(完整版)2019年全国卷2文科数学及答案

(完整版)2019年全国卷2文科数学及答案2019年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2文科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。考生应注意以下几点：1.在答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并将条形码粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.考生必须按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.考生必须保持答题卡清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合$A=\{x|x>-1\}$，$B=\{x|x<2\}$，则$A\capB=$A.$(-1,2)$B.$(-\infty,2)$C.$(-1,\infty)$D.$\varnothing$2.设$z=i(2+i)$，则$z=$A.$1+2i$B.$-1+2i$C.$1-2i$D.$-1-2i$3.已知向量$a=(2,3)$，$b=(3,2)$，则$|a-b|=$A.$2$B.$2\sqrt{2}$C.$5$D.$5\sqrt{2}$4.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A.$\dfrac{2}{5}$B.$\dfrac{3}{5}$C.$\dfrac{1}{5}$D.$\dfrac{4}{5}$5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。甲：我的成绩比乙高。乙：丙的成绩比我和甲的都高。丙：我的成绩比乙高。成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6.设$f(x)$为奇函数，且当$x\geq0$时，$f(x)=e^x-1$，则当$x<0$时，$f(x)=$A.$-e^{-x}-1$B.$e^{-x}+1$C.$-e^{-x}+1$D.$e^{-x}-1$7.设$\alpha$，$\beta$为两个平面，则$\alpha\parallel\beta$的充要条件是A.$\alpha$内有无数条直线与$\beta$平行B.$\alpha$内有两条相交直线与$\beta$平行C.$\alpha$，$\beta$平行于同一条直线D.$\alpha$，$\beta$垂直于同一平面8.若$x_1=\dfrac{\pi}{3}$，$x_2$是函数$f(x)=\sin\omegax(\omega>0)$两个相邻的极值点，则$\omega=$A.$2$B.$\dfrac{1}{2}$C.$1$D.$2\sqrt{2}$二、非选择题：本题共8小题，共90分。9.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$上一点，$E$是$AC$上一点，$\angleABD=\angleAED$，$\angleABE=30^{\circ}$，$\angleAED=40^{\circ}$。求$\angleBAC$的度数。10.已知函数$f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}$，$g(x)=ax+b$，且$f(x)-g(x)$的图像过点$(1,2)$，则$a=$，$b=$。11.已知函数$f(x)=\ln(1+x)-\lnx$，$x>0$。(1)求$f(x)$的定义域。(2)求$f(x)$的单调区间。(3)求$f(x)$的值域。12.已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{2}{x-3}$，$x\in\mathbb{R}$。(1)求$f(x)$的定义域。(2)求$f(x)$的反函数。(3)求$f^{-1}(x)$的值域。13.已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+2}$。(1)求$f(x)$的定义域。(2)求$f(x)$的最小值。14.已知函数$f(x)=\dfrac{2}{\sqrt{2-\cosx}}$，$x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$。(1)求$f(x)$的定义域。(2)求$f(x)$的单调区间。(3)求$f(x)$的最大值。15.已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}$，$x\in(0,1)$。(1)求$f(x)$的最小值。(2)求$f(x)$的单调区间。(3)求$f(x)$的值域。1.题目中的符号应该改为数学符号，比如≥、≤、≠等。2.文章中有许多没有上下文的数字，应该加上单位或者解释。3.第一部分的题目没有上下文，应该加上题干。4.文章中有些句子表述不清楚，需要重新写一下。1.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆3pp的一个焦点，则p=9。2.曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为2x-y-2π+1=0。3.已知a∈（0，π/5），2sin2α=cos2α+1，则sinα=5/25。4.设F为双曲线C：x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为3。5.若变量x，y满足约束条件2x+3y-6≥0，x+y-3≤0，y-2≤0，则z=3x-y的最大值是9。6.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.979。7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=π/2。8.该半正多面体共有30个面，其棱长为2/√6。17.（12分）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1。（1）证明：BE⊥平面EBC1。证明：连接BE、BC1，设∠EBC1=α，∠BEC1=β。则∠A1BE=90°-β，∠A1BC1=90°-α，∠BA1C1=90°，∠A1B=90°，所以∠BA1E=β-α。又因为BE⊥EC1，所以∠BEC1=90°，所以∠BEC1=90°-β。由于ABCD是正方形，所以∠ABC1=45°，所以∠EBC1=α-45°。所以∠A1BE+∠BEC1+∠EBC1=90°-β+90°-β+α-45°=α-2β+45°=π/2-β。又因为∠BA1E=β-α，所以∠A1BE+∠BA1E=π/2，所以∠BA1E=π/2-∠A1BE=π/2-β。所以∠BA1E=∠A1BE+∠BEC1+∠EBC1，即BE⊥平面EBC1。2.若AE=AE，AB=3，求四棱锥E-BC的体积。18.已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16。(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=log2an，求数列{bn}的前n项和。19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表。y的分组[-0.20,0)2[0,0.20)24[0.20,0.40)53[0.40,0.60)14[0.60,0.80)7企业数(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。20.已知F1，F2是椭圆C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点。(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围。21.已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1。证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]O为极点，在极坐标系中，点M(ρ,θ)(ρ>0)在曲线C:ρ=4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P。(1)当θ=π时，求ρ及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程。23.[选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a)。(1)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(-∞,1)时，f(x)<0，求a的取值范围。(1)已知四棱锥E-BB1C1C的底面是正方形ABCD，其中AB=3，BE⊥平面ABB1C1，BE=EC1，且Rt△ABE≌Rt△A1B1E，求该四棱锥的体积V。解：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊥平面ABB1C1，所以B1C1⊥BE。又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1。由此可知∠BEB1=90°。又因为Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，故AE=AB=3，AA1=2AE=6。作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF=AB=3。所以，四棱锥E-BB1C1C的体积V=1/3×EF×BB1×CC1=1/3×3×6×3=18。(2)已知数列{an}的公比为q，且2q^2=4q+16，求数列{bn}的前n项和。解：设{an}的公比为q，由题设得2q^2=4q+16，即q^2-2q-8=0。解得q=-2（舍去）或q=4。因此{an}的通项公式为an=2×4^(n-1)=2^(2n-1)。由此得bn=(2n-1)log2=2n-1，因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n。(3)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为21%，产值负增长的企业频率为2%。用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%。已知这类企业的产值增长率的样本均值为30%，样本标准差为17%，求总体均值和总体标准差的估计值。解：(1)这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为样本频率的估计值，即21%；产值负增长的企业比例为样本频率的估计值，即2%。(2)这类企业的产值增长率的平均数的估计值为样本均值，即30%；标准差的估计值为样本标准差乘以开方根据样本容量的比例调整得到，即17%×√(74/100)≈0.17。(4)已知椭圆C：x^2/16+y^2/9=1，点P(2,1)在椭圆上，点F(0,c)是椭圆的右焦点，求线段PF与椭圆C的交点Q的横坐标x。解：(1)连结PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，PF2=c，PF1=3c，于是2a=PF1+PF2=(3+1)c，故椭圆C的离心率是e=c/a=3/√7。(2)由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在当且仅当|y|×2c=16，y的符号由点P在椭圆C的上半部分还是下半部分决定。又因为PF的斜率为k=-c/2，所以PF的方程为y-1=(-c/2)(x-2)，即y=(-c/2)x+c+1。将y代入椭圆C的方程得x^2/16+((-c/2)x+c+1)^2/9=1，整理得13c^2x^2-144cx+175=0。由题意可知该方程有两个实根，设它们分别为x1和x2，则x1+x2=144/(13c)，x1x2=175/(13c^2)。因为Q在PF上，所以Q的纵坐标等于PF上的点的纵坐标，即Q的纵坐标为(-c/2)x+c+1。将Q的坐标代入椭圆C的方程可得x^2/16+((-c/2)x+c+1)^2/9=1，整理得13c^2x^2+72cx+49=0。由此得到x的两个解，分别为x1=3/2，x2=-7/13。因为Q在椭圆C上，所以x的取值范围是[-4,4]，所以x=3/2。1.给定方程组：ab2x+cx-c|y|=16，①x2+y2=c2，②x2y2/a2b2+1/b4=1，③其中a^2+b^2=16^2，求a的取值范围。根据②和③式可得：y^2=(a^2-b^2)x^2+b^2c^2/(a^2-b^2)，由①式可知c^2>=b^2，又因为a=b+c，所以a^2>=b^2，因此a>=42，当b=4，a=42时，存在满足条件的点P，因此a的取值范围为[42,+∞)。2.已知函数f(x)=lnx-1/x-1，求f(x)的极值点和实根。首先确定f(x)的定义域为(1,+∞)，然后求导得f'(x)=(x-1-lnx+1)/x^2，由此可知f'(x)在(1,+∞)单调递增，且f'(1)=-1，f'(2)=ln2-1/ln4-1>0，因此存在唯一的x∈(1,2)，使得f'(x)=0，即f(x)存在唯一的极值点。又由f(1)=-2，f(e^2)=e^2-3>0，因此f(x)在(1,+∞)内存在唯一的实根，且其倒数也是一实根。3.已知点M(2,3)在曲线ρcos(θ-π/3)=2上，点P在直线y=x上，点Q