人教版中考数学总复习课件

一元二次方程2019-2020学年度人教版初中数学复习课件基础知识过关知识点一

一元二次方程的相关概念知识点二

一元二次方程的解法知识点三

一元二次方程的根的判别式及其应用知识点四

一元二次方程根与系数的关系知识点五

一元二次方程的应用知识点一

一元二次方程的相关概念1.一元二次方程:只含有①

一个

未知数,并且未知数的最高次数是②

2

的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是③

ax2+bx+c=0(a≠0)

,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数,bx叫做一次项,b叫做一次项系数,c

叫做④

常数项

.▶温馨提示

(1)判定一个方程是不是一元二次方程时要注意以下三点:①只含

有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③方程是整式方程.(2)一元二次方程的一般形式要注意二次项系数a≠0这一条件.2.一元二次方程的解:使方程左右两边⑤

相等

的未知数的值叫做一元二次

方程的解,也叫做一元二次方程的根.知识点二

一元二次方程的解法解法概念步骤直接开平方法形如(mx+n)2=r(r≥0)的方程,两边开平方,可转

化为两个一元一次方程来解1.开方:对满足直接开平方的方程左右两边开

平方;2.写解:正确写出原方程的根解法概念步骤配方法把一元二次方程通过配方化为(mx+n)2=r(r≥0)

的形式,再用直接开平方法求解1.变形:方程左边变形为只含有二次项(二次项

系数为1)和一次项的形式,右边为常数项;2.配方:方程左右两边加上一次项系数一半的

平方;3.开方:方程左边写成完全平方式再开方,右边

计算后开方;4.写解:正确写出原方程的根公式法用求根公式解一元二次方程的方法.一元二次

方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:x=⑥

(b2-4ac≥0)1.整理:将原一元二次方程整理成一般形式;2.求根的判别式:计算Δ=b2-4ac;3.代入求根公式;4.写解:正确写出原方程的根续表续表▶温馨提示

解一元二次方程时,要根据方程的特点灵活选择合适的方法,一般

优先考虑直接开平方法,然后考虑因式分解法,再次考虑公式法、配方法,公式

法和配方法可以解所有判别式大于或等于零的一元二次方程.解法

概念

步骤因式分解法将一元二次方程化为两个一次因式的乘积等

于0的形式,再使两个因式分别等于0,从而实现

降次1.变形:使原方程右边为零;2.因式分解:将原方程左边分解为两个一次因

式的积的形式;3.转化:令方程左边的两个因式分别为零,求解;4.写解:正确写出原方程的根知识点三

一元二次方程的根的判别式及其应用关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为⑦

b2-4ac

,一般用符

号Δ表示.(1)b2-4ac>0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)有⑧

两个不相等

的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)有⑨

两个相等

的实数根;(3)b2-4ac<0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)⑩

没有

实数根;(4)b2-4ac≥0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)有

两个

实数根.▶温馨提示

①运用一元二次方程根的判别式时,先要把原方程化为一般形式,

再确定a,b,c的值;②使用判别式的前提:方程是一元二次方程,即二次项系数a≠0.知识点四

一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=

-

,x1·x2=

.▶温馨提示

应用一元二次方程根与系数的关系时,应注意:(1)当一元二次方程

不是一般形式时,要先化成一般形式;(2)一元二次方程根与系数的关系成立的前

提条件是b2-4ac≥0.知识点五

一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题的步骤(1)审:读懂题目,弄清题意,明确已知量和未知量以及它们之间的等量关系;(2)设:设元,也就是设未知数;(3)列:列方程;(4)解:解方程;(5)验:检验未知数的值的准确性及合理性;(6)答:写出答案.考点聚焦考点一

一元二次方程的解考点二

一元二次方程的解法考点三

一元二次方程根的判别式考点四

一元二次方程根与系数的关系考点五

一元二次方程的实际应用考点一

一元二次方程的解中考解题指导根据一元二次方程的根的定义进行求值或化简问题的一般思

路:先把方程的根代入已知的一元二次方程,得出一个等式,然后对这个等式进

行适当的变形,将其代入待求值的式子中进行化简或计算.例1已知m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根,则2m2-4m=

6

.解析∵m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根,∴m2-2m-3=0,∴m2-2m=3,∴2m2-4m=6.变式1-1已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则a-b的值为

()A.1

B.-1C.0

D.-2A解析把x=-b代入原方程得b2-ab+b=0,因为-b≠0,所以b≠0,方程两边同除以b,

得b-a+1=0,即a-b=1.故选A.考点二

一元二次方程的解法中考解题指导解一元二次方程要根据题目特点选择适当的方法.当方程为(x+

m)2=n(n≥0)的形式时,可直接开方求解;当一元二次方程的一边为0,另一边为易

于分解成两个一次因式的积时,可用因式分解法求解;而公式法是一种万能的方

法,但使用时一定要把一元二次方程化为一般形式,确定a,b,c的值,在b2-4ac≥0

的条件下代入公式求解.任何一个有解的一元二次方程都可以用配方法和公式

法求解.例2

(2017泰安)一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为

()A.(x-3)2=15

B.(x-3)2=3C.(x+3)2=15

D.(x+3)2=3A解析

x2-6x-6=0,移项得x2-6x=6,即x2-6x+9=15,亦即(x-3)2=15,故选A.变式2-1

(2019怀化)一元二次方程x2+2x+1=0的解是

()A.x1=1,x2=-1

B.x1=x2=1C.x1=x2=-1

D.x1=-1,x2=2C解析∵x2+2x+1=0,∴(x+1)2=0,则x+1=0,解得x1=x2=-1.故选C.变式2-2

(2019威海)一元二次方程3x2=4-2x的解是

x1=

,x2=

.解析

3x2=4-2x,3x2+2x-4=0,则b2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0,故x=

,解得x1=

,x2=

.方法技巧解一元二次方程要遵循一看二选三做四验的步骤,即先观察方程的特点,然后选

择合适的解法,运用规范的步骤求解,最后代入原方程或运用根与系数的关系检

验方程的解是否正确.考点三

一元二次方程根的判别式中考解题指导(1)判断一元二次方程根的情况时,只需判断出根的判别式的符

号;若一元二次方程中含有字母系数,常将根的判别式化为一个完全平方式与一

个非负数和的形式.(2)根据一元二次方程的根的情况求字母系数的取值时,不要

漏掉二次项系数不为0这个隐含条件.例3

(2019泰安)已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+3=0有两个不相等的

实数根,则实数k的取值范围是

k<-

.解析∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=(2k-1)2-4(k2+3)=-4k+1-12>0,解得k<-

.变式3-1

(2018泰安)一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况是

()A.无实数根B.有一个正根,一个负根C.有两个正根,且都小于3D.有两个正根,且有一根大于3D变式3-2

(2017泰安)关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+(k2-1)=0无实数根,则k的

取值范围是

k>

.解析

∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+(k2-1)=0无实数根,∴Δ=b2-4ac<0,即(2k-1)2-4(k2-1)<0,解得k>

,故k的取值范围是k>

.易错警示若一元二次方程有实数根,则应该包括有两个不相等的实数根和有两个相等的

实数根两种情况,同时满足二次项系数不能为零,要注意考虑问题的全面性.考点四

一元二次方程根与系数的关系中考解题指导(1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,求关于x1,

x2的某个代数式的值,先把这个代数式变形为含有x1+x2和x1x2的式子,再把x1+x2和

x1x2的值整体代入.(2)若给出了关于x1和x2的某个代数式的值或范围,要求未知字母系数的值或范

围,先把这个代数式进行变形,转化为用x1+x2和x1x2表示的式子,然后根据所给的值或取值范围构造方程或不等式,从而求出未知字母系数的值或范围.例4

(2018潍坊)已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+

=0有两个不相等的实数根x1,x2,若

+

=4m,则m的值是

()A.2

B.-1

C.2或-1

D.不存在A解析由题意得Δ=[-(m+2)]2-4·m·

=4m+4>0,且m≠0,解得m>-1且m≠0,由题意知x1+x2=

,x1x2=

,所以

+

=

=

=4m,化简得m2-m-2=0,解得m1=2,m2=-1(舍去),所以m的值为2.故选A.变式4-1

一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1,x2,则下列结论正确的是

()A.x1=-1,x2=2

B.x1=1,x2=-2C.x1+x2=3

D.x1x2=2C解析∵方程x2-3x-2=0的两根为x1,x2,∴x1+x2=3,x1·x2=-2,∴C选项正确.变式4-2

(2018德州)若x1,x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则x1+x2+x1x2

=

-3

.解析

由根与系数的关系可知:x1+x2=-1,x1x2=-2,∴x1+x2+x1x2=-3.考点五

一元二次方程的实际应用中考解题指导列方程解实际问题的关键:(1)找到等量关系.(2)在得到方程的

解后,要检验它是否符合实际意义.考向1列方程解决实际问题例5某校进行体操队列训练,原有8行10列,后增加40人,使得队伍增加的行

数、列数相同,你知道增加了多少行或多少列吗?设增加了x行或列,则列方程为

()A.(8-x)(10-x)=8×10-40B.(8-x)(10-x)=8×10+40C.(8+x)(10+x)=8×10-40D.(8+x)(10+x)=8×10+40D考向2增长率(降低率)问题的考查例6

(2019德州)习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧

启发,让人滋养浩然之气.”某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社

会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆128人次,进馆人次逐月增加,到第三个

月末累计进馆608人次,若进馆人次的月平均增长率相同.(1)求进馆人次的月平均增长率;(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过500人次,在进馆人次的月平均

增长率不变的条件下,校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次?请说明理由.解析(1)设进馆人次的月平均增长率为x,由题意,得128+128(1+x)+128(1+x)2=608,化简得:4x2+12x-7=0,∴(2x-1)(2x+7)=0,∴x=0.5=50%或x=-3.5(舍去).答:进馆

人次的月平均增长率为50%.(2)∵进馆人次的月平均增长率为50%,∴第四个月的进馆人次为128×(1+50%)3

=128×

=432<500.答:校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.考向3利润问题的考查例7

某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每

天生产76件,每件利润为10元.调查表明:生产的蛋糕产品每提高一个档次,该产

品每件的利润增加2元.(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,则此批次蛋糕属于第几档次的产品?(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的

某档次产品一天的总利润为1080元,则该烘焙店生产的是第几档次的蛋糕产

品?解析(1)根据生产的蛋糕产品每提高一个档次,每件产品的利润增加2元得(14-

10)÷2+1=3,所以每件利润14元的蛋糕为第三档次产品.(2)设烘焙店生产的是第x档次的蛋糕产品,根据题意得[2(x-1)+10][76-4(x-1)]=1080,整理得x2-16x+55=0,解得x1=5,x2=11(不合题意,舍去).答:该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕产品.考向4几何问题的考查例8

王叔叔从市场上买了一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮,准备制作一个工

具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后,剩余的部

分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体工具箱,根据题意列方程为

()

CA.(80-x)(70-x)=3000B.80×70-4×2=3000C.(80-2x)(70-2x)=3000D.80×70-4×2-(70+80)x=3000考向5单(双)循环问题的考查例9学校要组织足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).计划安排21

场比赛,应邀请多少支球队参赛?设邀请x支球队参赛.根据题意,下面所列方程正

确的是

()A.x2=21

B.

x(x-1)=21C.

x2=21

D.x(x-1)=21B方法技巧列一元二次方程解决实际问题时,首先是将问题进行归类,明确其中的等量关

系,其次是判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.随堂巩固训练一、选择题1.(2019金华)用配方法解方程x2-6x-8=0时,配方结果正确的是

()A.(x-3)2=17

B.(x-3)2=14C.(x-6)2=44

D.(x-3)2=1A解析用配方法解方程x2-6x-8=0时,配方结果为(x-3)2=17.故选A.2.(2019河南)一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是

()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根A解析原方程可化为x2-2x-4=0,∴a=1,b=-2,c=-4,∴Δ=(-2)2-4×1×(-4)=20>0,∴方

程有两个不相等的实数根.故选A.二、填空题3.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值

范围是

a<2且a≠1

.解析∵关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,∴Δ=4-4

×(a-1)×1>0,解得a<2,又∵二次项系数不为0,∴a-1≠0,即a≠1.故a的取值范围是a<2且a≠1.4.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别为m+1和2m-4,则

=

4

.解析∵ax2=b可化为ax2-b=0,∴m+1+2m-4=0,∴m=1,∴m+1=2,2m-4=-2,∴4a=b,

∴

=4.三、解答题5.(2019重庆A卷)某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅,50平方米

住宅套数是80平方米住宅套数的2倍.物管公司月底按每平方米2元收取当月物

管费,该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费.(1)该小区每月可收取物管费90000元,问该小区共有多少套80平方米的住宅?(2)为建设“资源节约型社会”,该小区物管公司5月初推出活动一:“垃圾分类

送礼物”,50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动.为提

高大家的积极性,6月份准备把活动一升级为活动二:“垃圾分类抵扣物管费”,

同时终止活动一.经调査与测算,参加活动一的住户会全部参加活动二,参加活

动二的住户会大幅增加,这样,6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%,每户物管费将会减少

a%;6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%,

每户物管费将会减少

a%.这样,参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少

a%,求a的值.解析(1)设该小区有x套80平方米住宅,则50平方米住宅有2x套,由题意,得2(50

×2x+80x)=90000,解得x=250.答:该小区共有250套80平方米的住宅.(2)参与活动一:50平方米住宅每户所交物管费为100元,有500×40%=200户参与

活动一,80平方米住宅每户所交物管费为160元,有250×20%=50户参与活动一.

参与活动二:50平方米住宅每户所交物管费为100

1-

a%

元,有200(1+2a%)户参与活动二;80平方米住宅每户所交物管费为160

元,有50(1+6a%)户参与活动二.由题意得100

1-

a%

·200(1+2a%)+160

·50(1+6a%)=[200(1+2a%)×100+50(1+6a%)×160]

.令t=a%,化简得t(2t-1)=0,∴t1=0(舍),t2=

.∴a=50.答:a的值为50.代数式与整式2019-2020学年度人教版初中数学复习课件基础知识过关知识点一代数式及其求值知识点二整式的有关概念知识点四因式分解知识点三整式的运算知识点一

代数式及其求值1.代数式:一般地,用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方和开方)把①

数或表示数的字母

连接起来的式子叫做代数式,单独的一个数或字母也是代数式.2.代数式的值:一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中指明的运算计

算出的结果叫做代数式的值.知识点二

整式的有关概念1.单项式:由②

数或字母的积

组成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一

个字母也是单项式,单项式中的③

数字因数

叫做这个单项式的系数,单项式

中④

所有字母的指数的和

叫做这个单项式的次数.2.多项式:⑤

几个单项式的和

叫做多项式,多项式中的每个单项式叫做多项

式的⑥

项

,不含字母的项叫做⑦

常数项

.在多项式中,次数最高项的次

数叫做这个多项式的⑧

次数

.3.整式:⑨

单项式

和多项式统称为整式.▶温馨提示

(1)单项式的系数包含前面的符号,当系数是1时,可省略不写,当系

数为-1时,只需要写性质符号“-”.(2)当单项式的系数为带分数时,要把带分数写成假分数.(3)π是无理数,不是字母,在确定单项式的系数时,不要错把π看作字母.知识点三

整式的运算1.整式的加减(1)同类项:所含⑩

字母相同

,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类

项.(2)合并同类项:把一个多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并的

法则是系数相加,所得的结果作为合并后的系数,

字母和字母的指数

不变.▶温馨提示

①常数项是同类项.②整式的加减实质是合并同类项.(3)去括号与添括号:a+(b+c)=

a+b+c

;a-(b+c)=

a-b-c

;a+b-c=a+

(b-c)

;a-b+c=a-

(b-c)

.▶温馨提示

去(添)括号时,括号前面是“+”的,直接去掉(添加)括号,括号内的

项符号不变;括号前面是“-”的,去掉括(添加)号后,括号内的项都改变符号.2.整式的乘除(1)幂的运算am·an=

am+n

(m,n都是正整数);am÷an=

am-n

(a≠0,m,n都是正整数,且m≥n);(am)n=

amn

(m,n都是正整数);(ab)n=

anbn

(n是正整数).(2)整式的乘法a.单项式乘单项式:n个单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式;b.单项式乘多项式:用符号表示为m(a+b+c)=am+bm+cm;c.多项式乘多项式:用符号表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.(3)乘法公式a.平方差公式:(a+b)(a-b)=

a2-b2

;b.完全平方公式:(a±b)2=

a2±2ab+b2

.▶温馨提示

①平方差公式变形:(b+a)(a-b)=a2-b2;(a+b)(b-a)=b2-a2;(a+b-c)(a-b+

c)=a2-(b-c)2.②完全平方公式变形:(a-b)2=(b-a)2;(-a-b)2=(a+b)2;(a-b)2=(a+b)2-4ab.(4)整式的除法a.单项式除以单项式:把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除

式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式;只在除式里含有的字母,

则取其倒数,作为商的一个因式;b.多项式除以单项式:用符号表示为(am+bm+cm)÷m=a+b+c.知识点四

因式分解1.因式分解:把一个多项式化为几个整式的

积

的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解.2.因式分解的方法(1)提公因式法:用式子表示ma+mb+mc=

m(a+b+c)

.公因式的确定:首先,取各项因式系数的最大公约数;然后,取各项相同的字母;最

后,取各项相同字母的最低次数.(2)公式法:(平方差公式)a2-b2=

(a+b)(a-b)

;(完全平方公式)a2±2ab+b2=

(a±b)2

.▶温馨提示

能用平方差公式进行因式分解的多项式中的两项都能写成平方

的形式,且符号相反;能用完全平方公式进行因式分解的多项式应符合a2±2ab+b2

的形式,该多项式有两项能写成平方的形式且符号相同,另外一项是其他两个平方项底数乘积的2倍或-2倍.考点一

列代数式考点二

代数式的求值考点四

整式的混合运算考点三

幂的运算考点五

因式分解考点聚焦考点一

列代数式中考解题指导根据题意列代数式,涉及的方面有:根据几何关系列代数式、根

据实际问题列代数式、根据数字或几何规律列代数式等.例1

(2019滨州)观察下列一组数:a1=

,a2=

,a3=

,a4=

,a5=

,…….它们是按一定规律排列的,请利用其中的规律,写出第n个数an=

.(用

含n的式子表示)解析观察分母3,5,9,17,33,…,可知规律为2n+1,观察分子1,3,6,10,15,…,可知规

律为

,∴an=

=

.变式1-1如图,图1的正方形的周长与图2的长方形的周长相等,且长方形的长

比宽多acm,则正方形的面积与长方形的面积的差为

()

图1图2A.2a2cm2B.

a2cm2C.

a2cm2D.4a2cm2

C解析设长方形的宽为xcm,则长为(x+a)cm,则正方形的边长为

(x+x+a)=

(2x+a)cm;正方形的面积为

(2x+a)

2cm2,长方形的面积为x(x+a)cm2,二者面积之差为

-x(x+a)=

a2cm2.故选C.考点二

代数式的求值中考解题指导求代数式的值,一般有两种形式:一是直接代入求值;二是整体

代入求值.整体代入求值时,往往需要将代数式进行变形.例2已知x-2y=3,那么代数式3-2x+4y的值是

()A.-3

B.0

C.6

D.9A解析3-2x+4y=3-2(x-2y),把x-2y=3代入得3-2×3=-3.变式2-1

(2019岳阳)已知x-3=2,则代数式(x-3)2-2(x-3)+1的值为

.解析将x-3=2直接代入代数式中,得(x-3)2-2(x-3)+1=22-2×2+1=1.变式2-2

已知a+b=10,a-b=8,则a2-b2=

.解析因为a2-b2=(a+b)(a-b),且a+b=10,a-b=8,所以a2-b2=80.方法技巧运用整体代入法求代数式的值时,可把已知条件直接代入化简并求值,也可把已

知条件适当变形后整体代入求值.180考点三

幂的运算中考解题指导进行幂的运算时,牢记幂的运算性质,尤其是同底数幂相乘和幂

的乘方时,不要忽略符号及数字因数.例3

(2019泰安)下列运算正确的是

()A.a6÷a3=a3

B.a4·a2=a8C.(2a2)3=6a6

D.a2+a2=a4

A解析直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运

算法则分别计算.A.a6÷a3=a3,故此选项正确;B.a4·a2=a6,故此选项错误;C.(2a2)3=8a6,故此选项错误;D.a2+a2=2a2,故此选项错误.故选A.变式3-1

(2019滨州)下列计算正确的是

()A.x2+x3=x5

B.x2·x3=x6C.x3÷x2=x

D.(2x2)3=6x6

C解析分别利用合并同类项法则以及同底数幂的除法运算法则和积的乘方运

算法则等知识分别化简.A.x2+x3不能合并,错误;B.x2·x3=x5,错误;C.x3÷x2=x,正确;D.(2x2)3=8x6,错误.故选C.变式3-2

(2019潍坊)若2x=3,2y=5,则

=

15

.解析

∵2x=3,2y=5,∴2x+y=2x·2y=3×5=15.易错警示同底数幂的乘法易与幂的乘方混淆,应注意.考点四

整式的混合运算中考解题指导

整式的加减就是去括号并合并同类项.去括号时注意两点:一是

括号前面的符号;二是括号外面的数要乘括号内的每一项.例4

(2019青岛)计算(-2m)2·(-m·m2+3m3)的结果是

()A.8m5

B.-8m5C.8m6

D.-4m4+12m5

解析原式=4m2·2m3=8m5.故选A.A变式4-1

(2019潍坊)下列运算正确的是

()A.3a·2a=6a

B.a8÷a4=a2C.-3(a-1)=3-3a

D.

=

a9

C解析3a×2a=6a2,本选项错误;B.a8÷a4=a4,本选项错误;C.-3(a-1)=3-3a,正确;D.

=

a6,本选项错误.故选C.变式4-2先化简,再求值:a(a-2b)+(a+b)2,其中a=-1,b=

.解析原式=a2-2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2,当a=-1,b=

时,原式=2+2=4.变式4-3设y=kx,且k≠0,若代数式(x-3y)(2x+y)+y(x+5y)化简的结果为2x2,求k的

值.解析∵(x-3y)(2x+y)+y(x+5y)=2x2-5xy-3y2+xy+5y2=2x2-4xy+2y2=2(x-y)2=2x2,∴x-y

=±x,则x-kx=±x,解得k=0(不符合题意,舍去)或k=2.方法技巧在进行整式的运算时,一般先根据整式的混合运算的顺序进行运算,能用公式的

要运用公式.考点五

因式分解中考解题指导因式分解的一般步骤:(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提

公因式;(2)如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式法、十字相乘法来分解;

(3)必须进行到每一个因式都不能再分解.用一段话来概括:先看有无公因式,再

看能否套公式,十字相乘试一试,分解彻底才合适.例5

(2019潍坊)下列因式分解正确的是

()A.3ax2-6ax=3(ax2-2ax)B.x2+y2=(-x+y)(-x-y)C.a2+2ab-4b2=(a+2b)2D.-ax2+2ax-a=-a(x-1)2

D解析

A.3ax2-6ax=3ax(x-2),故此选项错误;B.x2+y2无法分解因式,故此选项错误;

C.a2+2ab-4b2无法分解因式,故此选项错误;D.-ax2+2ax-a=-a(x-1)2,正确.故选D.变式5-2

(2018菏泽)若a+b=2,ab=-3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为

-12

.答案-12解析∵a+b=2,ab=-3,∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=(-3)×4=-12.变式5-1

(2019长沙)分解因式:am2-9a=

a(m+3)(m-3)

.答案

a(m+3)(m-3)一、选择题随堂巩固训练1.(2019金华)计算a6÷a3正确的结果是

()A.2

B.3a

C.a2

D.a3

D解析根据同底数幂的运算律进行计算即可,a6÷a3=a3.故选D.2.(2019德州)下列运算正确的是

()A.(-2a)2=-4a2B.(a+b)2=a2+b2C.(a5)2=a7D.(-a+2)(-a-2)=a2-4D解析(-2a)2=4a2,故选项A不合题意;(a+b)2=a2+2ab+b2,故选项B不合题意;(a5)2=a10,故选项C不合题意;(-a+2)(-a-2)=a2-4,故选项D符合题意.故选D.3.下列说法正确的是

()A.-

x2的系数是

B.

πa2的系数为

C.3ab2的系数是3a

D.

xy2的系数是

D解析选项A中的系数是-

,选项B中的系数是

π,选项C中的系数是3,故选D.4.把多项式x2+ax+b分解因式得(x+1)(x-3),则

()A.a=2,b=3

B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3

D.a=2,b=-3B解析

∵(x+1)(x-3)=x2-3x+x-3=x2-2x-3,∴x2+ax+b=x2-2x-3,∴a=-2,b=-3.故选B.5.若x2+4x-4=0,则3(x-2)2-6(x+1)(x-1)的值为

()A.-6

B.6

C.18

D.30B解析3(x-2)2-6(x+1)(x-1)=-3(x2+4x)+18,由x2+4x-4=0得x2+4x=4,所以原式=-3×4+

18=6,故选B.二、填空题6.(2019嘉兴)分解因式:x2-5x=

x(x-5)

.7.(2019南充)原价为a的书包,现按8折出售,则售价为

0.8a

元.8.若m=2n+1,则m2-4mn+4n2的值是

1

.解析∵m=2n+1,即m-2n=1,∴原式=(m-2n)2=1.9.(2019枣庄)若m-

=3,则m2+

=

11

.解析

∵

=m2-2+

=9,∴m2+

=9+2=11.三、解答题10.(1)(2019重庆A卷)计算:(x+y)2-y(2x+y);解析(1)原式=x2+2xy+y2-2xy-y2=x2.(2)(2019宁波)先化简,再求值:(x-2)(x+2)-x(x-1),其中x=3.解析(2)原式=x2-4-x2+x=x-4.当x=3时,原式=x-4=3-4=-1.分式2019-2020学年度人教版初中数学复习课件基础知识过关知识点一

分式的概念知识点二

分式的性质知识点三

分式的运算知识点一

分式的概念1.分式:一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中

含有字母

,那么代数式

叫做分式.分式

中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.2.分式

有无意义:当②

B=0

时,分式无意义;当③

B≠0

时,分式有意义.3.分式

的值为0:当④

A=0且B≠0

时,分式的值为0.▶温馨提示

判断一个式子是不是分式,直接根据分式的概念判断即可,若分式

的分子和分母中有公因式,不要约掉公因式.知识点二

分式的性质1.分式的基本性质:分式的分子和分母都乘(或除以)⑤

同一个不为零

的整

式,分式的值不变.即

=

,

=

(C≠0),其中A,B,C是整式.2.约分:(1)利用分式的基本性质,把一个分式的分子与分母中1以外的公因式约

去,叫做分式的约分.当一个分式的分子和分母,除去1以外没有其他的公因式时,

这个分式叫做⑥

最简分式

.(2)约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式.确定最大公因式的一

般步骤:当分子、分母是多项式时,先⑦

因式分解

,再取系数的⑧

最大公约

与相同字母(或因式)的⑨

最低次幂

的积为最大公因式.3.通分:(1)把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫

做分式的通分.(2)通分的关键是确定几个分式的最简公分母.确定最简公分母的一般步骤:当各

分母都是单项式时,取各分母系数的⑩

最小公倍数

与所有不同字母(或因

式)的

最高次幂

的积为最简公分母;当分母含有多项式时,先把多项式进行

因式分解

,再按照单项式求最简公分母的方法求得最简公分母.▶温馨提示

通分时,分子与分母要同时乘同一个不为零的数,不要忽略分子.知识点三

分式的运算1.分式的乘除:

·

=

,

÷

=

×

=

(b≠0,c≠0,d≠0).2.分式的乘方:

=

(b≠0,n是正整数).3.分式的加减:同分母分式相加减:

±

=

(c≠0);异分母分式相加减:

±

=

(b≠0,d≠0).4.分式的混合运算:与实数混合运算相似,先算

乘方、开方

,再算

乘除

,最后算

加减

,有括号的,应先算

括号内的

.考点聚焦考点一

分式有(无)意义的条件考点二

确定分式的值为零的条件考点三

分式的化简求值考点一

分式有(无)意义的条件中考解题指导分式有(无)意义的条件是分式的有关概念的常考点.例1函数y=

中,x的取值范围是

()A.x≠0

B.x>-2C.x<-2

D.x≠-2D解析由题意得x+2≠0,解得x≠-2.故选D.变式1-1

(2019宁波)若分式

有意义,则x的取值范围是

()A.x>2

B.x≠2C.x≠0

D.x≠-2B解析要使分式

有意义,则分母x-2≠0,即x≠2.故选B.变式1-2当x=3时,分式

没有意义,则b=

-3

.解析根据分式无意义的条件可得x+b=0,再将x=3代入,得3+b=0,解得b=-3.考点二

确定分式的值为零的条件中考解题指导分式的值为零的条件:当分子等于零,分母不等于零时,分式的

值为零.例2

(2019贵港)若分式

的值等于0,则x的值为()A.±1

B.0

C.-1

D.1D解析由题意,得

∴x=1.故选D.变式2-1

若分式

的值为0,则x的值为

3

.解析由题意得

解得x=3.变式2-2

(2019新泰模拟)若分式

的值为0,则x的值为

()A.-3

B.-3或1C.3

D.3或1A解析根据分式的值为零的条件解答.由题意,可知

解得x=-3.故选A.方法技巧分式的值为0受到分母不为0的限制,“分式的值为0”包含两层含义:一是分式

有意义;二是分子的值为0,不要误认为“只要分子的值为0,分式的值就为0”.考点三

分式的化简求值中考解题指导进行分式化简时,若分子、分母为多项式,则先分解因式;若某

个分式能约分,先约分,再计算.若整式与分式相加减,把整式看作分母为1的分

式.例3

(2019泰安)先化简,再求值:

÷

,其中a=

.解析原式=

÷

=

÷

=

·

=

.当a=

时,原式=

=1-2

.变式3-1

(2017泰安)化简

÷

的结果为()A.

B.

C.

D.

A解析原式=

÷

=

·

=

=

.变式3-2

(2018泰安)先化简,再求值:

÷

,其中m=

-2.解析原式=

÷

=

÷

=

·

=

.当m=

-2时,原式=

=

=2

-1.方法技巧1.有理数的运算律对分式同样适用,要灵活运用乘法的交换律、结合律和分配

律.2.在化简求值时,先将代数式化简,再把已知条件进行变形后整体代入化简后的

式子.一、选择题随堂巩固训练1.(2019衡阳)如果分式

在实数范围内有意义,那么x的取值范围是

()A.x≠-1

B.x>-1C.全体实数

D.x=-1A解析要使分式

在实数范围内有意义,只需分母x+1≠0,即x≠-1.故选A.2.(2019泰山模拟)若分式

的值为0,则x等于()A.-1

B.-1或2C.-1或1

D.1D解析∵分式

的值为0,∴|x|-1=0,x-2≠0,x+1≠0,解得x=1.故选D.3.分式-

可变形为

()A.-

B.

C.-

D.

D4.(2019武威)下面的计算过程中,从哪一步开始出现错误()

-

=

-

=①

=

=1②③④A.①

B.②

C.③

D.④B答案

B

-

=

-

=

=

.故从第②步开始出现错误.故选B.5.(2018淄博)化简

-

的结果为

()A.

B.a-1

C.a

D.1B6.化简

÷

的结果是

()A.

B.

C.x+1

D.x-1A二、填空题7.(2019南充)计算:

+

=

x+1

.8.化简

÷

的结果为

x-1

.解析

原式=

·

=

·

=x-1.三、解答题9.(2019菏泽)先化简,再求值:

÷

,其中x=y+2019.解析原式=

·

·(y+x)(y-x)=-(2y-x-y)=x-y,∵x=y+2019,∴原式=y+2019-y=2019.10.(2019滨州)先化简,再求值:

÷

,其中x是不等式组

的整数解.解析

原式=

·

=

·

=

.解不等式组

得1≤x<3,则不等式组的整数解为1、2,又x≠±1且x≠0,∴x=2,∴原式=

.实数及其运算2019-2020学年度人教版初中数学复习课件命题点泰安考题统计命题解析201920182017实数的定义和分类

近3年泰安中考未直接考查数轴、相反数、倒数、绝

对值、平方根与立方根

近3年泰安中考未直接考查实数的大小比较第1题(对应例6)

第1题(对应变式6-1)2019、2017年以选择题的形式考查实数的大小比较实数的混合运算

第1题(对应例8)

2018年考查了实数的运算,属于简单题目科学记数法和近似数第3题(对应例7)第13题(对应变式7-1)第4题(对应变式7-2)2019、2018、2017年都有考查,要求会用科学记数法表示某些较大或较小的数会根据精确度对一个数取近似值考情分析基础知识过关知识点一

实数及其分类知识点二

实数的相关概念及性质知识点四

实数的混合运算知识点三

实数的大小比较知识点五

科学记数法与近似数知识点一

实数及其分类1.实数:①

有理数

和无理数统称为实数,②

整数

和分数统称为有理数.2.实数的分类实数

▶温馨提示

(1)常见的无理数类型:①根号型,如

、

等开不尽方的实数;②含π型,如

、π+5等化至最简后含π的数;③三角函数型,如sin60°、tan60°等;④构造型,如1.010010001……(每相邻两个1之间0的个数依次增加1)等无限不循

环小数.(2)在无理数常见的类型中,三角函数表示的数不一定是无理数,如sin

30°等.知识点二

实数的相关概念及性质名称定义性质数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线,叫做

数轴实数与数轴上的点是③

一一对应

的关系相反数只有④

符号不同

的两个数互为相反数(1)若a与b互为相反数,则a+b=⑤

0

;(2)相反数等于其本身的数是⑥

0

名称定义性质倒数乘积为1的两个数互为倒数(1)0没有倒数;(2)倒数等于它本身的数是⑦

±1

绝对值数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的

绝对值,记作|a||a|=

平方根(算术平方根)若x2=a(a≥0),则x叫做a的平方根,记作±

(a≥0),正数a的正的平方根叫做数a的算术平方根一个正数有两个平方根,它们互为⑧

相反数

,0的平方根为⑨

0

,⑩

负数

没有平方根和算术平方根立方根若x3=a,则x叫做a的立方根,记作

正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0

的立方根是0▶温馨提示

(1)相反数等于它本身的数是0,倒数等于它本身的数是±1,平方等

于它本身的数是1和0.(2)绝对值是a(a>0)的数有两个,它们互为相反数,即±a.(3)绝对值相等的两个数相等或互为相反数,即若|a|=|b|,则a=b或a+b=0.(4)任意实数的绝对值都是非负数,即|a|≥0.(5)绝对值等于它本身的数是非负数,在数轴上,绝对值越大的数所对应的点离原

点越远.(6)若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0.知识点三

实数的大小比较1.数轴比较法:将两个实数分别表示在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点

表示的数大.2.性质比较法:正数大于0,负数小于0,正数大于负数;两个负数相比较,绝对值大

的反而小.3.作差比较法:设a,b是任意两个实数,若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a

<b.4.特殊比较法:(1)作商法:当a>0,b>0时,若

>1,则a>b;若

=1,则a=b;若

<1,则a<b;当a<0,b<0时,若

>1,则a<b;若

=1,则a=b;若

<1,则a>b.(2)估算法.(3)平方法:当a>0,b>0时,若a2>b2,则a>b;当a<0,b<0时,若a2>b2,则a<b.(4)倒数法:当a>0,b>0,或a<0,b<0时,若

>

,则a<b.知识点四

实数的混合运算1.零次幂、负整数指数幂:若a≠0,则a0=

1

;若a≠0,p为正整数,则a-p=

.2.实数运算中常用的运算律运算律

3.实数范围内的运算顺序:先算乘方、开方,再算

乘除

,最后算

加减

;有括号的,先算括号内的,按小括号、中括号、大括号依次进行;同级运算要

从左到右依次进行.知识点五

科学记数法与近似数1.科学记数法:将一个数N表示成

a×10n

(其中

1≤|a|<10

,n是整数)的形式叫做科学记数法.2.近似数:接近但不是实际的数或在计算中按要求所取得的与某个准确数接近

的数,叫做近似数.一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一

位.3.精确度:近似数的精确度是指这个数精确到数字的实际位数.▶温馨提示

(1)若|N|≥10,则N=a×10n,其中1≤|a|<10,n等于N的整数位数减1.(2)若|N|<1,则N=a×10n,其中1≤|a|<10,n是一个负整数,其绝对值等于N的第一个

不是0的数字前面0的个数.(3)含有数字单位(如亿、万、千)的数用科学记数法表示时,先把数字单位转换

成数字.考点聚焦考点一

实数的相关概念考点二

平方根、算术平方根及立方根考点三

实数的大小比较考点四

科学记数法考点五

实数的运算考点一

实数的相关概念中考解题指导实数的相关概念有数轴、相反数、绝对值、倒数等,解答此类

问题的思路:根据相关概念及意义直接求值.考向1相反数例1

(2019济南)-3的相反数是

(

)A.3

B.-3

C.

D.-

A解析

根据相反数的意义,只有符号不同的两个数互为相反数.所以-3的相

反数是3.故选A.变式1-1

(2019青岛)-

的相反数是

(

)A.-

B.-

C.±

D.

D变式1-2

(-2)3的相反数为

(

)A.-6

B.8

C.-

D.

B考向2倒数例2

(2019德州)-

的倒数是

(

)A.-2

B.

C.2

D.1A解析根据倒数的定义,知-

的倒数是-2.故选A.变式2-1

(2019自贡)-2019的倒数是

(

)A.-2019

B.-

C.

D.2019B解析直接利用倒数的定义进而得出答案.-2019的倒数是-

.故选B.考向3绝对值例3

(2019重庆B卷)5的绝对值是

()A.5

B.-5

C.

D.-

A解析根据绝对值的定义,一个正数的绝对值是它本身,知5的绝对值是5.故选A.变式3-1

(2019宁波)-2的绝对值为

(

)A.-

B.2

C.

D.-2B解析根据绝对值的定义,一个负数的绝对值是它的相反数,知-2的绝对值是2.

故选B.考向4数轴例4

(2019武威)如图,数轴的单位长度为1,如果点A表示的数是-1,那么点B表示

的数是

()

A.0

B.1

C.2

D.3D解析数轴的单位长度为1,如果点A表示的数是-1,那么点B表示的数是3.故

选D.变式4-1

(2019北京)在数轴上,点A,B在原点O的两侧,分别表示数a,2,将点A向

右平移1个单位长度,得到点C.若CO=BO,则a的值为

()A.-3

B.-2

C.-1

D.1A解析∵点C在原点的左侧,且CO=BO,∴点C表示的数为-2,∴a=-2-1=-3.故选A.变式4-2

(2019达州)如图所示,点C位于点A,B之间(不与A,B重合),点C表示1-2x,

则x的取值范围是

-

<x<0

.解析

根据题意,得1<1-2x<2,解得-

<x<0,则x的取值范围是-

<x<0.

方法技巧(1)求一个数的倒数时,先确定符号,然后根据定义进行乘法运算,看结果是不是1;

(2)求一个数的相反数时,只需改变原数的符号,0的相反数是0;(3)求一个数的绝

对值时,必须遵循“先判断其正负,再去绝对值符号”的法则,绝对值符号里面

的数若是正数,直接去掉绝对值符号,若是负数,则变成它的相反数.考点二

平方根、算术平方根及立方根中考解题指导涉及平方根、算术平方根及立方根的考查方式一般有两种:一

是算术平方根的估算,二是平方根,算术平方根及立方根的运算.例5

(2019济南)估计20的算术平方根的大小在

()A.2与3之间

B.3与4之间C.4与5之间

D.5与6之间C解析应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断出所求

的无理数的范围.∵16<20<25,∴

<

<

.∴4<

<5.故选C.变式5-1(2019连云港)64的立方根是

4

.解析根据立方根的定义求解,64的立方根是4.变式5-2

(2019滨州)若8xmy与6x3yn的和是单项式,则(m+n)3的平方根为

(

)A.4

B.8C.±4

D.±8D解析由8xmy与6x3yn的和是单项式,得m=3,n=1.(m+n)3=(3+1)3=64,64的平方根为

±8.故选D.考点三

实数的大小比较中考解题指导实数的大小比较要灵活选用方法,要重视数轴比较法、性质比

较法、作差比较法,也要掌握作商法、平方法、倒数法等.例6

(2019泰安)在实数|-3.14|,-3,-

,π中,最小的数是

()A.-

B.-3C.|-3.14|

D.π解析

∵|-

|=

<|-3|=3,∴-

>-3.C、D项为正数,A、B项为负数,正数大于负数.故选B.B变式6-1

(2017泰安)下列四个数:-3,-

,-π,-1,其中最大的数是

()A.-πB.-3C.-1

D.-

C解析-π<-3<-

<-1.故选C.变式6-2估计

与0.5的大小关系是

>

0.5.(填“>”“<”或“=”)解析

采用作差法求解,

-0.5=

.因为

-2>0,所以

>0.5.变式6-3如图,四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若n+q=0,则

m,n,p,q四个实数中,绝对值最大的一个是

()

A.p

B.qC.m

D.nA解析∵n+q=0,∴n和q互为相反数,原点在线段NQ的中点处,∴绝对值最大的

是点P表示的数p.故选A.方法技巧(1)比较有理数的大小时,可运用正负性进行比较或借助数轴进行比较;(2)若一

组数中含有带根号的无理数,一般可采用平方法进行比较;(3)若一组数中含有π,

一般采用取近似值法进行比较.考点四

科学记数法中考解题指导涉及科学记数法的题有两类:一是将一个数用科学记数法表示;

二是将用科学记数法表示的数还原.例7

(2019泰安)2018年12月8日,我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四

号”探测器,“嫦娥四号”进入近地点约200千米、远地点约42万千米的地月

转移轨道,将数据42万千米用科学记数法表示为

()A.4.2×109米

B.4.2×108米C.42×107米

D.4.2×107米B解析科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的

值时,要看把原数变成