人教版九年级相似三角形知识点总结及经典例题解析

第27章：相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：（2）合比定理：（3）等比定理：3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。4.相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等.（2）相似三角形的周长比等于相似比.（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质:三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质:梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比二、经典例题例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC与△DEF是否相似？[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.[参考答案]①135°，2②能判断△ABC与△DEF相似，∵∠ABC=∠DEF=135°，=【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．例2.如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．[考点透视]本例主要是考查相似的判定[参考答案]∠1=∠B或∠2=∠C，或点评：结合判定方法补充条件．例3.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（）A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米[考点透视]本例主要是考查相似的应用[参考答案]B【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”．例4.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用[参考答案]48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.[参考答案]解:在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴，∴y=．当α1β满足β-=90°，y=仍成立．此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，∴∠CAE=∠ADB．又∵∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y=．【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．例6.一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．[考点透视]本例主要是考查位似的性质.[参考答案]m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．三．适时训练（一）精心选一选1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（）（A）（B）（C）（D）2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（）（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD题2题4题53．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（）（A）2（B）3（C）4（D）55．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（）（A）∠APB＝∠EPC（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP︰BC＝2︰36．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个题6题7题87．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（）（A）AE⊥AF（B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE（D）FB︰FC＝HB︰EC8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（）（A）4︰10︰25（B）4︰9︰25（C）2︰3︰5（D）2︰5︰25题9题10题1110．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（）．（A）5︰12（B）9︰5（C）12︰5（D）3︰211．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（）（A）2︰1（B）3︰2（C）3︰1（D）5︰212．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（）（A）4cm、cm（B）5cm、cm（C）4cm、2cm（D）5cm、2cm题12（二）细心填一填13．已知线段a＝6cm，b＝2cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是_____cm．14．若＝＝＝－m2，则m＝______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．题16题17题1817．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．题19题20题2120．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则△ABC的面积是______．21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8cm，AD＝8cm，BC＝14cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．(三)认真答一答23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．24.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证＝．25.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．26.已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证：＋＝1．27.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．28.如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．29.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．30.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，CA＝8cm，动点P从点C出发，以每秒2cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝S△ABC？31.如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．32.某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？某学生对上题作如下解答：答：△AOB∽△DOC．理由如下：在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．33.如图：四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；②如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.35.（1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。求证：AE//BC；（2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作△EDC改成相似于△ABC。请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论。 36.如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直经BD=6，连结CD、AO。（1）求证：CD∥AO；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长。37.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=1，P、Q分别为AD、BC上两点，且AP=CQ，连结AQ、BP交于点E，EF平行BC交PQ于F，AP、BQ分别为方程的两根.（1）求的值（2）试用AP、BQ表示EF（3）若S△PQE=，求n的值38.如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（），那么：OPAXYBQ（1）设△POQ的面积为OPAXYBQ（2）当△POQ的面积最大时，△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由。（3）当为何值时，△POQ与△AOB相似？39.如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面积．40.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．41.(09延庆一模)在Rt△ABC中，∠C=90，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，（第41题）DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F（第41题）（1）求证:AC是⊙O的切线;（2）联结EF，求的值.42.(09东城一模)请阅读下列材料：（图1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如右图1,若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD．请你根据以上材料，解决下列问题.（图1）已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作一弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R.（如图2）(1)若AC恰经过圆心O,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；(2)若OP⊥AC,请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；（图2）(3)若AC是过点P的任一弦（图2）,请你结合(1)(2)的结论,猜想：的值，并给出证明．（图2）（图4）（图3）（图4）（图3）43.(09昌平一模).已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合.（1）如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；（3）若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长.44.(09昌平二模)图1是边长分别为4EQ\R(,3)和3的两个等边三角形纸片和叠放在一起（与重合）．（1）固定△，将△绕点顺时针旋转得到△，连结（如图2）．此时线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）设图2中的延长线交于，并将图2中的△在线段上沿着方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△设为△（如图3）．设△移动（点在线段上）的时间为x秒，若△与△重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）若固定图1中的△，将△沿方向平移，使顶点C落在的中点处，再以点为中心顺时针旋转一定角度，设，边交于点M，边交于点N（如图4）．此时线段的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出的值；如果有变化，请你说明理由．图1图2图3图445.(09通州二模)如图：是⊙O的直径，是弦，，延长到点，使得．(1)求证：是⊙O的切线；(2)若，求的长．46.(09房山二模)已知：如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长.47.(09朝阳二模)在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△（使＜180°），连接、，设直线与AC交于点O.（1）如图①，当AC=BC时，:的值为；（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求:的值；（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值.图①图②48.(09东城二模)如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,DC⊥BC,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12,点E在下底边BC上，点F在AB上．（１）若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为，试用含的代数式表示△BEF的面积；（２）是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．（３）若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为１：２两部分，将△BEF的面积记为,五边形AFECD的面积记为,且求出的最大值．49.(09门头沟二模)．在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连结BE，且BE＝2AE，BD是∠EBC的平分线．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．（1）当点P在线段ED上时（如图①），求证：；（2）当点P在线段ED的延长线上时（如图②），请你猜想三者之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（3）当点P运动到线段ED的中点时（如图③），连结QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交BD于点G．若BC＝12，求线段PG的长．50.(同上)．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结PQ．若设运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）求直线AB的解析式；（2）设△AQP的面积为，求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；（4）连结PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．

参考答案（一）精心选一选1．B2.B3.C4.C5.C6.A7.C8.B9.A10.C11.A12.B（二）细心填一填13．【答案】；4．14．【提示】分a＋b＋c≠0和a＋b＋c＝0两种情况【答案】±1．15．【提示】由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用△ABC∽△AED．【答案】10．16．【提示】延长FE交CB延长线于H点，则AF＝BH，考虑△AFG∽△CHG．【答案】1︰5．17．【提示】分“”类和“”类两类．【答案】6对．18．【答案】∠B＝∠ACP，或∠ACB＝∠APC，或AC2＝AP·AB．19．【答案】6．20．【提示】作EF∥BC交AD于F．设BE交AD于O点，先求出OD长和OB长，最后用勾股定理求出BD的长．【答案】144．21．【提示】作AE∥DC交BC于E点，由Rt△ABE∽Rt△CBA，依次算出BE、AB的长，最后求出AE的长，即可求出梯形面积．【答案】36．(三)认真答一答22．【提示】延长EA，与CD的延长线交于P点，则△APD∽△EPF∽△BPC．【答案】23．方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．【提示】先任意画一个格点钝角三角形，然后三边都扩大相同的倍数，画出另一个格点钝角三角形．24．【提示】过F点作FG∥CB，只需再证GF＝DF．【答案】方法一：作FG∥BC交AB延长线于点G．∵BC∥GF，∴＝．又∠BDC＝90°，BE＝EC，∴BE＝DE．∵BE∥GF，∴＝＝1．∴DF＝GF．∴＝．方法二：作EH∥AB交AC于点H．∵＝，＝，∠BDC＝90°，BE＝EC，∴BE＝DE．∴＝．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．【提示】先证△BCF∽△DBA，再证＝．【答案】∵BC＝CD，EC⊥BD，∴BE＝DE，∠FBC＝∠D．又AB＝AC，∴∠BCF＝∠DBA．∴∠BCF∽△DBA．∴＝．又BD＝2BC，AB＝AC，∴＝＝．∴FC＝AC．因此AF＝FC．26．已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证：＋＝1．【提示】利用AC＝AF＋FC．【答案】∵EF∥BC，FG∥AD，∴＝，＝．∴＋＝＋＝＝1．27．如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．【提示】（1）证△BCG∽△DCG；（2）证Rt△HBG∽Rt△CFG．【答案】（1）DG为Rt△BCD斜边上的高，∴Rt△BDG∽Rt△DCG．∴＝，即DG2＝BG·CG．（2）∵DG⊥BC，∴∠ABC＋∠H＝90°，CE⊥AB．∴∠ABC＋∠ECB＝90°．∴∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB．∴∠H＝∠ECB．又∠HGB＝∠FGC＝90°，∴Rt△HBG∽Rt△CFG．∴＝，∴BG·GC＝GF·GH．28．如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．【提示】利用三角形相似，推出BD＝．【答案】（1）∵∠ABC＝∠CDB＝90°，∴当＝时，△ABC∽△CDB．即＝．∴BD＝．即当BD＝时，△ABC∽△CDB．∵△ABC∽△CDB，∴∠ACB＝∠CBD．∴AC∥ED．又∠D＝90°，∴∠ACD＝90°．∴∠E＝90°．∴四边形AEDC为矩形．29．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．【提示】（1）如图，证明△AFE≌△DGE，证出∠AFE＝∠EFC．（2）证明∠ECG＝30°，∠BCF＝30°．【答案】如图，是相似．【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G．在Rt△AEF与Rt△DEG中，∵E是AD的中点，∴AE＝ED．∵∠AEF＝∠DEG，∴△AFE≌△DGE．∴∠AFE＝∠DGE．∴E为FG的中点．又CE⊥FG，∴FC＝GC．∴∠CFE＝∠G．∴∠AFE＝∠EFC．又△AEF与△EFC均为直角三角形，∴△AEF∽△EFC．①存在．如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△AEF∽△BCF．证明：当＝时，＝，∴∠ECG＝30°．∴∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．∴∠BCF＝90°－60°＝30°．又△AEF和△BCF均为直角三角形，∴△AEF∽△BCF．②因为EF不平行于BC，∴∠BCF≠∠AFE．∴不存在第二种相似情况．30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，CA＝8cm，动点P从点C出发，以每秒2cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝S△ABC？【提示】先求CP，再求DP．【答案】当点P从点C出发，运动在CA上时，若S△BCP＝S△ABC，则·CP·BC＝·AC·BC，∴CP＝·AC＝2（cm）．故由点P的运动速度为每秒2cm，它从C点出发1秒时，有S△BCP＝S△ABC．当点P从点C出发运动到AB上时，如图，可过点P作PD⊥BC于D．若S△BCP＝S△ABC，则PD·BC＝·AC·BC．∴PD＝AC＝2（cm）．∵Rt△BAC∽Rt△BPD，∴＝．又AB＝＝10，故BP＝＝，AP＝AB－BP＝10－＝7.5．也就是说，点P从C出发共行15.5cm，用去7.75秒，此时S△BCP＝S△ABC．答：1秒或7.75秒．31.BC=50m，AM≈133米．32.错误，∵33.证△DCE∽△DBC得DC2=DE·DB再证△DEF∽△DAB得DE·DB=DA·DF(2)AD·DF=DG·DC34.BC=4m35.证（1）△EAC与△DBC全等,得到∠EAC=∠B,而∠B=∠ACB,得∠EAC=∠ACB故AE//BC(2)△EAC∽△DBC得到∠EAC=∠B,而∠B=∠ACB,得∠EAC=∠ACB36.（1）连接BC交OA于E点∵AB、AC是⊙O的切线，∴AB=AC,∠1=∠2∴AE⊥BC∴∠OEB=90O∵BD是⊙O的直径∴∠DCB=90O∴∠DCB=∠OEB∴CD∥AO…(2)∵CD∥AO∴∠3=∠4∵AB是⊙O的切线，DB是直径∴∠DCB=∠ABO=90O∴△BDC∽△AOB∴EQ\F(BD,AO)=EQ\F(DC,OB)∴EQ\F(6,y)=EQ\F(x,3)∴y=EQ\F(18,x)∴0<x<6(3)由已知和(2)知：……………8分把x、y看作方程z2-11z+18=0的两根解这个方程得z=2或z=9∴（舍去）∴AB=EQ\r(,92-32)=EQ\r(,72)=637.（1）∵AP=QC，AP+BQ=QC+BQ=BC=1又∵AP、BQ分别为方程的两根，有AP+BQ=m，AP·BQ=n∴AP+BQ=m=1（2分）（2）∵EF∥AP∴又∵AP∥BQ∴∴即∴即：（3）连结QD，则EP∥QD，得：S△AQD=，且S△AEP∶S△AQD=AP2∶AD2=AP2∶1=AP2∴S△AEP=AP2·S△AQD=AP2∴S△PQE∶S△AEP=EQ∶AE，即∶AP2=EQ∶AE=BQ∶AP∴AP·BQ=即：n=38.解（1）∵OA=12,OB=6由题意，得BQ=1·t=t，OP=1·t=t∴OQ=6－t∴y=×OP×OQ=·t（6－t）=-t2＋3t（0≤t≤6）（2）∵∴当有最大值时，∴OQ=3OP=3即△POQ是等腰直角三角形。把△POQ沿翻折后，可得四边形是正方形∴点C的坐标是（3，3）∵∴直线的解析式为当时，，∴点C不落在直线AB上（3）△POQ∽△AOB时①若，即，，∴②若，即，，∴∴当或时，△POQ与△AOB相似。39.【提示】利用相似三角形的性质，列出关于ED的方程，求ED的长，即可求出S△ABC．【答案】∵矩形PQMN，∴PN∥QM，PN＝QM．∵AD⊥BC，∴AE⊥PN．∵△APN∽△ABC，∴＝．设ED＝x，又矩形周长为24，则PN＝12－x，AD＝16＋x．∴＝．即x2＋4x－32＝0．解得x＝4．∴AD＝AE＋ED＝20．∴S△ABC＝BC·AD＝100．【点评】本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比．40.【提示】先证PB＝PC，再证△EPC∽△CPF．【答案】连结PC．∵AB＝AC，AD是中线，∴AD是△ABC的对称轴．∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP．∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP．∴∠PCE＝∠PFC．又∠CPE＝∠EPC，∴△EPG∽△CPF．∴＝．即PC2＝PE·PF．∴BP2＝PE·PF．【点评】本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．41.（1）证明：连结OD，-------1分∵，∴．又∵BD为∠ABC的平分线，∴．∵，∴∴，即∴-----2分又∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线． ………………3分（2）解：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，∴BE是⊙O的直径，设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，，∴∵，，∴△ADO∽△ACB．∴．∴．∴．∴ 4分又∵BE是⊙O的直径．∴．∴△BEF∽△BAC∴．……………5分42.解：（１）ＡＣ过圆心Ｏ，且m,n分别切⊙O于点A,C(2)连接OA∴△AEC∽△PAQ．①同理可得：②①+②，得43.解：（1）与的数量关系是相等． 1分证明：过点作，，垂足分别为点．∵，易得．，而，．∵是的平分线，，又，．． 2分（2），，，，．又，∽． 3分．∵，． 4分（3）如图1所示，若与射线相交，则； 6分如图2所示，若与直线的交点与点在点的两侧，则． 8分44.解：（1）.………………1分证明：如图2，∵△与△都是等边三角形，△绕点顺时针旋转30°得到△，∴△也是等边三角形，且，∴,.…………………2分∴,∴,∴.∴△≌△，∴.……3分（2）如图3，设分别与交于点.∵△CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移x秒，平移后的△为△，.由（1）可知，，..,.在中，，..…………4分过点作于点.在中，，..……5分，.当点与点重合时，，∵，∴.∴此函数自变量x的取值范围是.…………6分（3）的值不变.……………………7分证明：如图4，由题意知，，∴，在中，，∴.又∵，∴△∽△，∴．∵点是的中点，，∴，∴，∴．………………8分45.（1）证明：连结DO………………1分∵AO=DO∴∠DAO=∠ADO=22.50∴∠DOC=450又∵∠ACD=2∠DAB∴∠ACD=∠DOC=450∴∠ODC=900………………2分∴是⊙O的切线（2）解：连结DB………3分∵AB是⊙O的直径∴∠ADO＋∠ODB=900由（1）知∠CDB＋∠ODB=900∴∠ADO=∠OAD=∠CDB………4分又∵∠DCB=∠ACD∴△ADC∽△DBC∴=∴∴BC=2-BC=-2-(舍负)∴BC=2-………5分46.证明：（1）∵AB为⊙O的直径∴D=90°,A+ABD=90°∵∠DBC=∠A∴∠DBC+∠ABD=90°∴BC⊥AB-----------------1分