工程流体力学课件

第六章

理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动§1流体微团运动法分析§2速度环量和漩涡强度§3速度势和流函数§5基本的平面势流§6有势流动叠加§7理想流体的漩涡运动理想流体的流动分有旋运动无旋运动位势流动：无旋运动由于存在速度势和流函数，故又称位势流。§6－1流体微团运动分析流体微团的运动：平移转动变形转动平移变形角变形线变形一.平移如图：在流场中取一四边形流体a、b、c、d，经过dt时间后该四边形移到a’、b’、c’d’，形状、大小没有变化，仅是平移了一段距离。各点的速度大小和方向没有变化，即没有变形和转动。xabcddxdxdydyb’a’c’d’y二.线变形在t时刻a、b、c、d各点的速度如图，由于各点的速度不同，经过Δt时刻后由b点的和d点的作用下，会产生线变形。xabcdyuvb’a’c’d’

定义：单位长度、单位时间内线变形称为线变形率，用ε表示。由定义有：三个方向的线变形讨论b点的和d点的作用，经时间dt后，由于这两个速度增量，使原图形发生角变形。三.角变形b’a’c’d’ΔαΔβabcdyuv

定义：单位时间内ab、cd转过的平均角度称角变形速度，用θ表示。由定义有：为三个平面内的角变形

四.转动：假设d点和c点的速度增量在x方向是负的，则经过dt时间后，a、b、c、d绕a点转过一个角度d’b’a’c’ΔβΔαabcduv

图中定义：单位时间内转过的平均角度为旋转角速度，以ω表示。代入和

有或当称无旋流或势流。称有旋流或涡流。

流体运动是否有旋不能只看其运动轨迹，而要看它是否绕自身轴转动。例：流动是否存在？是否有旋？例：流动是否存在？是否有旋？例：如图所示，流体各个微团以速度解：平行于x轴作直线流动，试确定流动是否有旋。有旋运动。§2速度环量和旋涡强度一.涡线、涡管1.涡线：与流线概念相似，涡线也是一条曲线，在给定瞬时t，这条曲线每一点的切线与该点流体微团的角速度的方向重合。由涡线定义得涡线方程：2.涡管

在给定瞬时，在涡量场中取一不是涡线得封闭曲线，通过曲线上每点做涡线，这些涡线形成一个管状表面，称为涡管，涡管中充满着做旋转运动的流体。沿涡管长度方向旋转角速度是变化的。二.漩涡强度：在涡量场中任取一微元面积，上流体质点的旋转角速度向量为，为的法线方向，微元面积上的漩涡强度用表示定义：A对整个表面积A积分,总的漩涡强度为：当在A上均布,则有：——称为涡通量漩涡强度等于2倍的涡通量。三、速度环量定义：假定某一瞬时，流场中每一点的速度是已知的，AB曲线上任一点的速度为，在该曲线上取一微元段为沿微元线段上的环量。与之间的夹角为α，则称αAB曲线AB上的环量为：

若曲线AB是封闭曲线，则环量为：Lα将矢量、分别表示：故对封闭周线L的环量为：环量是一个标量，它的正负取决于速度方与线积分的方向。当速度方向与线积分方向同向时取正，反向时取负。若是封闭周线，逆时针为正，顺时针为负。

例：不可压缩流体平面流动的速度分布为，求绕圆的速度环量。解：积分路径在圆上，有四、斯托克斯定理

斯托克斯定理：任意面积A上的旋涡强度，等于该面积的边界L上的速度环量Γ。Stokeslaw将对涡量的研究转化为对速度环量的研究。因为线积分比面积分要简单，且速度场比涡量场容易测得。

1.微元面积的stokeslaw证明：BCDdxdyAxy取一微元矩形的封闭周线，各点速度大小如图：沿A、B、C、D的速度环量为由于各点速度不等，取各边始端点的速度的平均值计算环量：将各点速度代入整理，有：∴stokes定理得证。（水平面）2.有限单连域的stokeslaw:将微元面积的结果推广到有限大面积中。把有限大面积划分成无数个微元面积，求出每条边，然后再求和，内周线上的环量相互抵消，只剩下沿外周界线L的环量。L

此式即为有限大单连域stokes定理。即：此定理也可用于复连域：

L1L2AStokeslaw说明，速度环量Γ不仅可以决定漩涡的存在，还可衡量封闭周线所围区域中全部漩涡的总涡强。环量为零，即总涡强为零；环量不为零必然存在漩涡。反之，无旋，环量为零。

问题：沿封闭周线L的环量Γ为零，是否在所围面积内流体各处都处于无旋状态？答：否只有在区域内任一条封闭曲线上的速度环量皆为零，则区域内的旋涡强度必为零，流动为无旋运动。

例1：证明平行流的环量为零。流体以定常速度水平运动，在流场中任取一封闭周线1234，求若封闭周线取为圆Γ＝？1234例2：求有间断面的平行流的速度环量Γ＝？1234Lbu1u2例3：龙卷风的速度分布为

试根据stokeslaw来判断是否为有旋流动。时时如图，当，流体以ω象刚体一样转动，称风眼或强迫涡（涡核）。在区域，流体绕涡核转动，流体质点的运动轨迹是圆但本身并没有旋转称之为自由涡或势涡。自由涡rr0ω强制涡复合涡分别讨论自由涡和强制涡。在区域内任取一点p，过p点做任一封闭曲线ABCD，沿ABCD做环量:ABCDr1r2r0θpω强制涡：式中为扇形ABCD的面积即有旋由于p是任取的，故这一结果可推广到强制涡中任一点，由此可见，强制涡是有旋流。讨论自由涡：在区域内任取一点p，过p点做任一封闭曲线ABCD，沿ABCD做环量ABCDr1r2r0θpω由于ABCD是任取的，故此结论可推广到自由涡中任一区域。结论：龙卷风的风眼是有旋的，风眼外是无旋的。例：设二元流的速度为：问：1）流动是否存在？2）流动是否有旋？3）求沿的Γ和该周线所围面积内的漩涡强度。例：已知速度场求以所围正方形的Γ。1－1－11例：设在（1，0）点置有Γ＝Γ0的涡，在（－1，0）点置有Γ＝－Γ0的旋涡，求沿下例路线的Γ。＋Γ0－Γ01）2）3）4）§3速度势和流函数一、平面流动二、速度势函数1.势函数φ存在的条件：垂直与z轴的每个平面流动都相同，称平面流动。对无旋流此条件可写成：此条件称柯西—黎曼条件由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使成为某一个函数全微分的充要条件，即而当t为参变量，的全微分为比较两式有：柱坐标

无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件，总有势函数存在。故理想流体无旋流也称势流。

把称为速度势函数简称势函数用势函数表示速度矢量：2、势函数的性质

1）流线与等势面垂直证：令为等势面，在其上任取一微元线段，上的速度为,求两者点积

在等势面上，故即速度与等势面垂直，由于速度矢量与流线相切，故流线与等势面垂直。2）势函数对任意方向L的偏导数，等于速度矢量在该方向的的分量。3）φ与Γ之间的关系

由此可知：在势流中，沿任意曲线AB的环量等于曲线两端点势函数的差，与曲线的形状无关。

若φ函数是单值的，则沿任一封闭周线k的速度环量等于零。4）在不可压流体中，势函数是调和函数由连续性方程：有：满足拉普拉斯方程的函数是调和函数。

三、流函数ψ1、流函数的定义：在不可压流体的平面流中，应满足即由高数知识可知，此式是使成为某一个函数全微分的充要条件，即

而的全微分又可表示为：比较两式有极坐标称为流函数。只要流动存在，无论而

是否有旋，是否为理想流体，都必定存在流函数。2、流函数的特性：1）流函数与流线的关系：的等值线是平面上一条流线。证明：由流线方程：

而即故时c是流线方程的解,它是平面上一条流线。注意：有流动就有流线存在，而流函数仅存在于平面流动中。2）流函数与流量Q的关系：

流过任意曲线的流量等于曲线两端点流函数的函数值之差。

流线ABV由此结果可知：

两流线之间流量保持不变，与曲线AB的起始点无关，若AB本身就是一条流线，则通过AB的流量为零。若AB是一条封闭周线，通过AB的流量也为零。

3）流函数ψ与势函数φ的关系：对不可压平面势流，流函数和势函数同时存在，它们之间关系是a:b:

等φ线与等ψ线垂直前已证明，流线与等势面垂直，而的线是流线故等φ线与等ψ线垂直。流网

代入

4）在不可压平面无旋流中，流函数也是调和函数。对平面无旋流将有：满足拉普拉斯方程，故是调和函数。例1：不可压缩平面流动的速度势为，求在点（2，1.5）处速度的大小。解由速度势的定义求出例2：设二元流动的速度场为

求1)流动是否存在？是否有旋？

2）φ＝？3）ψ＝？

4）求沿的Γ和该周线所围面积内的漩涡强度。例3：已知流场的流函数

试问1)是否存在φ？

2）求出通过A(2,3)和B(4,7)任意曲线的流量和沿曲线的环量Γ。例4：已知试问1)流动是否存在？

2）流动是否有势？3）ψ＝？φ＝？4）求沿的Γ及通过此曲线的流量Q。§6-4不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示一、复位势与流函数、势函数间的对应关系流函数与势函数的关系这正是柯西-黎曼条件。复变函数的理论，和可以组成以复变量为自变量的一个复变函数。它的导数为被称为流动的复位势，实部为势函数，虚部为流函数。被称为复速度，实部为速度在x方向的分量，虚部为速度在y方向的分量的相反数。二、复位势的性质1.两点的复位势之差是复势，其实部是两点连线上的速度环量，虚部是通过两点连线的流量。2.复位势允许加任一复常数而不改变所代表的流动。3.两个不可压缩流体的平面无旋流动的叠加，仍然为平面无旋流，其复势为原两个复势之和。三、势流叠加原理势函数速度§5基本的平面有势流动势流叠加原理:由于φ函数和ψ函数都是调和函数，由调和函数的性质可知，调和函数的线性组合仍是调和函数，故可用来描述一个新的有势流动即φ函数和ψ函数可叠加，叠加后仍是无旋流。一、均匀直线流动

平行流有几种情况：如图xyyxvuαxyΦ＝cΨ=c讨论一般情况：1、速度场可分解成2、φ与ψ由积分有:3、求流线同理:令有解得:流线是斜线斜率是点z相同，有即全流场压力为常数如α＝0，流线平行与x轴,如α＝90°流线平行与y轴，4、压力分布平行流中各点速度相等，任取两点写伯努利方程，都有在水平面上，各二、平面点源和点汇点源：单位时间内通过一半径为的圆周流出流量当时保持Q不变，则这种流动称为点源流（若流入，称点汇），Q称为点源（汇）强度。1.点源的速度场由与r成反比。为源，为汇。只有径向流动2.点源势函数φ和流函数ψ由0积分当φ＝const，即r=const，等势线为一族同心圆。当，故源点是奇点，不讨论。流函数ψ由0积分ψ＝const为流线，即θ=const，流线是半射线。等φ线与等ψ线正交。3.点源的压力分布在源上任取一点与无穷远处写能量方程将，代入

有P与r成抛物线正比。rp;rpr0rp三、点涡点涡：无限长的直线涡束所形成的平面流动。除涡线本身有旋外涡线外的流体绕涡线做等速圆周运动且无旋。这种流动也称纯环流。若设点涡的强度为则在半径r处由点涡所诱导的速度为而1.速度分布：因为由环量定义2.势函数φ流函数ψ：积分令φ＝const，即θ＝const，等势线是半射线。0同理可求ψ：积分令ψ＝const为流线，即r＝const，流线是圆周线。如图示。3.压力分布0此种流动是复合涡的情况，单独讨论。四：二元涡所谓二元涡就是前面讨论的强迫涡加自由涡，也即复合涡的问题。rr0ω强制涡复合涡自由涡1.速度分布前面已讨论过涡核内外的速度分布：

与半径成正比如图。由于这部分流体有旋。与半径r成反比。涡内：涡外：在时当不变处的为常数2、压力分布：自由涡：由于是无旋流动，在自由涡中任取一点与无穷远处写伯努利方程：忽略位能若则将代入在自由涡中p与r成平方关系,(抛物线）越靠近涡核，压力越小，当时涡核边缘处与无穷远处的压力差为涡核内的压力分布涡核内是有旋的，能量方程只对流线成立，故只能从原始的运动方程入手导出压力分布，其结论为：将代入即在涡核内压力分布也是抛物线此时是常数，若设涡核中心点为c，当漩涡中心点的压力涡核边缘与涡核中心的压降为与自由涡压降相等由以上推导可知：涡核中心的压力低于无穷远处的压力，差值为在漩涡区内，压力急剧下降，在漩涡中心产生一个很大的吸力，对涡外的物体具有抽吸作用。§6有势流动叠加一、点源流和直线流的叠加1、势函数流函数：为新的有势流3、驻点：2、速度场令解得驻点在x负轴上4、流线：令ψ＝c得流线解得流线方程为：当给出一个θ角，对应一个距离r，如图驻点过驻点的流线上几个特殊点的确定：由数学知识故过驻点此时最大开口当当当上下对称由于流线不能相交，此条流线可以模拟有头无尾的半物体的固体边界线。二、点涡＋点汇（螺旋流）势函数：流函数：流线方程：

等势线族和流线族是两组互相正交的对数螺旋线族，故称为螺旋流。三、偶极子流

将强度为－Q的点汇放在坐标原点的右边，强度为Q的点源放在坐标原点的左边，

当两点无限靠近所形成的流动称偶极流。

1、φ函数、ψ函数式中M称为偶极矩，为常数.分别令φ＝c和ψ=c可得流线和等势线。如令ψ=c有:解得：这是圆心在y轴上，与原点相切，半径为的圆，圆心在Φ=cΨ＝cxy这种流动就好像流体在一个圆柱里面流动，故用偶极流来模拟圆柱表面。四、均匀流绕圆柱体无环量流动将均匀直线流和偶极子叠加,可模拟平行流绕圆柱体的流动.零流线1.流函数和势函数势函数流函数令称为零流线，有解得：零流线是由x轴和以原点为圆心，半径为的圆组成，由于流线不能相交，故可把零流线模拟圆柱的固体表面。由有代入φ、ψ表达式：2、速度场在圆柱面上径向速度为零，说明流体没有脱离圆柱表面，紧贴在柱面上。切向速度满足正弦函数关系，与半径无关。当和时，即

是驻点当时，柱面上的速度以x轴y和轴对称。3、环量在流场中围绕圆柱体任取一封闭周线做环量：故称平行流绕圆柱的流动为无环流。4、压力分布在圆柱面上任取一点与无穷远点写能量方程：式中故用压力系数来表示压力分布与r无关在柱面上，当和时，当时，压力按正弦函数分布，上下对称（x轴）左右对称（y轴），在圆柱面上的合力为零。如图：箭头朝外为负，箭头朝里为正。在圆柱面上取一微元面积，其上作用的力为，可分解为将代入上两式积分即在圆柱体上既无垂直来流的升力，也无与来流平行的阻力。这一理论推导的结果与实际情况矛盾，称为“达朗贝尔疑题”。没有阻力的原因是没有考虑流体的粘性所引起的摩擦力;没有升力是由于物体的对称性，使得流场相对于x轴对称。五、均匀流绕圆柱体有环量流动由平行流＋偶极子＋环流组成,可模拟平行流绕旋转圆柱的流动.1.求φ、ψ势函数：流函数：2.速度场在柱面上径向速度为零，说明流体没有脱离柱面，物体表面仍是一条流线。求驻点：令有有如图三种情况：a.柱面上有两个驻点

b.柱面上有一个驻点c.柱面上没有驻点，驻点在流场中。3.压力分布：在圆柱面上任取一点与无穷远点写能量方程：式中故作用在圆柱上的合力：如图：即这就是著名的儒可夫斯基升力定理。由此可知绕圆柱的有环流无阻力但有升力无阻力的原因仍是没有考虑粘性。有升力的L-圆柱体长度原因是流场相对于x轴不对称，在圆柱体的上表面，平行流与环流的速度同向，和速度增加，压力下降；在圆柱体的下表面，平行流与环流的速度反向，和速度下降，压力增加，故作用在圆柱体上有一个向上的力。升力方向的确定：将来流速度的方向逆的方向转90°，即为升力的方向机翼压强分布例：直径为1.2m，长为50m的圆柱体以90r/min绕其轴顺时转动，空气流以80km/h的速度沿与圆柱体轴相垂直的方向绕流柱体。试求速度环量、升力大小及方向。设流体是理想流体树立质量法制观念、提高全员质量意识。7月-237月-23Friday,July28,2023人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。04:36:0504:36:0504:367/28/20234:36:05AM安全象只弓，不拉它就松，要想保安全，常把弓弦绷。7月-2304:36:0504:36Jul-2328-Jul-23加强交通建设管理，确保工程建设质量。04:36:0504:36:0504:36Friday,July28,2023安全在于心细，事故出在麻痹。7月-237月-2304:36:0504:36:05July28,2023踏实肯干，努力奋斗。2023年7月28日4:36上午7月-237月-23追求至善凭技术开拓市场，凭管理增创效益，凭服务树立形象。28七月20234:36:05上午04:36:057月-23严格把控质量关，让生产更加有保障。七月234:36上午7月-2304:36July28,2023作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。