2刚体的定轴转动-教学课件

自然界存在着各式各样的运动,如刚体的转动……刚体力学基础2.6.1刚体的基本运动一、刚体模型刚体是一种特殊的质点系，是一个理想的模型，在任何情况下，刚体内任意两点之间的距离保持不变。AB平动——刚体运动时,若其上任意两点连线的方位始终不变,这种运动称为刚体的平动。平动时刚体上各质点的速度、加速度、轨道均相同，可归结为质点运动。二、刚体的平动和转动ABABAB转动——刚体上各质点都绕同一直线做圆周运动，叫做刚体的转动。该直线叫刚体的转轴。定轴转动：转轴为固定直线的转动叫做刚体定轴转动。一般运动

——平动与转动叠加。转动平面刚体定轴转动的描述*

简化为研究转动平面内的运动*用角量作整体描述*在轴上选正方向，各角量均表示为代数量如何简化？转动平面三、角速度矢量OO'rrRP旋转方向角速度:角速度矢量:方向沿轴大小:方向:

右手螺旋法则§2.6.2刚体的角动量转动惯量即对的角动量：转轴角速度刚体上任一质点转轴与其转动平面交点绕圆周运动半径为转动平面一、刚体对定轴的角动量刚体定轴转动的特点：(1)质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不同的圆周运动；(2)各质点的角速度大小相等，且均沿轴向。定义：质点对点的角动量的大小，称为质点对转轴的角动量。刚体对z

轴的总角动量为：式中刚体对轴的转动惯量刚体对z轴的总角动量为：对质量连续分布的刚体：式中刚体对轴的转动惯量1.定义刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积求和。若质量连续分布，则积分元选取：二、刚体对定轴的转动惯量2.计算刚体对轴的转动惯量J与刚体总质量有关与刚体质量分布有关与转轴的位置有关练习1.由长l的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于纸面的轴的转动惯量2.一长为的细杆，质量均匀分布，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。解：(1)轴过中点(2)轴过一端端点解

(1)在环上任取一质元，其质量为dm，距离为R，则该质元对转轴的转动惯量为例2.19设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量3.求质量m,半径R的球壳对直径的转动惯量解：取离轴线距离相等的点的集合为积分元4.求质量m,半径R的球体对直径的转动惯量解：以距中心，厚的球壳为积分元Ro平行轴定理质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO质量为m，长为L的细棒绕其一端的JP圆盘对P

轴的转动惯量OO1d=L/2O1’O2O2’3-2力矩、转动惯量、转动定律注意：对同轴的转动惯量才具有可加减性。平行轴定理正交轴定理对平面刚体一些均匀刚体的转动惯量表练习求长L、质量m的均匀杆对z轴的转动惯量解一：解二：解三：O

（1）单个质点与转轴刚性连接§2.6.3刚体对定轴的转动定律（2）刚体质量元受外力，内力外力矩内力矩O刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.转动定律定义转动惯量O3-2力矩、转动惯量、转动定律讨论（2）（3）（1）

不变转动定律小结比较由得是物体转动惯性的量度。是物体平动惯性的量度。改变物体平动状态的原因改变物体绕轴转动状态的原因例1质量为mA的物体A

静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB的物体B上，B

竖直悬挂．滑轮与绳索间无滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2)物体B从静止落下距离y时，其速率是多少？解

(1)用隔离法物体分别对各物作受力分析，取坐标如图．ABCOOOO3-2力矩、转动惯量、转动定律解得：3-2力矩、转动惯量、转动定律如令，可得（2）

B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率3-2力矩、转动惯量、转动定律稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动．试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度．例2一长为l、质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由于此竖直放置的细杆处于非m,lOmgθ3-2力矩、转动惯量、转动定律

解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得式中得m,lOmgθ3-2力矩、转动惯量、转动定律由角加速度的定义代入初始条件积分得m,lOmgθEND3-2力矩、转动惯量、转动定律例2.21转动着的飞轮的转动惯量为J，在t＝0时角速度为.此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数为k(k为大于零的常数)，当

时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？解

(1)，故由转动定律有(2)t＝0时，

，两边积分故当时，制动经历的时间为例:一定滑轮的质量为，半径为，一轻绳两边分别系和两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。已知：求：思路：先求角加速度解：在地面参考系中，分别以为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律和刚体定轴转动定律建立方程。以向下为正方向以向上为正方向思考：×+以顺时针方向为正方向四个未知数：三个方程？绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：解得：如图示，两物体质量分别为和，滑轮质量为，半径为。已知与桌面间的滑动摩擦系数为，求下落的加速度和两段绳中的张力。解：在地面参考系中，选取、和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：练习向里+列方程如下：可求解例.

质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为m、长为l的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差为s时，绳的加速度的大小。解：在地面参考系中，建立如图x坐标，设滑轮半径为r有：ox1x2sMABrxox1x2sMABrxCBCA用隔离法列方程:(以逆时针方向为正)T1JT2.CAT1mAg.CBT2mBg解得：§2.6.4刚体定轴转动的动能定理一、刚体绕定轴的转动动能刚体在转动时的动能，应该是组成刚体的各个质点的动能之和。设刚体中第i个质元的质量为，速度为，则该质点的动能为比较二、力矩的功如图所示，元功为又因对转轴O的力矩为设刚体从转到，则力作的功为再对各个外力的功求和，就可以得到所有外力作的总功为合外力矩的功等于合外力矩与刚体角位移元乘积的积分。[例1]:匀质细杆长为l,质量为m,可绕通过点O且与杆垂直的水平轴在竖直面内转动,如图所示.在杆的一端作用一水平恒力,其大小为F=2mg,杆在此力作用下由静止转过角度求力F所作的功...coFFAM=M()3-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理三、刚体定轴转动的动能定理根据刚体的定轴转动定律，有[例2]:一轻绳绕于半径r=20cm的飞轮边缘,在绳端施以F=98N的拉力,飞轮的转动惯量J=0.5,飞轮和转轴间的摩擦不计,试求:当绳端下降5m时,飞轮所获得的动能.解:roF四、刚体的重力势能其中是刚体的质心到势能零点的距离。yx.cmo刚体的重力势能例3留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率

作匀速转动．放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动．设唱片的半径为R，质量为m，它与转盘间的摩擦系数为

，求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩；(2)唱片达到角速度

时需要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？Rrdrdlo解(1)如图取面积元ds=

drdl，该面元所受的摩擦力为此力对点o的力矩为于是，在宽为dr的圆环上，唱片所受的摩擦力矩为Rrdrdlo(3)由

可得在0

到t的时间内，转过的角度为(2)由转动定律求

，(唱片J=mR2/2)（作匀加速转动）驱动力矩做的功为由

可求得例2一长为l

,质量为m’

的竿可绕支点O自由转动．一质量为m、速率为v

的子弹射入竿内距支点为a

处，使竿的偏转角为30o

.问子弹的初速率为多少?解子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，E=常量．解得：例2.22如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角时中心点C和端点A的速度.解：棒受力如图则中心点C和端点A的速度分别为例：如图所示，一圆盘质量为m；半径为R；绳长为l；夹角为θ；求：竖直时圆盘的质心速度。解：因机械能守恒，故另解一：应把圆盘视为一个绕O点旋转的刚体。应用平行轴定理，得圆盘对O点的转动惯量为由机械能守恒可得：求出，再由得解。另解二：把圆盘的运动视为质心绕O点的摆动和圆盘绕质心的转动的合成。由机械能守恒得：其中再由可得解。另解三：把圆盘下落的过程视为力矩做功的过程。由功能原理可得：求出，再由得解。例：如图所示，均匀圆柱，m,R，初始静止，高度h，无滑动。求：角速度ω。解：圆柱的运动可看成是圆柱绕中轴的转动与中轴的平动的合成。由机械能守恒得：再由和可求解。§2.6.5定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律一、定轴转动的角动量定理二、定轴转动刚体的角动量守恒定律角动量守恒定律：当外力对定轴的合外力矩为零时，刚体对该轴的角动量将保持不变。在日常生活中，我们到处都可以看到这样的例子。如直升飞机为何需要双螺旋桨、体操运动员和跳水运动员为何都是小个子、滑冰运动员旋转的舞姿等等。问题：虫与杆碰撞，角动量守恒？P129小球1对O点：外力矩虫与杆碰撞，角动量守恒细绳

两类冲击问题杆问题：冲击（碰撞）动量是否一定守恒？设子弹嵌入物体内系统：子弹+沙袋*动量守恒（水平）角动量守恒；机械能不守恒.子弹击入沙袋细绳质量不计（1）、

子弹和物体（细绳或弹簧相连）冲击弹簧细绳系统：子弹+杆机械能不守恒．角动量守恒；子弹击入杆（2）、子弹和杆冲击*动量不守恒（水平）例2一长为l

,质量为m’

的竿可绕支点O自由转动．一质量为m、速率为v

的子弹射入竿内距支点为a

处，使竿的偏转角为300

.问子弹的初速率为多少?

摆动：杆、弹和地球系统机械能守恒．

冲击：子弹与杆系统只有角动量守恒；（动量不守恒）解

冲击：子弹+竿系统

角动量守恒子弹（质点）：转动：

摆动：子弹+细杆+地球系统，

机械能守恒．小结：2、刚体绕定轴转动的动能定理1、力矩的功复习提要：一、转动惯量二、角动量

质点三、力矩定轴刚体质点质点系定轴刚体五、角动量守恒四、角动量定理例.一半径为R、质量为

M的转台，可绕通过其中心的竖直轴转动,质量为m的人站在转台边缘，最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周(不计阻力)，相对于地面，人和台各转了多少角度？R选地面为参考系，设对转轴人：J,;台：J´,´解：系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：设人沿转台边缘跑一周的时间为t：人相对地面转过的角度：台相对地面转过的角度：例.已知：两平行圆柱在水平面内转动，求：接触且无相对滑动时.o1m1R1.o2R2m2o1.o2.解一：因摩擦力为内力，外力过轴，外力矩为零，则：J1+J2系统角动量守恒，以顺时针方向为正：接触点无相对滑动：又：联立1、2、3、4式求解，对不对？o1.o2.问题：(1)式中各角量是否对同轴而言？(2)J1+J2系统角动量是否守恒？问题：(1)式中各角量是否对同轴而言？(2)J1+J2系统角动量是否守恒？分别以m1,m2为研究对象，受力如图：o2F2o1.F1f1f2系统角动量不守恒！解二：分别对m1,m2用角动量定理列方程设：f1=f2=f，以顺时针方向为正m1对o1轴：m2对o2轴：接触点：o2F2o1.F1f1f2联立各式解得：解一：m和m2系统动量守恒

mv0=(m+m2)v解二：m和(m+m2)系统动量守恒mv0=(m+m1+m2)v解三：mv0=(m+m2)v+m12v以上解法对不对？m2m1mA例.

已知：轻杆，m1=m,m2=4m,油灰球m，m以速度v0撞击m2，发生完全非弹性碰撞

求：撞后m2的速率v?因为相撞时轴A作用力不能忽略不计，故系统动量不守恒。因为重力、轴作用力过轴，对轴力矩为零，故系统角动量守恒。由此列出以下方程：或：得：m2m1mNyNxA注意：区分两类冲击摆水平方向：Fx=0，px

守恒

mv0=(m+M)v

对o

点：，守恒mv0l=(m+M)vl质点

定轴刚体（不能简化为质点）olmMFyFx(2)轴作用力不能忽略，动量不守恒，但对o轴合力矩为零，角动量守恒(1)olmM质点质点柔绳无切向力回顾mMFOA、B、C系统不守恒；A、B、C系统对o轴角