的几何意义设有曲线c及c上的一个定点p0，在该曲线c上任取异于点p0的一点p，过点p0与点p作一直线L，直线L一般称为曲线c的割线.当动点p沿曲线无限趋近于定点p0时，割线有唯一的极限位置，这个极限位置的直线L0就称为曲线c过点p0的切线，如图3-1所示．根据上述切线的定义，可以先求出割线L的斜率：图3-1若函数y=f(x)在点x0处可导，则其导数f′(x0)在数值上就等于曲线y=f(x)在点x0,f(x0)处的切线的斜率，即f′(x0)=tanα．导数的几何意义就是曲线在点x0,f(x0)处的切线的斜率，由此可以得到曲线在点（x0,f(x0)）处的切线方程和法线方程．曲线在点p0(x0，y0)处的切线方程为y－y0=f′(x0)(x－x0)五、导数的几何意义由此可推出，若f′(x0)=0，则α=0，此时曲线y=f(x)过点p0处的切线平行于x轴；若f′(x0)=±∞，则，此时曲线y=f(x)过点p0处的切线垂直于x轴．五、导数的几何意义六、可导与连续的关系定理2若函数f(x)在点x0处可导，则它在点x0处必连续．连续是可导的必要条件，但不是充分条件．也就是说，可导一定连续，连续不一定可导．六、可导与连续的关系从实际问题中抽象出导数的概念，并利用导数的定义求一些函数的导数，这是很重要的一方面；另一方面，还应使抽象的概念回到具体的问题中去，在科学技术中常把导数称为变化率.因为，对于一个未赋予具体含义的一般函数y=f(x)来说，七、知识拓展是表示自变量x在以x0与x0+Δx为端点的区间中每改变一个单位时，函数y的平均变化量．所以，把称为函数y=f(x)在该区间中的平均变化率；把平均变化率当Δx→0时的极限f′(x0)或称为函数在点x0处的变化率.变化率反映了函数y随着自变量x在点x0处的变化而变化的快慢程度．显然，当函数有不同的实际含义时，变化率的含义也不同．七、知识拓展首先，我们可以说：切线的斜率是曲线的纵坐标y对横坐标x的变化率，瞬时速度是物体位移s对时间t的变化率．问题1（汽车液压传动课程中的静压力模型）静压力是指液体处于静止状态时，单位面积上所受的内法线方向的法向作用力.静压力在液压传动中简称压力，在物理学中则称为压强．设静止液体中某一微小面积ΔA上作用有法向力ΔF，则该点压力可定义为七、知识拓展问题2（边际成本模型）在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的总成本．设某汽车零件的产量为x单位时所需的成本为C=C(x)，称C(x)为总成本函数，简称成本函数。当产量由x变为x+Δx时，总成本函数的改变量为类似地，在经济学中，边际收入定义为多销售一个单位产品所增加的销售总收入，即R′(x).这里，R(x)为销售量为x时的总收入．求导法则第二节问题情境一段铁轨的长度受温度影响会产生变化，气温每上升1℃，其长度增加0.5cm．问：铁轨的长度每小时增加了多少？当气温从15℃上升到30℃时，铁轨的长度一共增加了多少？一、函数的和、差、积、商的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则66一、函数的和、差、积、商的求导法则66一、函数的和、差、积、商的求导法则例5求y=xsinxtanx的导数．解分析这个题目，可知它是3个函数的乘积，可以直接用积的求导推广公式；但在实际计算过程中，可以对它们进行重组后，用两个函数的积的求导公式．y′=x′sinxtanx+x(sinx)′tanx+xsinx(tanx)′=sinxtanx+xcosxtanx+xsinxsec2x利用已有的基本公式与求导法则可以解决一部分初等函数的直接求导问题，但实际上我们所遇到的初等函数往往是较为复杂的复合函数，为此还需要利用一些特殊的求导法则和技巧来求导．二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则刚开始做题时，可以设出中间变量，对复合函数进行分解；熟练之后，可不写出中间变量，按照复合函数的构成由外向内逐层求导．注意三、复合函数的求导法则666四、知识拓展问题某汽配公司生产一种小型的汽车配件，设市场上对此配件的商品需求量为q，销售的价格为p，由多年的经营实践得知此配件的需求量与价格之间的关系（经济学中称为需求函数）近似为.如果该配件的价格按每年5%的比率均匀增长，那么销售价格为1.00元/件时的需求量将如何变化？高阶导数及几种特殊求导法则第三节问题情境王同学大学毕业后从事汽车销售工作，第一年的销售业绩曲线如图3-2所示，问：1月1日至6月1日的销售增长情况与6月1日至12月31日的销售增长情况有何什么不同？图3-2一、高阶导数的概念及求法若函数y=f(x)在点x0的某邻域内处处可导，即在该邻域内的任何点x处都有f′(x)，按照函数的定义，f′(x)是x的函数，在前面我们已将它称为导函数.对这个函数f′(x)，实际上仍然可以考虑它在点x0处的可导性，因此我们引入二阶导数的概念．一、高阶导数的概念及求法一、高阶导数的概念及求法二、参数方程求导法二、参数方程求导法点隐函数求导法隐函数求导法点隐函数求导法隐函数求导法定义2由二元方程F(x,y)=0所确定的y与x的关系式称为隐函数．隐函数如何求导数呢？可以利用复合函数求导法则来求隐函数的导数，具体做法如下：（1）对方程F(x,y)=0的两端同时关于x求导，在求导过程中把y看成x的函数，也就是把y作为中间变量来看待（有时也可以把x看作函数，把y看作自变量）．（2）求导之后得到一个关于y′的一次方程，解此方程，便得到y′的表达式．当然，在此表达式中可能会含有y，这没关系，让其保留在式子中即可．三、隐函数求导法三、隐函数求导法三、隐函数求导法三、隐函数求导法四、知识拓展在介绍隐函数求导法则之后，我们要向读者介绍一种较实用、较重要的求导法——取对数求导法．具体的求法以实例来说明．把形如y=uv（u和v都是x的函数）的函数称为幂指函数．如果u和v都可导，那么这类函数的求导方法为：先在所给的显函数y=f(x)两边取对数，得到隐函数lny=lnf(x)，再由隐函数的求导方法求出导数，这种方法称为对数求导法．这种方法适用于幂指函数和所给函数可看作幂的连乘积求导数，可简化运算，是一种简便的求导方法．注意四、知识拓展微分及其应用第四节问题情境李同学大学毕业后计划投资10万元开设汽车维修店，他找到融资企业主管商谈融资事宜，对方提出按日利率为0.03％的复利计算，贷款60d。李同学沉思30s后知道了应该还款的利息是多少．问：你能在30s内回答李同学贷款60d的利息吗？一、微分的概念引例一边长为x0的正方形汽车金属材料受热后，其边长增加Δx（见图3-3），问其面积增加了多少？图3-3从图3-3中可以看到，面积的增量可分为两个部分：一是两个矩形的面积总和2x0Δx（阴影部分），它是Δx的线性部分；二是右上角的正方形的面积(Δx)2，它是Δx的高阶无穷小部分．从函数的角度来看，函数A=x2具有这样的特征：任给自变量一个增量Δx，相应函数值的增量Δy可表示成关于Δx的线性部分(2x0Δx)与高阶无穷小部分［(Δx)2］的和．这样一来，当Δx非常微小时，面积的增量的主要部分就是2x0Δx，而(Δx)2可以忽略不计，也就是说，可以用2x0Δx来代替面积的增量．人们把这种特征性质从具体意义中抽象出来，再赋予它一个数学名词——可微，从而得到了微分的概念．一、微分的概念分析：由已知可得正方形汽车金属材料受热前的面积为A=，受热后的面积的增量为微分的概念微分的概念微分的概念微分的概念一、微分的概念AΔx通常称为Δy=AΔx+o(Δx)的线性主要部分．“线性”是因为AΔx是Δx的一次函数．“主要”是因为o(Δx)是比Δx更高阶的无穷小量，在等式中，它几乎不起作用；而AΔx在式中起主要作用．定义1设函数y=f(x)在点x0的某邻域U(x0,δ)内有定义，任给x0一个增量Δx（x0+Δx∈U(x0,δ)），得到相应函数值的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)，如果存在常数A，使得Δy=AΔx+o(Δx)，而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小量．则称函数y=f(x)在点x0处是可微的，称AΔx为y=f(x)在点x0处的微分，记作．定理1函数f(x)在点x0处可微的充要条件是：函数f(x)在点x0处可导，并且Δy=AΔx+o(Δx)中的A与f′(x0)相等．若函数y=f(x)在定义域中的任意点x处可微，则称函数f(x)是可微函数，它在点x处的微分记作dy或df(x)，即dy=f′(x)Δx．为了便于讨论，在数学上有一个约定：自变量x的增量等于自变量的微分，即Δx=dx．因此，函数y=f(x)的微分通常记为dy=f′(x)dx一、微分的概念了解微分的概念之后，接下来就要解决如何求微分的问题．我们已经知道dyx=x0=AΔx，那么A怎么求呢？下面给出一个定理．微分的概念微分的概念微分的概念微分的概念定理1说明一个事实：函数f(x)在点x0处可导和可微是等价的．函数y=f(x)在点x0处的微分可表示为注意到导数的一种表示符号现在，函数的导数可以被赋予一种新的解释：导数就是函数的微分dy与自变量的微分dx的商.因此，导数也叫作微商．一、微分的概念一、微分的概念66在曲线上取一点Qx+Δx,y+Δy，则PM=Δx，MQ=Δy，MN=PM·tanα，所以MN=f′(x)Δx=dy．因此，微分的几何意义就是在曲线上某一点处，当自变量取得改变量Δx时，曲线在该点处切线所对应纵坐标的改变量．如图3-4所示，设曲线方程为y=f(x)，PT是曲线上点P(x，y)处的切线，且设PT的倾斜角为α，则tanα=f′(x)．二、微分的几何意义图3-4三、微分的基本公式与运算法则661.微分的基本公式三、微分的基本公式与运算法则2.微分的法则对于复合函数y=fu，u=φ(x)，此时u为中间变量，则由微分定义及复合函数求导法则，有dy=f′(u)φ′(x)dx其中，φ′(x)dx=du，所以，dy=f′(u)du仍成立，可见，无论u是自变量还是中间变量，y=fu的微分形式总可以写为dy=f′(u)du这一性质叫作微分形式不变性．三、微分的基本公式与运算法则3.复合函数的微分三、微分的基本公式与运算法则3.复合函数的微分66三、微分的基本公式与运算法则3.复合函数的微分三、微分的基本公式与运算法则3.复合函数的微分66四、知识拓展1.02.03.04.05.0问题一个半径为4cm的球形汽车零件在受热后膨胀，假设半径平均增加，求该零件体积膨胀的近似值.数学实验三利用Mathematica计算导数微分在求函数导数微分的过程中会遇到大量的运算，需要特别仔细.但是，求函数导数微分的步骤是有规律的，特别符合计算机运算的要求.利用Mathematica求导数微分，其命令语法格式及其意义见表3-1.数学实验三数学实验三数学实验三复习题三复习题三复习题三复习题三复习题三数学故事费马十六七世纪，微积分是继解析几何之后数学领域最璀璨的明珠．众所共知，牛顿和莱布尼茨是微积分的缔造者，并且在其之前，已经有数十位科学家为微积分的发明做了奠基性的