函数的单调性函数极值的第一判别法课件

函数的单调性函数极值的第一判别法函数的单调性函数极值的第一判别法函数的单调性函数极值的第一判别法授课内容

函数的单调性

函数极值的第一判别法math3-2内容预告知识点用导数判断函数单调增加单调减少的方法极值的概念极值存在的必要条件极值的第一判别法重点函数单调性的判定与图像增减的描述极值的概念和判定math3-2内容预告

3.3函数的单调性

一个函数在某个区间的变化规律，是研究函数图形时首先要考虑的.第1章里已经给出了单调性的定义，现在讨论如何利用导数来判定函数的单调性.xy0y=f(x)

下面我们从图象上观察分析曲线上点的切线斜率的正负与曲线的上升与下降的关系.xy0y=f(x)单调性的判别法定理3.4（证明略）例解

函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．单调区间求法:定义:

若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.

导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:为了方便和直观，我们列表讨论函数的单调性x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,2/3)2/3(2/3,+∞)x+1-0+++3x-2---0+f′(x)+0-0-0+f(x)x(-∞,-2)-2(-2,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)x+2-0+++x+1--0++x-1---0+f′(x)-+-+f(x)x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,+∞)y′-×-0+y×小结

函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.定理中的有限区间换成无限区间，结论仍然成立.

导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．

区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.

利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.3.4函数的极值3.4.1函数的极值定义3.1

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.

函数的极值点一定是区间的内点.从而区间的端点不可能成为函数的极值点.

极值是一个局部的概念,它只是与极值点邻近的点的函数值相比是较大或较小,而不意味着它在函数的整个定义区间为最大或最小.这从下面的图象中可以体现出来.极值和极值点的几何示意:函数极值的求法:定理3.5(必要条件)定义:注意:例如定理3.6(极值判别法Ⅰ)(极值点情形)定理3.6(极值判别法Ⅰ)(不是极值点情形)求极值的步骤:例1列表讨论极大值10解极小值22-图形如下:x(-∞,1)1(1,2)2(2,+∞)_0++__0++_0+极大值2/3极小值1/3求函数极值的步骤：（1）求f(x)的导数f´(x)；

（2）解方程f´(x)=0，求出f(x)在定义域内的所有驻点；

（3）找出f(x)在定义域内所有导数不存在的点；

(4)分别考察每一个驻点或导数不存在的点是否为极值点，是极大值点还是极小值点；

（5）求出各极值点的函数值.小结：

极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.

驻点和不可导点统称为临界点.

函数的极值必在临界点取得，但临界点不一定是极值点.

被判定点的导数可以不存在由该点附近两边区间的导数符号是否变号来判定.

要求条件弱，但必须由区间的导数符号来判定.

被判定点的二阶导数必须存在，由该点二阶导数的符号来判定.

要求条件强，但只须由一点的导数符号来判定.判别法第一充分条件第二充分条件作业Ex34(4,5)、7(1,3,5)Ex3习题解答:证应用拉氏定理,得函数单调性证明：人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，