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文档简介
刚体运动一、刚体变换二、三维空间中的旋转运动三、三维空间中的刚体运动一、刚体变换
刚体运动是物体上任意两质点间距离始终保持不变的连续运动。刚体从一位置到另一位置的刚体运动称为刚体位移（平动与转动）。刚体变换：满足下列条件的变换g:R3->R3为刚体变换：1)长度不变：2）叉积不变：对任意点二、三维空间中的旋转运动旋转矩阵：Rab=[xabyabzab]物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于一个该形式矩阵旋转矩阵性质：设RR3×3为旋转矩阵，则：①RRT=I②detR=+1(右手坐标系）将满足这两个性质的3×3矩阵的集合记为SO（3），可用旋转矩阵表示刚体变换二、三维空间中的旋转运动群：对于用算子。构成的二元运算集合G，若满足下面条件则构成一个群。物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于一个该形式矩阵可以证明SO（3）是一个以单位矩阵I作为单位元素、以矩阵乘法作为群运算的群。旋转矩阵可通过矩阵相乘来组成新的旋转矩阵：Rac=RabRbc上式称为旋转的合成法则二、三维空间中的旋转运动旋转矩阵对点的最用：对坐标系B中的点qb(xbybzb),可得其在A坐标系中的坐标 qa=Rabqb旋转矩阵对矢量的作用：对坐标系B中的矢量Vb=qb-pb,则 Rab(Vb)=Rabqb-Rabpb=qa-pa=Va二、三维空间中的旋转运动两矢量的叉积是一个线性算子，可用表示为：a×b=(a)^b后面常用符号â来代替(a)^引理2.1对给定的R∈SO(3)和v,w∈R3,则存在下列性质 R(v×w)=(Rv)×(Rw)(两矢量叉积的旋转=旋转的叉积） R(w)^RT=(Rw)^定理2.2旋转运动是刚体变换旋转矩阵R∈SO(3)是一个刚体变换二、三维空间中的旋转运动2.2旋转的指数坐标研究物体绕给定轴转过一定角度的旋转运动，w∈R3表旋转方向的单位矢量，θ∈R为旋转角度，则该旋转运动可表示为：通过数学方法可以得到：当||w||≠1时，上式可修正为：二、三维空间中的旋转运动2.2旋转的指数坐标定理2.3指数变换是SO（3）上的满射变换对给定的R∈SO(3),存在w∈R3,||w||=1及θ∈R，使R=exp((w)^θ)定理2.4任意姿态R∈SO(3)等效于绕固定轴w∈R3,θ∈[0,2π]
该法并不唯一，当R=I时，W（θ取0）有无穷多中。二、三维空间中的旋转运动2.3四元数四元数可用与描述空间旋转运动，它是一个矢量，一般形式为：简洁表达式为：Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3
二、三维空间中的旋转运动2.3四元数两四元数内积：给定Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3，可获得相应的
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