城建考研定积分的应用上课件

1第六章定积分的应用这个方法通常叫做元素法．1.根据具体情况，选取积分变量，如：x.确定x的变化区间[a,b].2.把区间[a,b]分成n个小区间，取一代表区间求出该区间上所求量的部分量的近似表达式量U的微分元素.3.写出定积分的表达式：先作图用元素法求量U的一般步骤：1第六章定积分的应用这个方法通常叫做元素法．1.根据具2使用元素法时应注意：

(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量.(2)U对于区间[a,b]具有可加性，则U相应地分成许多即如果把区间[a,b]分成许多部分区间，部分量，而U等于所有部分量之和.则U在[a,b]

上的值可由定积分示为(3)在[a,b]中任取的小区间上的部分量与区间长度可以通过x的某函数乘积近似表来计算.2使用元素法时应注意：(1)U是与一个变量x的变化区间[a3一、定积分在几何学上的应用1.直角坐标系下平面图形面积的计算（1）设曲线与直线及

x

轴所围曲则边梯形面积为A,(2)由曲线所围图形的面积.其面积元素为：则面积为上曲线下曲线3一、定积分在几何学上的应用1.直角坐标系下平面图形面积的4(3)为曲边，以以[c,d]为底的曲边梯形(4)由曲线所围图形的面积.其面积元素为：则面积为右曲线左曲线xoycdxyocdy+dyyy+dyy的面积A.4(3)为曲边，以以[c,d]为底的曲边梯形(4)由曲线所围52.极坐标系下平面图形面积的计算求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为52.极坐标系下平面图形面积的计算求由曲线及围成的曲边扇形63.已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则在小区间的体积元素为立体体积为：上连续,xA(x)xaVb63.已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的7曲边梯形旋转一周围成的旋转体的体积为：曲边梯形绕y

轴旋转一周围成的旋转体体积为：4.旋转体的体积7曲边梯形旋转一周围成的旋转体的体积为：曲边梯形绕y轴旋8abf(x)yx0xdx求旋转体体积—柱壳法.曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0旋转的体积.绕y

轴生成的8abf(x)yx0xdx求旋转体体积—柱壳法.曲边梯形9xabyx0内表面积.dxdV=2xf(x)dxf(x)曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0旋转的体积.求旋转体体积—柱壳法绕y

轴生成的9xabyx0内表面积.dxdV=2xf(x)dxf10oyx围成的曲边梯形绕y

轴旋转一周而成的立体的体积.所以：由连续曲线直线x=a、x=b(a<b)及x轴所类似地，如果旋转体是由连续曲线直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积.xyocdy+dyy10oyx围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所以：由连续曲线直11例计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形绕y

轴旋转而成的立体体积.11例计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形绕y轴旋12说明:

用柱壳法求较好柱壳体积柱面面积12说明:用柱壳法求较好柱壳体积柱面面积135.弧长

(数1、数2)yxoab（2）参数方程（3）极坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小135.弧长(数1、数2)yxoab（2）参数方程（3146.旋转体的侧面积设平面光滑曲线求它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.积分后得旋转体的侧面积取侧面积元素:(数1、数2)146.旋转体的侧面积设平面光滑曲线求它绕x轴旋转一周所15侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕

x

轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的注意:侧面积为15侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕16解16解17y+dyyoyxdcoyxX型Y型请熟记以下公式：17y+dyyoyxdcoyxX型Y型请熟记以下公式：18解典型例题分析18解典型例题分析19xor圆极坐标方程直角坐标方程yoxy2aoxy2a圆极坐标方程直角坐标方程圆极坐标方程直角坐标方程19xor圆极坐标方程直角坐标方程yoxy2aoxy2a圆极20双纽线心形线阿基米德螺线20双纽线心形线阿基米德螺线21解21解22解22解23例4

计算抛物线与直线一周而成的旋转体的体积.所围图形绕x轴旋转解如图23例4计算抛物线与直线一周而成的旋转体的体积.所围24解取积分变量为y,P体积元素为求由曲线及y=0所围成的图形绕直线x=3旋转构成的旋转体的体积.例524解取积分变量为y,P体积元素为求由曲线及y=0所围成的图25所围图形绕旋转而成的旋转体的体积.分析：无公式可用，用元素法.如图例6.

求由及

解法1：选择y

作积分变量