二阶常系数齐次线性微分方程的课件

二阶常系数齐次线性微分方程的通解

7/31/20231二阶常系数齐次线性微分方程的通解

7/24/20231一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式7/31/20232一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根7/31/20233二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为7/31/20234有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特反之：7/31/20235反之：7/24/20235有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为7/31/20236有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为7/2反之：7/31/20237反之：7/24/20237有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为7/31/20238有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为7/24定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例17/31/20239定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特例1

求方程y-2y-3y=0

的通解.

解

该方程的特征方程为r2

-2r–3=0,它有两个不等的实根r1=-1，r2=3,

其对应的两个线性无关的特解为y1=e-

x与y2=e3x,所以方程的通解为7/31/202310例1求方程y-2y-3y=0的通解.

例2

求方程y-4y+4y=0

的满足初始条件y(0)=1，y(0)=4的特解.

解

该方程的特征方程为r2

-4r

+4=0，求得将y(0)=1，y(0)=4代入上两式，得C1=1，C2=2，y=

(1+2x)e2x.其对应的两个线性无关的特解为y1=e2x与y2=xe2x，所以通解为因此，所求特解为它有重根r=2.7/31/202311例2求方程y-4y+4y=0的满解特征方程为解得故所求通解为例27/31/202312解特征方程为解得故所求通解为例27/24/202312例

3

求方程2y+2y+3y=0

的通解.

解

该方程的特征方程为2r2

+2r

+3=0，它有共轭复根对应的两个线性无关的解为所以方程的通解为7/31/202313例3求方程2y+2y+3y=0的通解例4

求方程y+4y=0

的通解.

解

该方程的特征方程为r2

+4=0，它有共轭复根r1,2=2i.即a=0，b=2.对应的两个线性无关的解y1=cos2x.y2=sin2x.所以方程的通解为7/31/202314例4求方程y+4y=0的通解.解该方7/31/2023157/24/202315三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项7/31/202316三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.7/31/202317注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解特征根为故所求通解为解特征方程为例47/31/202318特征根为故所求通解为解特征方程为例47/24/202318二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.

(见下表)7/31/202319二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征7/3