高三高考平面向量题型总结,经典

一、平面向量的基本概念：向量：既有大小又有方向的量叫做.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。TOC\o"1-5"\h\z向量可以用来表示.向量的符号表示.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或），记作.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作.单位向量：.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作规定：.注意：理解好共线（平行）向量。相等向量：.例：下列说法正确的是有向线段就是向量，向量就是有向线段；a=b,b=c,则a=c:③a//b,b//c,a//c④若AB④若AB=CD,则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；⑤所有的单位向量都相等；二、向量的线性运算：（一）向量的加法：向量的加法的运算法则：、和.（1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系；“首是首，尾是尾，首尾相连”例1.已知AB=8,AC=5，则BC的取值范围例2.化简下列向量⑴NQ+MN+QP+PM(2)(BP+BC)+(CQ+AB)+(PM+MB)（2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则；b是以b为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：例1.（09山东）设P是三角形ABC所在平面内一点，BC+BA=2BP，则PA+PB二0PA+PC二0PC+PB二0PA+PB+PC二0例2.(13四川)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,AB+AD二九AO，贝V.九=（3）多边形法则向量的加法运算律：交换律与结合律（二）向量的减法：减法是加法的逆运算，A.BA二OA-OB二PA-PB（终点向量减始点向量）

在平行四边形中，已知以a、b为邻边的平行四边形中，S+b,a-b分别为平行四边形的两条对角线，当la+b4卜bl时，此时平行四边形是矩形。，且a+b，且a+b=a~b，则a+b=a~b例2•设点M是BC的中点，点A在线段BC外，BC=16,AB+AC二AB-AC，则IAM向量的加减运算：例1.（08辽宁）已知O、A、B是平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足CB+2AC=0,则OC=2112OAOB.—OA+2OBC.OA——OBD.—-OA+—OBTOC\o"1-5"\h\z3333例2.（15课标全国I）设D是三角形ABC所在平面内一点，BC=3CD，则1・4・■1■4・AD=--AB+—ACAD=—AB——ACA.33B.33.4・1■■AD=—AB+-ACAD=33.例3.（12全国）在AABC中，AB边上的高为CD,CB二a,CA二b,a・b=0,|a|二l,|b|二2，则AU例4.（10全国）在AABC中，点D在边AB上,CD平分ZACB，若CB=a,C7A=b,|a|二l,|b|二2，则C!>例5.在AABC中，设D为边BC的中点，E为边AD的中点，若BE二mAB+nAC,则m+n=___例6.（15北京理）在AABC中，点M，N满足AM=2MC,BN=NC，若MN=xAB+yAC，贝yx=y=12例7.（13江苏）设D、E分别是AABC的边AB、BC上的点，若AD=-AB,BE=-BC，23若曲二九AB+九AC（九，九为实数），则九+九=121212例8.（12东北四市一摸）在AABC中，设P为边BC的中点，内角A,B,C的对边a,b,c，若cAC+aPI+bPB=0，则AABC的形状为（三）实数与向量的积：aa1•定义：实数九与非零向量a的乘积九a是一个向量，它的长度是•它的方向是.当九二0时，数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。3•运算律：设£、b是任意向量，九,卩是实数，则实数与向量的积适合以下运算：向量共线的判断：（平行向量的基本定理）如果a=xb，则a//b；若a〃b，b丰o，则存在唯一的实数九，使得a=川.若£、b是两个不共线的非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数TOC\o"1-5"\h\z九,卩，使.九卩zb1~~若a=九e+卩e,b=九e+卩e，e,e2不共线，aIIb，则在有意义的前提下，\卩2111221221222例1.（15课标全国II）设向量若S,、b是两个不平行的向量，向量九S+b与S+2b平行，则九=rrrrrrr例2.（09湖南）对于非零向量a,b,“a+b=0”是“aIIb”的___A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件例3.（12四川）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使丄=b成立的充分条件是|a||b|A.a=—bB.a〃bC.a=2bD.a〃b且|a|=|b|单位向量aaa给定一个向量£,与b同方向且长度为1的向量叫做b的单位向量，即重要结论：已知AABC，O为定点，P为平面内任意一点.®PrA+PTB+PC=0oo.若OP二1OA+OB+OC，则P为AABC3若OP=OA+九（AB+AC），Xg（0,+Q，则P点的轨迹.若OP=OA+九,九g（0,+Q，则P点的轨迹通过AABC的内心若,则P点的轨迹是AABC的外心若,则P点的轨迹是AABC的垂心例1.（10湖北）在AABC中，点M满足MA+MB+MC=0，若存在实数m，使得AB+AC二mAM则例2例2.在AABC中，重心为G,若2sinAGA+J3sinBGB+3sinCGC=0,则cosB=aGA+bGB+€GC=0例3.在AABC中，重心为G,若3，则A二三、平面向量的基本定理(一)平面向量基本定理内容：如果e、e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量s，有且只有12一对实数九，九，使，其中e、e是一组基底，记作叫做向量a关于基底1212的分解式。平面向量基本定理是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础。注意：只要是不共线的两个向量都可以作为基底，因为零向量与任一向量都平行，所以零向量一定不能作为基底；基底不唯一；任一向量可以由一组基底来表示，但表示方法是唯一的。例1.(14福建)在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是**一—A.ei=(0,0),e2=(1,2)B.e】=(—1,2),e2=(5,-2)-+-fc-ff,ei=(3,5),e2=(6,10).ei=(2,-3),e2=(-2,3)例2.(09安徽)在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，BC的中点，若AC二九AE+^AF，贝y九+P=(二)平面向量基本定理与向量共线条件的综合应用设A,B是直线l上两点，O是直线外一点，对于直线上任意一点P，存在teR，使成立.反之，满足上式的点P在直线/上.TOC\o"1-5"\h\z特别地，当P为A,B的中点时，则.例1.已知O、A、B是平面内的三个点，线段BA的延长线上有一点C，满足3AC+CB=0则OC=3113OAOB.—2OA+3OBC.—OA—OBD.—OA+OB2222例2.数列L｝是等差数列，其前n项和为S，若平面上的三个不共线的向量OA、OB、OC满nn足OB=aOA+aOC且A,B,C三点共线，则S二120062006例3.已知向量F,j不共线，且AB二F+mj，AD=ni+j，若A,B,D三点共线，则实数m,n应满足的条件

m+n二1m+n=—1mn二1mn=—1例4.(07江西)如图，在AABC中，设O为边BC的中点,过点O的直线交直线AB、AC于不同两点M,N•若AB二mAl,AC二nAN,则m+n=mn的最大值为例5.在AABC中，设M为边BC的任意点，N为AM中点，AN二九AB+卩AC贝V九+卩=.例6.在AABC中，设M为边BC的中点，N为AM中点，Al=九AB+卩Al,则九+卩=.例7.如图，在AABC中，设D为边BC的中点，G为AD中点，过G任作一条直线MN分别11交AB、AC于M,N两点，若AM=xAl，Al=yAC,试问—+—是否为定值?xy标运算:向O四、平面向量的正交分解与向量的直标运算:向O(一)向量的正交分解与向量的直角坐标，那么这两个向量互相垂直；垂直，则称这个基底，那么这两个向量互相垂直；垂直，则称这个基底为正交基底，在正交C向量的正交分解：如果基底的底下分解向量，叫做正交分解BD3•在平面直角坐标系下，分别」取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内任一向量有且只有一对实数x,y,使得S=xe+ye'.有序数对(x,y)叫做g的坐标，记12作8=(x,y)注意：(1)每一个向量都可以用一对有序实数对来表示，向量有代数法和几何法两种表示。(2)符号(x,y)有了双重的意义，既可以表示固定的点，又可以表示向量；平面向量的坐标只与始点和终点坐标有关，只有点始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等。(二)向量的坐标运算1.若^=(x,y),b=(x,y)，贝US±b=.1122若A=(x,y),B=(x,y)，则AB二|AB|=1122若g=(x,y),XgR，贝U九S=若S=(x,y),b=(x,y),S//b,则有•1122三角形ABC的重心坐标公式为五、平面向量的数量积：平面向量数量积的定义①向量g,b的夹角已知两个非零向量g,b,过点O作OA=S,OB=b,则ZAOB=9()，叫作向量gb的夹角.当时，a与b垂直，记作.当时，a与b平行或共线•注意：理解什么是两向量的夹角？以及两向量夹角的范围。向量&b的数量积已知两个非零向量£与b，它们的夹角为e,则把叫做向量b，b的数量积(内积)，记作.规定o•£=0向量数量积的几何意义向量数量积的性质设ab是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，e是a与e的夹角，贝廿e•a=a•e=•cosea丄bo当a,b同向时，a•b=.当a,b反向时，a•b=特别地，a•a=cose=〔a•ia•\b向量的数量积的运算律：注意：向量的数量积无律，无律.数量积的坐标运算若a=(x,y),b=(x,y)，贝Va•b=1122若a=(x,y)，贝ya•a=a2=ia2=ia=若a=(x,y),b=(x,y)，则a//b的充要条件为1122a=(x,y),b=(x,y)，则a丄b的充要条件为1122求角问题：若非零向量a=(x,y),b=(x,y)，e是&b的夹角，贝V1122注意：向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也有两种方式即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法.典型例题(一)向量数量积的几何运算，注意两个向量的夹角，利用平面向量的基本定理选好基底例i.对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是la-b匕iabla-b-la-A《+以=la+b2©+b）h-»=乩-几例2.已知向量a,b,c，满足\S\=1,b=2，c=a+b，且＜?丄a，则向量a与b的夹角为例3.（11江西）已知\C=b=2,（C+2b）•（g-b）=-2，则a,b的夹角为例4.（13全国）已知两个单位向量a，b的夹角为60o，C=ta+（1-1）b，若b•C=0则t=—例5.（13江西）设a、a为单位向量，a与a的夹角为,，若a=a+3a,b=2a，则向量12123121f在b方向的射影为例6.已知向量a,b,c，满足a+b+c=0，（a_b）丄a,a±b，若曲=i,则a2+怦+ia2=AO=—（AB+AC），-例7.（14课标全国）已知A，B，C为圆O上的三点，若2，则ab与AC的夹角为例8.（10湖南）在直角三角形abc中，ZC=90o,AC=4,则AB•AC二"*I^1例9.（15湖北）已知向量OA丄AB,|OA|=3，则OA-OB=uuuruuur例10.如图，在平行四边形ABCD中，AP丄BD，垂足为P,且AP=3，则AP-AC=例11.在三角形ABC中，ZA=60o,AB=2,AC=1，E,F为边BC的三等分点,则AB•AB=例12.（12天津）已知三角形ABC为等边三角形，AB=2，点P,Q满足AP=九AB，3AQ=（1-九）AB，九wR，若BQ•CB=-—,则X=2例13.（13山东）已知向量AB与AB夹角120o，AB=3,AC=2，AP=XAB+AB，且AB•BB=0则实数X的值例14.（13天津）在平行四边形ABCD中，AD=1,ABAD=60。，e为边CD的中点，若Al^•BE=1，则AB的长为例15.已知a,b夹角为一,|fi=J3,b=2，在三角形ABC中，AB=2再+2”,6AC=2&-6”,D为边BC的中点，则\AD\=例与BE分别是AABC的中线，若AD=BE=1,AD与BE的夹角为120。，则AB•AC=例17.(15四川)设四边形ABCD为平行四边形，AB=6,AD=4，若M，N满足BM=3mC,dn=2NC，则AM-NM=例18.(12浙江)在三角形ABC中，点M为BC的中点，AM=3,BC=10,则AB•AC=例19.(09陕西)设M为AABC边BC的中点，AM=1，点P在AM上，满足AP=2P1,则皿(卩卞+PCC)=例20.设O是三角形ABC的外心，OD丄BC,AB=翻,AC=1，则AB•(AB-AC)=___例21.在三角形OAB中，已知OA=4,OB=2，点P是AB的垂直平分线l上任一点，则ABB•OBP=例22.已知O是三角形ABC的外心，若AB=3,AC=5，则AD•BB=例23.若三角形ABC内接于O以为圆心，1为半径的圆，3OB+4OB+5OC=O，则OC•AB=___例24.已知非零向量a,b,|£|=郦,于(x)=3x3+痕+2乩bx+1在R上有极值，则<&b>的取值范围为___例25.(10全国)已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线，A,B为切点，则PCA•PC的最小值为___典型例题(二)：对于有明显的直角关系的向量问题建立平面直角坐标系(与线性规划问题联系),向量的几何法与代数法的转化例1.(13湖北)已知点A(—1,1),B(1,2)C(—2,—1),D(3,4),则向量AB在CB方向上的投影为bbbb例2.(12重庆)设x,ygR,向量S=(x,1),b=(1,y),C=(2,-4),£丄b,b//C,贝U|b+b|=/\、‘;3x-y<0例3.已知点a\,J3丿，O是坐标原点，点P(x,y)的坐标满足<x-石y+2>0，设z为CCffiOPy>0上的投影，则z的取值范围点，点，N是边bc的中点，则AN•AM的最大值为例4.（13福建）在四边形ABCD中，AC=（1,2）,BD二（-4,2），则四边形的面积为例5.（09湖南）如图，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若AD=xAB+yAC,则x=,y=2例6.已知|0A|=1，OB=K,ZAOB=3兀，点c在ZAOB内，OC•OA=0,若OC二2mOA+mOB，OC=2j3，则K=—12例7.（09天津）若等边三角形的边长为2^3，平面上一点M，满足CM二—CB+-CA,63则MA•MB二.例8.（11天津）已知直角梯形ABCD中，AD//BC,ZADC=90。,AD=2,BC=1，P是腰DC上的动点，贝川PA+3PBI的最小值为例9.（12江苏）如图，在矩形ABCD中，AB=迈,BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB•AF=J2,，则AE•BF=例10•在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P是线段CD的中点，则lPAlPAl2+PB2|PC|例11.（13全国）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE•BF=例12.（13重庆）在平面上，AB例12.（13重庆）在平面上，AB丄AB,OB=OB11=1，AP=AB1+AB2，若0P<-，则OA的取值范围是例13.（12北京）已知正方形ABCD的边长为1，点E为AB边上的动点，贝则用•例13.（12北京）已知正方形ABCDDE•DF的最大值为例14.平面上三个向量OF、OB、OC,满足|OA|=1,OB=€3,|OC|=1,OA•OB=0则CF•CF的最大值为例15.已知三角形ABC中，ZC=60。,AC=2,BC=1，点M是AABC内部或边界上一动例16.（15福建）已知■'■AB例16.（15福建）已知■'■AB丄AC,AB1t,若点P是三角形ABC所在平面内一点,AP=AB4AC且lABIlACI,则PB•PC的最大值为例17.（09全国）设是a,b,c单位向量，a•b=0,则（a--c）・（b--c）的最小值为例18.（13湖南）已知a,b是单位向量，a•b=0,若向量c满足|c--a--b|=1贝>j|c|的取值范围例19.（11辽宁）若a,b,c单位向量，a•b=0,（a--c）・（b--c）<0，则|a+b--c|的最大值为例20.（11全国）设向量a，b'c'满足|a|=|b|=1，a•b=-2'<a-C，b-C>=60°'则心的最大值为例21.（14安徽）在平面直OQ了2（a+b）,曲线C例21.（14安徽）在平面直OQ了2（a+b）,曲线C=p0二P0<r<PQ<R,r<R，若CI0为两段分离的曲线，则OP=acos0+