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第一节微分方程的基本概念、问题的提出例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程解设所求曲线为y=y(x)dy=2x其中x=1时,y=2dxy=2xx即y=x2+C,求得C=1,所求曲线方程为y=x2+1例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度-04米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内行驶了多少路程?解设制动后t秒钟行驶s米,s=s(t)d-s04t=0时,s=0,v==20,ds__0.4t+CdtS=-0.2t2+C1t+C2代入条件后知C,=20,C,=0ds04t+20故s=-0.2t2+20t,开始制动到列车完全停住共需t2050(秒),列车在这段时间内行驶了s=-02×502+20×50=500(米)、微分方程的定义微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程例y"+2y-3y=eoz(t+x)dt+xdx=0,=x+y,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式分类1:常微分方程,偏微分方程微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称微分方程的阶分类2一阶微分方程F(x,y,y")=0,y'=f(x,y);高阶(n)微分方程F(x,y,y,…,y(")=0,f(r,y,y,分类3:线性与非线性微分方程y'+P(x)y=Q(x),x(y)2-2yy'+x=0分类4:单个微分方程与微分方程组dy3y-2zdr<y三、主要问题一一求方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称微分方程的解设y=q(x)在区间Ⅰ上有n阶导数,F(x,qp(x),q'(x),…,")(x)=0微分方程的解的分类(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同例y'=y,通解y=Ce;y"+y=0通解y=C1sinx+C2cosx(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解解的图象:微分方程的积分曲线通解的图象:积分曲线族初始条件:用来确定任意常数的条件初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.y=∫(x,y)阶:过定点的积分曲线yyof(r,y,y)二阶:yo,y过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线例3验证:函数x=C1coskt+C2sinkt是微分d-x方程,2+kx=0的解.并求满足初始条件t=0a,attzo=0的特解解dx=-kC,sin

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