垂直平分线的性质和判定的大题练习

垂直平分线的性质和判定的大题练习1、已知AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，要证明：①AB=AC=CE②DE=AB+BD。证明①：由题意可知，AC是BC的垂线中点，因此AB=AC。又因为C在AE的垂线上，所以CE=AE。综上，AB=AC=CE。证明②：由题意可知，BD=DC，因此三角形BDC是等腰三角形。又因为AD⊥BC，所以ABD和CBD都是直角三角形。根据勾股定理可得：AB²=AD²+BD²，BC²=BD²+DC²。将BD=DC代入第二个式子可得：BC²=2BD²，即BD=BC/√2。将BD代入第一个式子可得：DE²=AB²+BD²=AB²+BC²/2。因为AB=AC，所以DE²=CE²+BC²/2。又因为CE=AE，所以DE²=2AE²+BC²/2。因此DE=AB+BD。2、已知线段CD垂直平分AB，AB平分∠DAC，要证明：AD//BC。连接AC和BD。因为CD垂直平分AB，所以AD=BD。又因为AB平分∠DAC，所以∠DAB=∠DAC/2=∠BAC/2。又因为BD=DC，所以∠DBC=∠DCB=∠BAC/2。因此△ADB和△BDC相似。由此可得：AD/BD=BD/DC，即AD=BD²/DC。又因为AD=BD，所以BD=DC，即△BDC是等腰三角形。因此AB垂直于CD，所以AD//BC。3、已知DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交BC于E，∠C=90°，AB=2AC，要证明CE=DE。连接AE和CD。因为DE是AB的垂直平分线，所以DE=BE=AB/2=AC。又因为D为垂足，所以∠ADE=90°，因此△ADE是直角三角形。又因为∠C=90°，所以△CDE是直角三角形。因此△ADE和△CDE相似。由此可得：CE/DE=DE/AC，即CE=DE²/AC。又因为CE=BE=DE，所以CE=DE。4、在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，要求△ABC的周长。连接BD。因为DE是AC的垂直平分线，所以DE=EC。又因为AE=3cm，所以AC=6cm。因此CE=3cm。又因为△ABD的周长为13cm，所以AB+BD+AD=13cm。因为AD=DC=AC/2=3cm，所以AB+BD=10cm。因为BD²=AD×DC=9cm²，所以BD=3√3cm。因此AB=7cm。因为DE=EC=3cm，所以BC=2DE=6cm。因此△ABC的周长为AB+BC+AC=7cm+6cm+6cm=19cm。5、在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，要证明CM=2BM。连接AM、AN和CM。因为AB=AC，所以∠BAC=∠ACB=60°。又因为AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，所以BM=CN。因此AM=AN=AB/2=AC/2。又因为∠BAM=∠CAN=30°，所以△ABM和△ACN是30°-60°-90°三角形。因此BM=AM√3=CN√3，即BM=CN√3。因为BM=CN，所以BM=CN=CM/2，即CM=2BM。6、在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N。(1)求△AEN的周长。连接AN。因为AB=AC，所以∠BAC=∠ACB=60°。又因为AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，所以EN=EC=BC/2=6cm。又因为∠BAC=120°，所以∠EAN=∠CAN-∠CAE=30°。因此△AEN是30°-60°-90°三角形。因此AE=AN√3=6√3cm。因此△AEN的周长为AE+EN+AN=6√3cm+6cm+6cm=6(√3+2)cm。(2)求∠EAN的度数。已知AB=AC，所以∠BAC=∠ACB=60°。又因为AC的垂直平分线交BC边于点N，所以∠CAN=90°。又因为AB的垂直平分线交BC边于点E，所