安徽省六安市高级职业技术中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

安徽省六安市高级职业技术中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象是参考答案：B略2.命题p：在中，是的充分不必要条件；命题q：是的充分不必要条件。则

（

）

A．真假

B．假真

C．“或”为假

D．“且”为假参考答案：答案:C3.等差数列{an}中，已知，，，则为

（

）A.

13

B.

14

C.

15

D.

16参考答案：A4.抛物线的准线方程是(

)A.x＝－

B.x＝

C.

D.y＝参考答案：【知识点】抛物线的标准方程及相关概念

H7【答案解析】C

解析：把抛物线的方程化成标准形式为：，是焦点在轴正半轴的抛物线，所以其准线方程为，故选：C【思路点拨】已知的抛物线方程不是标准形式，需要把它化成标准形式，再根据其开口方向确定准线方程。5.把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为A.

B.C.

D.

参考答案：C函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为，选C.6.甲：函数是R上的单调递增函数；乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：7.已知两条不重合的直线和两个不重合的平面有下列命题：①若，则； ②若则③若是两条异面直线，则④若则.其中正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C略8.函数的定义域为

A、;

B、;

C、;

D、;参考答案：C略9.已知集合，，则A∩B=(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】分别求解出集合和集合，根据交集定义求得结果.【详解】，本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键是能够根据分式不等式运算和对数型函数定义域的要求求解出两个集合.

10.已知向量与的夹角为，则等于

（A）5（B）4（C）3（D）1参考答案：答案：B解析:已知向量与的夹角为，

，，∴，则=－1(舍去)或=4，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中真命题的序号是______．参考答案：②③略12.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于

。参考答案：613.实数，满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：14.已知实数x、y满足，则目标函数的最小值为_____________．参考答案：－3满足条件的点的可行域如下：由图可知，目标函数在点处取到最小值-315.设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．参考答案：[﹣1，1]考点： 直线与圆的位置关系．专题： 直线与圆．分析： 根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．解答： 解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．点评： 本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．16.直线l与抛物线相交于A，B两点，当|AB|=4时，则弦AB中点M到x轴距离的最小值为______.参考答案：【分析】由定义直接将所求转化为焦点三角形中的问题．【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为（0，），根据抛物线的定义如图，

所求d=故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．17.命题“x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题13分）数列的各项均为正值，，对任意n∈N*，都成立．

（1）求数列，的通项公式；

（2）当k＞7且k∈N*时，证明：对任意n∈N*都有成立．参考答案：（1）由an+12?1＝4an(an+1)，

得（an+1+2an+1）（an+1-2an-1）=0，

数列{an}的各项为正值，an+1+2an+1＞0，

∴an+1=2an+1，

∴an+1+1=2（an+1），

∵a1+1=2≠0，

∴数列{an+1}为等比数列．

∴an+1＝(a1+1)?2n?1＝2n，an＝2n?1，

即为数列{an}的通项公式．

∵bn=log2（an+1），

∴bn＝log2(2n?1+1)＝n．

………………6分

（2）求证的的问题即：当k＞7且k∈N*时，对任意方法一：令，则

………………13分方法二：方法三（利用定积分放缩同样给分。要作出大致图象并指出小矩形面积之和大于曲边梯形面积）

………………13分19.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)设点，直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值.参考答案：（1）因为，所以，

………………1分将，，代入上式，可得.

…………3分直线的普通方程为；

………………5分（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，可得，……6分设两点所对应的参数分别为，则，.………………7分

于是

………………8分.

………………10分20.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，，，B1C的中点为O，若线段A1C1上存在点P使得PO⊥平面AB1C．（1）求AB；（2）求二面角A-B1C-A1的余弦值．参考答案：（1）；（2）．（1）方法一：设的长为，依题意可知，，两两垂直，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．则，，，，，，因此，，．设，易求得点的坐标为，所以．因为平面，所以．解之得，所以的长为．方法二：如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，，连接，在平面内过点作的垂线交于，连接．依题意易得，，，，，五点共面．因为平面，所以．①在中，，，因此为线段靠近的三等分点．由对称性知，为线段靠近的三等分点，因此，．代入①，得．（2）由（1）方法一可知，是平面的一个法向量且，．设平面的法向量为，则可以为．．因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为．21.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．参考答案：（1）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，，且，从而．所以为直角三角形，．又．

所以平面．（2）取中点，连结，由（1）知，得．为二面角的平面角．由得平面．所以，又，故．所以二面角的余弦值为22.

已知，．（1）求的值；（2）试猜想的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．参考答案：（1）由条件，

①，在①中令，得．

………………1分在①中令，得，得．

………………2分在①中令，得，得．

………………3分（2）猜想=（或=）．

………………5分欲证猜想成立，只要证等式成立．方法一：当时，等式显然成立，当时，因为，故．故只需证明．即证．而，故即证

②．由等式可得，左边的系数为．而右边，所以的系数为．由恒成立可得②成立.综上，成立.

………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有个小球，其中n个是编号为1，2，…，n的白球，其余n－1个是编号为1，2，…，n－1的黑球，现从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步计数原理其中含有个黑球（个白球）的n个小球的组合的个数为，，由分类计数原