高中数学：几何概型练习

高中数学：几何概型练习1.1.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中任取一点M,则满足ZAMB>90°的概率为AA24nBPnn解析：在棱长为2的正方体ABCD-A^.C.D,中任取一点

必满足ZA画>90。的区域的面积是半径为1的球的卜体积为+x-yx7Tx13=专…；所求概率为£=扌「故选扎2.(河南安阳模拟)在区间［—1,1］上任选两个数x和y,则x2+y2±l的概率为(A)aR———('i—2L门丄_2L34匕2g§1A24解析：在区间［—1,1］上任选两个数x和y,则；:：：1'如图，该不等式组表示的平面区1一1WyWl,域是边长为2的正方形区域,x2+y2±1(—1WxW1,—1WyW1)表示的平面区域是图中阴影区域,.••由几何概型概率计算公式得x2+y域,.••由几何概型概率计算公式得x2+y2±1的概率P=正方形面积一圆面积

正方形面积22-W122n4.故选A.3•设复数z=(x—1)+yi(x,yWR)，若lzlW1,则y三x的概率为(B)11C.2—n11B.11C.2—n11B.4—2nD.1+12n解析：•・・|zlWl,・・・(x—l)2+y2Wl,表示以M(l,o)为圆心,1为半径的圆及其内部，该圆的面积为n.易知直线y=x与圆(x—1)2+y2=1相交于O(0,0)A(1,1)两点，作图如下:VZOMA=90°,n1n1・S阴影=4—2X1X1=4—2.n1s4—2故所求的概率p=s阴影=42兀.S©M4•设O为坐标原点，点P(x—2,x—y),在［0,3］上先后取两个数分别记为x,y,则点P在第一象限的概率为(A)5241A-18B-9C-9D.3解析：设事件A为“点P在第一象限”，］0：x：3所表示的区域面积为3X3=9.由题l0WyW30WxW3,<意可得事件<意可得事件A满足0WyW3,x2>0,xy>0,5一1525即如图所示的阴影部分,其区域面积为1X3—2X1X1=2，・・・p(a)=9=18.5.(武昌质检)如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,—1),B(n,—1),C(n,1),D(0,1),正弦曲线fx)=sinx和余弦曲线g(x)=cosx在矩形ABCD内交于点F,向矩形ABCD区域内随

机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是(B)1D•石机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是(B)1D•石A.丄2b.学II厂0E：A］Kcos工一sin工)域的面积为_72_=1+#,又矩形ABCDcos工一sin工)域的面积为_72_=1+#,又矩形ABCD的面积为由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是守夕Ztt故选B.6.在区间［0,1］上任取两个数,则这两个数之和小于6的概率是(C)12161718A-25B-25C-25D-25解析：设这两个数分别是x,y,则总的基本事件构成的区域是:0：；1，确定的平面区域,l0WyW10WxW1,所求事件包含的基本事件构成的区域是|0<所求事件包含的基本事件构成的区域是|0<y<1，确定的平面区域，如图所示(阴影部分),丄6lx十y<5阴影部分的面积是1|xf5V2|,所以这两个数之和小于6的概率是7.在区间［0,1］上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y^F的概率,p2为事件“lx—ylW*”的概率,p3为事件“xyW*"的概率，则(B)A．p1<p2<p3B．p2<p3<p1C．p3<p1<p2D．p3<p2<p1解析：因为入所以事件表示的平面区域如图〔1)阴影部分事件表示的平面区域如图阴影部分S存事件表示的平面区域如图(3》阴影部分S,由图知，阴影部分的面积满足S3<S3正方形的面积为1X1=1,根据几何概型公式可得化<P3<P\^(1)⑵8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是(A)

B兀XnX2解析:设分别以OA,OB为直径的两个半圆交于点C,OA的中点为D,如图，连接B兀XnX2解析:设分别以OA,OB为直径的两个半圆交于点C,OA的中点为D,如图，连接（X：，oaODA不妨令0A=0B=2,则==在以（M为直径的半圆中，空白部分面积+*><1XI-i；y-yXlX1)=1,所以整体图形中空白部分面积又因为s扇形3左所以阴影部分面积为S3=tt-2.所以p=^=l--K兀9．如图,在半径为a的圆内有一片湖水,向圆内随机投入n个点,则有m个点落入湖水中（n>m），据此估计湖水的面积为Nnn解析：问题可转化为几何概型求解，设湖水的面积为S,则由几何概型的概率可得二=\所以TO“n10.（湖北七市（州）协作体联考）平面区域£=｛（x，Y）lx2+y2v4,x,yeR｝厶=｛（x,y）llxl+

lylW3,x,y$R}.在A2内随机取一点，则该点不在A1内的概率为12n概率为18—4n=]2n~9.11．(厦门模拟)如图，2n概率为18—4n=]2n~9.11．(厦门模拟)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落2到阴影部分的概率为右7+7+[曲阴影0S正方形阴影0S正方形=e2,解析：因为y=ex与y=lnx互为反函数,故直线y=x两侧的阴影部分面积相等，所以SS2故P=故P=正方形Se2-

12.(河南信阳检测)若me(0,3),则直线(m+2)x+(3—m)y—3=0与x轴、y轴围成的三角正方形92形的面积小于8的概率为亍解析；对丁「直线方程(2^+2)j?+(3—m)jy—3=0?令工=0,得令工=0,得y=3令严。'得令严。'得由题意可得因为因为^e(o,3),所以解得oorc乳由几何概型计算公式可得歩所求事件的概率p=〔能力提升13.〔能力提升13.某个四面体的三视图如图所示,若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为(C)解析：由二视图可瓦该立体图形为二棱锥•其底面是一个直角边长为3施的等腰直角三角形，髙为4所以该三棱锥的体积为1Z又外接球的直径2r为以二棱锥的二个两两垂直的棱为长方体的对角线，即2r=丿护十（3芒乎十估施乎=2/13,所以球的体积为汇学.所以点落在四面体内的概率为一352THtt14．（湖北黄冈、黄石等八市联考）若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布,则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是（D）2127因为连续A.©B.3C.3D.9因为连续解析:设第一天工作的时间为x小时,第二天工作的时间为y小时，则l6WyW9,x+y[6WxW9,两天平均工作时间不少于7小时，所以一y2苗,即x+y±14,J”表示的区域面积为9,2l6WyW9其中满足x+y±14的区域面积为9-yX2X2=7,A张三连续两天平均工作时间不少于7小时7的概率是9,故选D.15.（2019-东北三校联考）记集合丨工$‘（工十yWB=<（^,7）<j^Ot（构成的平面区域分别为I0上。丿现随机向A1中掷…粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落人N中的概率为言.解析：因为集合A={<^^）i^2+yc「（:r+yW11}』=v（d）>构成的平I1丿$0.面区域M,N分别为如图所示的圆及其内部与直角三角形及其内部，它们的面积分别为心苏随机向M中掷一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入21N中的概率P=—=^tnZn16•设«e[ia]^e[b4]t则随机地抽岀一对有序实数对,6），使得函数/（x）=4x2+a2与函数g（x）=—44bx的图象有交点的概率为吕