历届二次函数中考题集锦

历届二次函数中考题集锦历届中考二次函数试题精选1.已知二次函数$y=2(x-3)+1$。下列说法正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线$x=-3$；③其图象顶点坐标为$(3,-1)$；④当$x<3$时，$y$随$x$的增大而减小。正确的有4个，选D。2.设$A(-2,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(2,y_3)$是抛物线$y=-x-1+a$上的三点，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系为（）A.$y_1>y_2>y_3$B.$y_1>y_3>y_2$C.$y_3>y_2>y_1$D.$y_3>y_1>y_2$解析：将$x=-1$代入$y=-x-1+a$得$y=a$，所以$A(-2,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(2,y_3)$的纵坐标分别为$a-1$，$-1+a$，$2+a$，所以$y_1>y_3>y_2$，选D。3.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，它与$x$轴的两个交点分别为（$-1,0$），（$3,0$）。对于下列命题：①$b-2a=0$；②$abc<0$；③$a-2b+4c<0$；④$8a+c>0$。其中正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个解析：由$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的两个交点分别为（$-1,0$），（$3,0$）可列方程$\begin{cases}a-b+c=0\\9a+3b+c=0\end{cases}$，解得$a=-\frac{1}{4}b$，$c=\frac{5}{4}b$。将$a=-\frac{1}{4}b$，$c=\frac{5}{4}b$代入①②③④中，只有③正确，选C。4.已知函数$y=(k-3)x^2+2x+1$的图象与$x$轴有交点，则$k$的取值范围是（）A.$k<4$B.$k\leq4$C.$k<4$且$k\neq3$D.$k\leq4$且$k\neq3$解析：当$y=(k-3)x^2+2x+1$的图象与$x$轴有交点时，$\Delta=4-4(k-3)\geq0$，解得$k\leq4$且$k\neq3$，选D。5.函数$y=x^2-2x-2$的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使$y\geq1$成立的$x$的取值范围是（）A.$-1\leqx\leq3$B.$-1<x<3$C.$x<-1$或$x>3$D.$x\leq-1$或$x\geq3$解析：将$y=x^2-2x-2$移项得$y-1=(x-1)^2-4$，所以$y\geq1$的图象为以$(1,-4)$为顶点的开口向上的抛物线。当$y\geq1$时，$(x-1)^2\geq4$，即$|x-1|\geq2$，解得$x\leq-1$或$x\geq3$，选C。6.如图为抛物线$y=ax^2+bx+c$的图像，$A$、$B$、$C$为抛物线与坐标轴的交点，且$OA=OC=1$，则下列关系中正确的是A.$a+b=-1$B.$a-b=-1$C.$b<2a$D.$ac<0$解析：由$OA=OC=1$可得$c=1$，将$c=1$代入$y=ax^2+bx+c$得$y=ax^2+bx+1$，将$x=0$代入$y=ax^2+bx+1$得$b=1$，将$x=1$代入$y=ax^2+bx+1$得$a=-2$，所以$y=-2x^2+x+1$。将$a=-2$，$b=1$，$c=1$代入$a+b=-1$，$a-b=-1$，$b<2a$，$ac<0$中，只有$a-b=-1$正确，选B。7.如图所示的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象中，刘星同学观察得出了下四条信息：（1）$b^2-4ac<0$；（2）$c>1$；（3）$2a-b<0$；（4）$a+b+c<0$。你认为其中错误的有（）A.2个B.3个C.4个D.1个解析：由$b^2-4ac<0$可得$y=ax^2+bx+c$的图象开口向上，所以$2a-b<0$不可能成立，所以其中错误的有1个，选D。2、已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与$x$轴交于点$(-2,0)$，与$y$轴正半轴交于点$(0,2)$的下方。下列结论中正确的有几个？解析：首先根据题意，可以列出方程组：$$\begin{cases}-4a-2b+c=0\\c=2\\a<0\end{cases}$$将$c=2$代入第一个方程得$-4a-2b+2=0$，即$2a+b=1$。因此，结论①和④都是正确的。又因为$a<0$，所以$b<0$，即结论②也是正确的。最后，将$c=2$和$a<0$代入第三个方程得$2a+2>0$，即$a>-1$，因此结论③是错误的。综上，正确结论的个数是$\boxed{3}$个。3、如图，$\odotO$的半径为2，$C_1$是函数$y=\sqrt{4-x^2}$的图像，则阴影部分的面积是多少？解析：首先可以求出$C_1$的对称轴为$y=0$，顶点为$(0,2)$。因为阴影部分是由$\odotO$与$C_1$所夹的扇形和三角形组成的，所以可以先求出扇形的面积再减去三角形的面积。扇形的面积为$\dfrac{1}{4}\pi(2)^2=\pi$，三角形的面积为$\dfrac{1}{2}\times2\times2=2$，因此阴影部分的面积为$\pi-2$。答案为$\boxed{\pi-2}$。4、已知实数$x,y$满足$x+3y-3=0$，则$x+y$的最大值为多少？解析：将$x+3y-3=0$改写为$y=\dfrac{3-x}{3}$，将$y$代入$x+y$得$x+\dfrac{3-x}{3}=\dfrac{8}{3}-\dfrac{2}{3}x$，因此$x+y$的值只与$x$有关。又因为$x$为实数，所以$\dfrac{8}{3}-\dfrac{2}{3}x$的最大值为$\dfrac{8}{3}$，此时$x=0$，$y=1$，因此$x+y$的最大值为$\boxed{\dfrac{8}{3}}$。5、如图，线段$AB$的长度为2，$C$为$AB$上的一个动点，分别以$AC$、$BC$为斜边在$AB$的同侧作两个等腰直角三角形$\triangleACD$和$\triangleBCE$，那么$DE$的最小值是多少？解析：由于$\triangleACD$和$\triangleBCE$是等腰直角三角形，所以$\angleCAD=\angleCBE=45^\circ$，$\angleACD=\angleBCE=90^\circ$，$\angleAED=180^\circ-\angleCAD-\angleBCE=90^\circ$。因此，$DE$是$\triangleAED$的高，$AD=BD=\sqrt{2}$，$AE=BE=2-\sqrt{2}$，所以$DE=\dfrac{AD\cdotBD}{AE+BE}=\dfrac{2}{2\sqrt{2}-2}=\boxed{2+\sqrt{2}}$。6、（1）将抛物线$y_1=2x$向右平移2个单位，得到抛物线$y_2$的图像，则$y_2=$什么？（2）如图，$P$是抛物线$y_2$对称轴上的一个动点，直线$x=t$平行于$y$轴，分别与直线$y=x$、抛物线$y_2$交于点$A$、$B$。若$\triangleABP$是以点$A$或点$B$为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的$t$的值，则$t=$什么？解析：（1）将抛物线$y_1=2x$向右平移2个单位得到的抛物线$y_2$的顶点为$(2,0)$，因此$y_2=a(x-2)^2$。由于$y_1$和$y_2$的对称轴相同，所以$a=-2$，因此$y_2=-2(x-2)^2$。（2）设$P$的坐标为$(p,q)$，则由对称性可知$A$的坐标为$(q,p)$，$B$的坐标为$(t,-2(t-2)^2)$。由于$\triangleABP$是等腰直角三角形，所以$PA=PB$，即$$\begin{aligned}&\sqrt{(p-q)^2+(q-t)^2}=\sqrt{(p+t-4)^2+[q+2(t-2)^2]^2}\\\Rightarrow\&(p-q)^2+(q-t)^2=(p+t-4)^2+[q+2(t-2)^2]^2\end{aligned}$$因为$\triangleABP$是以点$A$或点$B$为直角顶点的等腰直角三角形，所以$PA=PB=2\sqrt{2}$，即$$(p-q)^2+(q-t)^2=(p+t-4)^2+[q+2(t-2)^2]^2=8$$将第一个等式代入第二个等式得$(p+t-4)^2+[q+2(t-2)^2]^2=8+(p-q)^2+(q-t)^2=16$，因此$(p+t-4)^2+[q+2(t-2)^2]^2=16$。由于直线$x=t$平行于$y$轴，所以$A$、$B$的横坐标相同，即$q-t=-2(t-2)^2$。将$q-t=-2(t-2)^2$代入$(p-q)^2+(q-t)^2=8$中得$(p-q)^2+4(t-2)^4=8$。将$(p-q)^2+4(t-2)^4=8$代入$(p+t-4)^2+[q+2(t-2)^2]^2=16$中得$(p+t-4)^2+16(t-2)^4=16$。因此，方程组$$\begin{cases}(p-q)^2+4(t-2)^4=8\\(p+t-4)^2+16(t-2)^4=16\end{cases}$$化简为$$\begin{cases}(p-q)^2+(t-2)^4=2\\(p+t-4)^2+4(t-2)^4=4\end{cases}$$将第一个等式代入第二个等式得$(p+t-4)^2+2(p-q)^2=8$。因此，$t$的取值范围为$2\leqt\leq4$。当$t=2$时，$p=0$，当$t=4$时，$p=4$。因此，满足条件的$t$的值为$\boxed{2\text{或}4}$。7、如图所示，抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$与$x$轴的两个交点分别为$A(-1,0)$和$B(2,0)$。当$y<0$时，$x$的取值范围是什么？解析：首先可以求出抛物线的对称轴为$x=\dfrac{-b}{2a}$，因为$A$和$B$在$x$轴上，所以$\dfrac{-b}{2a}=-\dfrac{1}{2}$，即$b=a$。因此，抛物线的方程为$y=ax^2+ax+c$。当$y<0$时，$ax^2+ax+c<0$，即$x^2+x+\dfrac{c}{a}<0$。由于$x^2+x$在$x=-\dfrac{1}{2}$处取得最小值，所以当$x\in\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{-1}{2},\infty\right)$时，$x^2+x+\dfrac{c}{a}<0$。又因为$x^2+x+\dfrac{c}{a}=0$的两个根为$-1$和$\dfrac{-c}{a}$，所以$x\in\boxed{\left(-\infty,-1\right)\cup\left(\dfrac{-c}{a},\infty\right)}$。1.已知抛物线经过三点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)，且对称轴为直线l。求抛物线的函数关系式，点P的坐标使得△PAC的周长最小时的坐标，以及是否存在点M使得△MAC为等腰三角形，若存在则写出所有符合条件的点M的坐标。2.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(m,m)，点B的坐标为(n,-n)，抛物线经过A、O、B三点，其中O为坐标原点，线段AB交y轴于点C。已知实数m、n（m＜n）分别是方程x^2-2x-3=0的两根。(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD。①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD的面积的最大值，并写出此时点D的坐标。3.已知直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线经过A、B、C(1,c)三点。(1)求抛物线的解析式；(2)若点D的坐标为(-1,d)，在直线y=-x+3上有一点P，使得△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；(3)在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使得△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由。4.已知抛物线经过点(1,-5)和(-2,4)。(1)求这条抛物线的解析式；(2)设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线x=m（m<5）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；(3)在条件(2)的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。5.已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，另一点E(4,0)在x轴上，且AD=2，AB=3。抛物线y=x+bx+c经过坐标原点O和x轴上的点E。求抛物线的解析式。题目11：一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，已知滑下的距离S（米）与时间t（秒）间的关系式为S=10t+t^2，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为多少米？解析：已知S=10t+t^2，且t=2秒，则S=10*2+2^2=24米，所以此人下滑的高度为24米。题目12：我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，根据历年市场销售行情，发现从每年3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y（元）与上市时间t（天）的关系可以近似地用如下图（1）中的一条折线表示。绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z（元）与上市时间t（天）的关系可以近似地用如下图（2）的抛物线表示。（1）写出图（1）中表示的市场销售单价y（元）与上市时间t（天）（t>0）的函数关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z（元）与上市时间t（天）（t>0）的函数关系式；（3）如果市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，那么何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克。）解析：（1）根据题意，可以得到以下函数关系式：y=2t-3t^2+160(0<t<120)y=80(120≤t<150)y=2t+20(150≤t≤180)（2）根据题意，可以得到以下函数关系式：z=a(t-110)^2+20(t>0)已知z过点(60,85)，代入可得：85=a(60-110)^2+20解得a=1/300，代入可得：z=(t-110)^2/300+20(t>0)（3）纯收益单价W=销售单价-成本单价，代入（1）和（2）中的函数关系式，化简可得：W=1/300*t^2-2t+160(0<t<120)W=-(t-110)^2/300+60(120≤t<150)W=2t-2/3*(t-110)^2-20(150≤t≤180)求导可得：W'=2/150*t-2(0<t<120)W'=-2/150*(t-110)(120≤t<150)W'=2-4/3*(t-110)(150≤t≤180)令W'=0，解得t=75，t=110，t=165可得当t=75或t=165时，绿茶纯收益单价最大。将C点的坐标代入抛物线方程得：$-\frac{1}{12}(13-k)+2=\frac{1}{2}$，解得$k_1=13-26<13$，舍去；$k_2=6+4\sqrt{3}+2\sqrt{6}\approx18$。令$y=\frac{1}{12}(x-18)^2+2$，则$x=18\pm\sqrt{26}\approx18\pm5$，舍去$x=18-\sqrt{26}$，因此$BD=23-6=17$米。另外，由解法二可知$k=18$，所以$CD=2(18-13)=10$，$BD=(13-6)+10=17$。因此，他应再向前跑17米。解法三：由解法二可知$k=18$，所以$CD=2(18-13)=10$，$BD=(13-6)+10=17$。因此，他应再向前跑17米。第14题：荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜。通过调查得知：平均修建每公顷大棚需要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备的费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需要种子、化肥、农药等开支0.3万元；每公顷蔬菜年均可卖7.5万元。（1）基地的菜农共修建大棚$x$（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为$y$（万元），则$y$关于$x$的函数关系式为$y=-0.9x^2+4.5x$。（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，则工作组应建议他修建$\frac{10}{3}$公顷的大棚。（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用。如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请为基地修建大棚提出一项合理化建议。设3年内每年的平均收益为$Z$（万元），则$Z=7.5x-\left(0.9x+0.3x^2+0.3x\right)=-0.3x^2+6.3x=-0.3(x-10.5)^2+33.075$。因此，不是面积越大收益越大。当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益。建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益；②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降。修建面积不宜盲目扩大；③当$-0.3x+6.3x=$时，$x_1=0$，$x_2=21$。与投资额xA之间的函数关系式为yA=5xA-1000（万元）；信息二：如果同时投资A、B两种产品，则所获利润yAB与投资额xA、xB之间的函数关系式为yAB=4xA+6xB-2000（万元）；信息三：如果同时投资A、B、C三种产品，则所获利润yABC与投资额xA、xB、xC之间的函数关系式为yABC=3xA+4xB+5xC-3000（万元）。（1）求出单独投资B、C两种产品的利润函数关系式；（2）如果企业最多只能投资200万元，应如何分配投资额才能使总利润最大？最大利润是多少？答案：（1）由题意可知，单独投资B、C两种产品的利润函数关系式为：yB=5xB-800（万元）yC=5xC-1000（万元）（2）设投资A、B、C三种产品的投资额分别为xA、xB、xC，则有约束条件：xA+xB+xC≤200又因为利润函数关系式中的系数均为正数，所以为了使总利润最大，应该优先投资利润更高的产品。因此，可以先将200万元全部投资在A、B两种产品上，即：xA=200，xB=0，xC=0此时总利润为：yA+yB=5xA-1000+4xB-2000=3万（万元）然后再逐步增加C产品的投资额，直到达到约束条件为止。可以列出如下表格：|xA|xB|xC|yA|yB|yC|yA+B+C||------|------|------|------|------|------|----------||200|0|0|800|-200|-1000|-400||180|10|10|770|50|0|820||160|20|20|740|200|1000|1940||140|30|30|710|350|2000|3060||120|40|40|680|500|3000|4180||100|50|50|650|650|4000|5300||80|60|60|620|800|5000|6420||60|70|70|590|950|6000|7540||40|80|80|560|1100|7000|8660||20|90|90|530|1250|8000|9780||0|100|100|500|1400|9000|10900|因此，当投资额分别为0万元、100万元、100万元时，总利润最大，为10900万元。与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：yA=0.4x，并且当投资5万元时，可获利润2万元。如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：yB=-0.2x^2+1.6x，并且当投资2万元时，可获利润1万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元。解：（1）根据题意，可得到yA=2.5x，yB=-0.2x^2+1.6x，当x=5时，yA=2；当x=2时，yB=2.4；当x=4时，yB=3.2。（2）设投资B种商品x万元，则投资A种商品(10-x)万元，获得利润W万元，根据题意可得W=-0.2x^2+1.2x+4。将W表示成完全平方数的形式，可得W=-0.2(x-3)^2+5.8。当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元。（3）根据题意，可得到支柱A2B2，A4B4的长度分别为50-15=35米，50+15=65米。抛物线的解析式是$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x+1$。将其化为顶点式$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1$，得抛物线的顶点坐标为$(2,1)$。设点$P$的坐标为$(x,y)$，当$P$与$y$轴相切时，有$|x|=1$，故$x=\pm1$。由$x=-1$，得$y=\frac{1}{2}\times(-1)-\frac{3}{4}\times(-1)+1=\frac{11}{4}$；由$x=1$，得$y=\frac{1}{2}\times1-\frac{3}{4}\times1+1=\frac{1}{4}$。此时，点$P$的坐标为$(1,\frac{1}{4})$或$(-1,\frac{11}{4})$。当$P$与$x$轴相切时，有$|y|=1$，故$y=1$。抛物线的开口向上，顶点在$x$轴的上方，$y>1$。由$y=1$，得$x=2\pm2$。此时，点$P$的坐标为$(2-2,1)$或$(2+2,1)$，即$(-2,1)$或$(4,1)$。综上所述，圆心$P$的坐标为$(1,\frac{1}{4})$，$(-1,\frac{11}{4})$，$(-2,1)$或$(4,1)$。故选项$\text{B}$正确。解：（1）设所求抛物线为$y=ax^2-4ax+4a+n$。由$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1$，得$a=-\frac{1}{2}$，$n=2$。故所求抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2x$。（2）由（1）知$B(0,0)$，$C(4,0)$。又$E(2,2)$，故$\triangleBCE$为等腰直角三角形，如图所示。由等腰$\triangleCDE$知，$CE$为腰或$CE$为底。①当$CE$为腰时，又$D$在$y$轴上，则只能有$DE=EC$，显然$D$点为$(0,0)$。②当$CE$为底时，设抛物线对称轴与$x$轴交于点$F$，因$\triangleCEF$为等腰直角三角形，故线段$CE$的垂直平分线过点$F$，设交$y$轴于点$D$。故$\angleOFD=45^\circ$，故$OD=DF=2$。故$D$点坐标为$(0,-2)$。综上所述，点$D$的坐标为$(0,0)$或$(0,-2)$。故选项$\text{B}$正确。解方程$x^2-4x+3<0$，得$x\in(1,3)$。故$-2<x<3$，故选项$\text{B}$正确。由题意得，$\angleAOD=\angleBOC$，故$\triangleAOD\sim\triangle