2020版高考数学理科(人教B版)一轮复习课件：12-不等关系及简单不等式的解法

1.2不等关系及简单不等式的解法1.2不等关系及简单不等式的解法-2-知识梳理考点自诊>=<>=<-2-知识梳理考点自诊>=<>=<-3-知识梳理考点自诊2.不等式的性质(1)对称性:a>b⇔b<a.(2)传递性:a>b,b>c⇒

.

(3)可加性:a>b⇔a+c

b+c;a>b,c>d⇒a+c

b+d.

(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac

bc;a>b,c<0⇒ac

bc;a>b>0,c>d>0⇒ac

bd.

(5)可乘方:a>b>0⇒an

bn(n∈N,n≥1).

a>c>>><>>>-3-知识梳理考点自诊2.不等式的性质a>c>>><-4-知识梳理考点自诊3.三个“二次”之间的关系

{x|x>x2或x<x1}{x|x1<x<x2}⌀⌀-4-知识梳理考点自诊3.三个“二次”之间的关系{x|x>-5-知识梳理考点自诊-5-知识梳理考点自诊-6-知识梳理考点自诊-6-知识梳理考点自诊-7-知识梳理考点自诊×√√××-7-知识梳理考点自诊×√√××-8-知识梳理考点自诊答案:D

解析:对A,已知a,b∈R,若a<b,当两个数值小于0时a<2b不一定成立;对B,当b=0时,ab<b2,不成立;对C,

,当两者均小于0时,根式没有意义,故不正确;对D,a3<b3,y=x3是增函数,故正确,故选D.-8-知识梳理考点自诊答案:D-9-知识梳理考点自诊3.(2018首师大附中月考,5)已知命题“∃x∈R,x2+2ax+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是(

)A.(-∞,-1) B.(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1)答案:C

解析:∵命题“∃x∈R,x2+2ax+1<0”是真命题,∴Δ=4a2-4>0.∴a>1或a<-1.选C.-9-知识梳理考点自诊3.(2018首师大附中月考,5)已知-10-知识梳理考点自诊答案:D

-10-知识梳理考点自诊答案:D-11-知识梳理考点自诊答案:1,-1(答案不唯一)

-11-知识梳理考点自诊答案:1,-1(答案不唯一)-12-考点1考点2考点3考点4比较两个数(式)的大小例1(1)已知a1,a2∈(0,1),若M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(

)A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c思考比较两个数(式)大小常用的方法有哪些?答案:(1)B

(2)B

考点5-12-考点1考点2考点3考点4比较两个数(式)的大小A.a-13-考点1考点2考点3考点4解析:(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)·(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.(2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数.易知当x>e时,f'(x)<0,即f(x)单调递减.因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即c<b<a.考点5-13-考点1考点2考点3考点4解析:(1)M-N=a1a-14-考点1考点2考点3考点4解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.考点5-14-考点1考点2考点3考点4解题心得比较大小常用的方法有-15-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是(

)A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b(2)已知a,b是实数,且e<a<b,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是

.

答案:(1)A

(2)ab>ba

考点5-15-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)已知实数a,-16-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2.∴b=a2+1.∴b>a.∴c≥b>a.∵当x>e时,f'(x)<0,∴f(x)在(e,+∞)内单调递减.∵e<a<b,∴f(a)>f(b),∴blna>alnb.∴ab>ba.考点5-16-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵c-b=4--17-考点1考点2考点3考点4不等式的性质及应用

思考已知某些量的范围,求由这些量组成的代数式的范围常用不等式的哪些性质?答案:(1)(-π,0)

(2)27

考点5-17-考点1考点2考点3考点4不等式的性质及应用思考已知-18-考点1考点2考点3考点4考点5-18-考点1考点2考点3考点4考点5-19-考点1考点2考点3考点4解题心得(1)已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;(2)在应用可乘方性时要注意应用的条件,当不等式两边异号时,平方后不等号不确定;(3)不等式两边取倒数,不等式两边同乘某一量,例如:若a>b,当ab>0时,对a>b两边同乘考点5-19-考点1考点2考点3考点4解题心得(1)已知某些量的范-20-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)如果a<b<0,那么下列不等式成立的是(

)(2)已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是

,3x+2y的取值范围是

.

答案:(1)D

(2)(-4,2)

(1,18)

考点5-20-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)如果a<b<-21-考点1考点2考点3考点4(2)∵-1<x<4,2<y<3,∴-3<-y<-2,∴-4<x-y<2.由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,∴1<3x+2y<18.考点5-21-考点1考点2考点3考点4(2)∵-1<x<4,2<y-22-考点1考点2考点3考点4一元二次不等式的解法例3(1)解不等式:-x2-3x+4≤0;(2)若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,求实数a的值;(3)解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1>0.思考解一元二次不等式的一般思路是怎样的?考点5-22-考点1考点2考点3考点4一元二次不等式的解法考点5-23-考点1考点2考点3考点4解:(1)不等式两边同乘-1,原不等式可化为x2+3x-4≥0,即(x-1)(x+4)≥0,解得x≤-4或x≥1.故不等式-x2-3x+4≤0的解集是{x|x≤-4或x≥1}.(2)若a=0,显然不符合题意;考点5-23-考点1考点2考点3考点4解:(1)不等式两边同乘-1-24-考点1考点2考点3考点4考点5-24-考点1考点2考点3考点4考点5-25-考点1考点2考点3考点4考点5-25-考点1考点2考点3考点4考点5-26-考点1考点2考点3考点4解题心得(1)对于常系数一元二次不等式,可以用分解因式法或判别式法求解.(2)含有参数的不等式的求解,需要对参数进行分类讨论,讨论有三层:第一,若二次项系数含参数,先讨论二次项系数是否为零,以确定不等式是一次不等式还是二次不等式;第二,当二次项系数不为零时,若不易分解因式,则依据判别式符号进行分类讨论;第三,对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.考点5-26-考点1考点2考点3考点4解题心得(1)对于常系数一元-27-考点1考点2考点3考点4对点训练3解下列关于x的不等式:(1)-x2-x+2≥0;(2)ax2-2≥2x-ax(a∈R).解:(1)原不等式可化为x2+x-2≤0,方程x2+x-2=0的根为-2,1,因此不等式-x2-x+2≥0的解集是{x|-2≤x≤1}.考点5-27-考点1考点2考点3考点4对点训练3解下列关于x的不等-28-考点1考点2考点3考点4考点5-28-考点1考点2考点3考点4考点5-29-考点1考点2考点3考点4考点5-29-考点1考点2考点3考点4考点5-30-考点1考点2考点3考点4分式不等式的解法

思考解分式不等式的基本思路是什么?答案:(-2,3)

考点5-30-考点1考点2考点3考点4分式不等式的解法思考解分式-31-考点1考点2考点3考点4考点5-31-考点1考点2考点3考点4考点5-32-考点1考点2考点3考点4考点5一元二次不等式恒成立问题(多考向)考向1

不等式在R上恒成立求参数范围例5若一元二次不等式

对一切实数x都成立,则k的取值范围为(

)A.(-3,0] B.[-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0)思考一元二次不等式在R上恒成立的条件是什么?答案:D

-32-考点1考点2考点3考点4考点5一元二次不等式恒成立问-33-考点1考点2考点3考点4考点5考向2

x在给定区间上恒成立求参数范围例6(2018江苏镇江一模,12)已知函数f(x)=x2-kx+4对任意的x∈[1,3],不等式f(x)≥0恒成立,则实数k的最大值为

.

思考解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法?答案:4

-33-考点1考点2考点3考点4考点5考向2x在给定区间上-34-考点1考点2考点3考点4考点5-34-考点1考点2考点3考点4考点5-35-考点1考点2考点3考点4考点5(解法二)由f(x)≥0恒成立,即x2-kx+4≥0,∴kx≤x2+4.∴当x∈[1,3]时,g(x)的最小值为4.∵k≤g(x),则实数k的最大值为4.-35-考点1考点2考点3考点4考点5(解法二)由f(x)≥-36-考点1考点2考点3考点4考点5考向3

给定参数范围的恒成立问题例7已知对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是

.

思考如何求解给定参数范围的恒成立问题?答案:{x|x<1或x>3}

解析:x2+(k-4)x+4-2k>0恒成立,即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)>0在k∈[-1,1]时恒成立.-36-考点1考点2考点3考点4考点5考向3给定参数范围的-37-考点1考点2考点3考点4考点52.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种解决方法:一是利用二次函数在区间上的最值来解决;二是先分离出参数,再通过求函数的最值来解决.3.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解.-37-考点1考点2考点3考点4考点52.含参数的一元二次不-38-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练5(1)已知a为常数,∀x∈R,ax2+ax+1>0,则a的取值范围是(

)A.(0,4) B.[0,4)C.(0,+∞) D.(-∞,4)(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是

.

(3)已知不等式xy≤ax2+2y2对x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数a的取值范围是

.

-38-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练5(1)已知a-39-考点1考点2考点3考点4考点5-39-考点1考点2考点3考点4考点5-40-考点1考点2考点3考点4考点5-40-考点1考点2考点3考点4考点5-41-考点1考点2考点3考点4考点51.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.作差法的主要步骤为作差—变形—判断正负.2.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解.4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a<0的情形转化为a>0的情形.-41-考点1考点2考点3考点4考点51.比较法是不等式性质-42-考点1考点2考点3考点4考点55.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.-42-考点1考点2考点3考点4考点55.(1)对于一元二次-43-思想方法——发散思维和转化与化归思想在不等式中的应用1.发散思维训练——一题多变练发散典例已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围.解:当m=0时,f(x)=-1<0恒成立.综上,-4<m≤0.故m的取值范围是(-4,0].-43-思想方法——发散思维和转化与化归思想在不等式中的应用-44-跟踪训练1将本例中的条件变为:对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,求实数