高等数学课件完整版

1精选课件一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集2精选课件数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.3精选课件2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,4精选课件称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.5精选课件3.邻域:6精选课件4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.7精选课件5.绝对值:运算性质:绝对值不等式:8精选课件因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二、函数概念9精选课件自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.10精选课件定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．11精选课件(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo12精选课件(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线13精选课件有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数14精选课件(4)取最值函数yxoyxo15精选课件在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.16精选课件例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压17精选课件18精选课件例2解故19精选课件三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:20精选课件2．函数的单调性:xyo21精选课件xyo22精选课件3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x23精选课件奇函数yxox-x24精选课件4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.25精选课件

直接函数与反函数的图形关于直线对称.四、反函数26精选课件五、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数27精选课件思考题28精选课件思考题解答设则故29精选课件练习题30精选课件31精选课件练习题答案32精选课件33精选课件一、基本初等函数1.幂函数34精选课件2.指数函数35精选课件3.对数函数36精选课件4.三角函数正弦函数37精选课件余弦函数38精选课件正切函数39精选课件余切函数40精选课件正割函数41精选课件余割函数42精选课件5.反三角函数43精选课件44精选课件45精选课件幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.46精选课件二、复合函数初等函数1.复合函数定义:47精选课件注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.48精选课件例1解49精选课件综上所述50精选课件三、双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.1.双曲函数51精选课件奇函数,有界函数,52精选课件双曲函数常用公式53精选课件2.反双曲函数奇函数,54精选课件55精选课件奇函数,56精选课件四、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)57精选课件思考题58精选课件思考题解答不能．59精选课件一、填空题:练习题60精选课件61精选课件练习题答案62精选课件63精选课件64精选课件“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入65精选课件正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积66精选课件2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”67精选课件二、数列的定义例如68精选课件注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数69精选课件播放三、数列的极限70精选课件问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:71精选课件72精选课件如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：73精选课件几何解释:其中74精选课件数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：75精选课件例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.76精选课件例3证77精选课件例4证78精选课件四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界79精选课件定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.80精选课件2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.81精选课件例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.82精选课件3.(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a83精选课件五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性.84精选课件思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立85精选课件思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值86精选课件从而时，仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为87精选课件练习题88精选课件“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入89精选课件三、数列的极限90精选课件三、数列的极限91精选课件三、数列的极限92精选课件三、数列的极限93精选课件三、数列的极限94精选课件三、数列的极限95精选课件三、数列的极限96精选课件三、数列的极限97精选课件三、数列的极限98精选课件三、数列的极限99精选课件三、数列的极限100精选课件三、数列的极限101精选课件三、数列的极限102精选课件103精选课件播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限104精选课件通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.105精选课件106精选课件2.另两种情形:107精选课件3.几何解释:108精选课件例1证109精选课件二、自变量趋向有限值时函数的极限110精选课件111精选课件2.几何解释:注意：112精选课件例2证例3证113精选课件例4证函数在点x=1处没有定义.114精选课件例5证115精选课件3.单侧极限:例如,116精选课件左极限右极限117精选课件左右极限存在但不相等,例6证118精选课件三、函数极限的性质1.有界性2.唯一性119精选课件推论3.不等式性质定理(保序性)120精选课件定理(保号性)推论121精选课件4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理122精选课件证123精选课件例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.124精选课件例7证125精选课件二者不相等,126精选课件四、小结函数极限的统一定义(见下表)127精选课件过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后128精选课件思考题129精选课件思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.130精选课件一、填空题:练习题131精选课件132精选课件练习题答案133精选课件一、自变量趋向无穷大时函数的极限134精选课件一、自变量趋向无穷大时函数的极限135精选课件一、自变量趋向无穷大时函数的极限136精选课件一、自变量趋向无穷大时函数的极限137精选课件一、自变量趋向无穷大时函数的极限138精选课件一、自变量趋向无穷大时函数的极限139精选课件一、自变量趋向无穷大时函数的极限140精选课件一、自变量趋向无穷大时函数的极限141精选课件一、自变量趋向无穷大时函数的极限142精选课件143精选课件一、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小.144精选课件例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.145精选课件2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性146精选课件意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证147精选课件注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.148精选课件定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证149精选课件推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小150精选课件二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.151精选课件特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.152精选课件不是无穷大．无界，153精选课件证154精选课件三、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证155精选课件意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.156精选课件四、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.157精选课件思考题158精选课件思考题解答不能保证.例有159精选课件一、填空题:练习题160精选课件161精选课件练习题答案162精选课件163精选课件一、极限运算法则定理证由无穷小运算法则,得164精选课件165精选课件推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，166精选课件二、求极限方法举例例1解167精选课件小结:168精选课件解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2169精选课件解例3(消去零因子法)170精选课件例4解(无穷小因子分出法)171精选课件小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.172精选课件例5解先变形再求极限.173精选课件例6解174精选课件例7解左右极限存在且相等,175精选课件三、小结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.176精选课件思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？177精选课件思考题解答没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．178精选课件一、填空题:练习题179精选课件二、求下列各极限:180精选课件181精选课件练习题答案182精选课件183精选课件一、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限184精选课件定义:185精选课件例1解例2解186精选课件常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,187精选课件二、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证188精选课件例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意189精选课件例4解解错190精选课件例5解191精选课件三、小结1.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.192精选课件思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？193精选课件思考题解答不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时194精选课件练习题195精选课件196精选课件197精选课件练习题答案198精选课件199精选课件200精选课件一、函数的连续性1.函数的增量201精选课件2.连续的定义202精选课件203精选课件例1证由定义2知204精选课件3.单侧连续定理205精选课件例2解右连续但不左连续,206精选课件4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,207精选课件例3证208精选课件二、函数的间断点209精选课件1.跳跃间断点例4解210精选课件2.可去间断点例5211精选课件解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.212精选课件如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点213精选课件3.第二类间断点例6解214精选课件例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.215精选课件狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★216精选课件在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:217精选课件例8解218精选课件三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)219精选课件可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx220精选课件思考题221精选课件思考题解答且222精选课件但反之不成立.例但223精选课件练习题224精选课件225精选课件练习题答案226精选课件227精选课件228精选课件一、四则运算的连续性定理1例如,229精选课件二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.230精选课件定理3证231精选课件将上两步合起来:232精选课件意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解233精选课件例2解同理可得234精选课件定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,235精选课件三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★236精选课件定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.237精选课件1.初等函数仅在其