2023年高考数学二轮复习第二部分方法探究考点三函数、导数

三函数、导数【必记结论】1.函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围.②若已知fx)的定义域为［a，b］，则fg(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知fg(x))的定义域为［a，b］，则fx)的定义域为函数y=g(xXx∈［a,b］)的值域∙(2)常见函数的值域①一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R.②二次函数y=ax2÷bx+c(a≠0):当a>0时，值域为［4ac-b2,+∞)，当a<0时，值域4a为(—8,4ac-b2］;4a③反比例函数y=k(k≠0)的值域为{y∈Ry≠0}.x2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f—x)=—fx)成立，则fx)为奇函数(都有f—x)=fx)成立，则fx)为偶函数).(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数fX),如果对于定义域内的任意一个X的值，若fx÷T)=fx)(T≠0),则fx)是周期函数，T是它的一个周期.3．函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设X1,x2∈［a,b］，那么(XI—X2)［fX1)—fx2)］>0⇔fx上f¾4>0⇔fX)在［a,b］上是增函数；(x1—x2)［fx1)—fx2)］<0⇔f(χι)-f(χ2\<0⇔fx)在［a,b］上是减函数.②若函数fX)和g(X)都是减函-数，则在公共定义域内，fX)÷g(X)是减函数；若函数fX)和g(X)都是增函数，则在公共定义域内，fX)÷g(X)是增函数；根据同增异减判断复合函数y=fg(X))的单调性•4．指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y=ax(a>0,且a≠1)恒过(0,1)点；y=logax(a>0,且a≠1)恒过(1,0)点.(2)单调性：当a>1时，y=ax在R上单调递增；y=logaX在(0,÷∞)上单调递增；当0<a<1时，y=ax在R上单调递减；y=logX在(0,÷∞)上单调递减.5．导数的几何意义(1fX0)的几何意义：曲线y=fx)在点(X0,fx0))处的切线的斜率，该切线的方程为y—fX0)=fx0)(X—X0).(2)切点的两大特征：①在曲线y=fx)上；②在切线上.6.利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数fx)的定义域；②求导函数f(x)；③由f(x)>0的解集确定函数fx)的单调增区间，由f(x)<0的解集确定函数fx)的单调减区间.(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数fx)在区间M上单调递增，则f(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数fx)在区间M上单调递减，则f(x)≤0(x∈M恒成立(注意：等号不恒成立)；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f(x)>0(或f(x)<0)在该区间上存在解集;③若已知fx)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出fx)的单调区间，则I是其单调区间的子集.7．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f(x)=0；③判断f(x)在方程f(x)=0的根x0两侧的符号变化；若左正右负，则XO为极大值点；若左负右正，则XO为极小值点；若不变号，则XO不是极值点.(2)求函数fx)在区间［a,b］上的最值的一般步骤①求函数y=fx)在［a,b］内的极值；②比较函数y=fx)的各极值与端点处的函数值fa),fb)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【易错剖析】易错点1函数的单调区间理解不准确【突破点】 对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．易错点2判断函数的奇偶性时忽略定义域【突破点】一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数．易错点3不清楚导数与极值的关系【突破点】(1)f(x0)=0只是可导函数fx)在XO处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑f(x)在XO两侧是否异号.(2)已知极值点求参数要进行检验．易错点4混淆“切点”致误【突破点】注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同.“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．易错点5导数与单调性的关系理解不准确【突破点】(1^f(x)>O(<O)(x∈(a,b))是fx)在(a,b)上单调递增(递减)的充分不必要条件．(2)对可导函数fx)在(a,b)上为单调增(减)函数的充要条件为：对于任意x∈(a,b),有fx)≥O(≤O)且f(x)在(a,b)内的任何子区间上都不恒为零.若求单调区间，可用充分条件.若由单调性求参数，可用充要条件.即/(x)≥O(或fx)≤O)，否则容易漏解.【易错快攻】易错快攻一混淆“切点”致误［典例1］［2O22∙新高考I卷］若曲线y=(X+a)eX有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．听课笔记：易错快攻二混淆“函数的单调区间”“函数在区间上单调”“函数存在单调区间”［典例2］设函数fx)=3χ2+ax(a∈R).ex(1)若fx)在X=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线歹=fx)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若fx)在［3,+∞)上为减函数，求a的取值范围.听课笔记：三函数、导数［典例1］解析：设切线的切点坐标为(X0J0).令fx)二(X+a)eX，则fX)=(X+1+a)eX,f(x0)=(x0+1+a)eχ0.因为y0=(x0+a)eχ0，切线过原点，所以了(X0)=4■，即(X0+1+a)∙eχ0=&+3.整理，得XO+ax0-a=0.由题意知该方程有两个不同的实数0根，所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0.答案：(一8,—4)∪(0,+∞)［典例2］解析：(1)对fX)求导得f(X)=(6x+a)eχ-(3x2+ax)eχ=-3x2+(6-a)x+a(eχ)2 ex因为fx)在X=0处取得极值，所以了(0)=0,即"0.当"0时，fx)=3x2,f(x)=*±包,故f(1)=3,f(1)=3,从而曲线歹=fx)在点(1,f(1))ex ex e e处的切线方程为歹-3=3(x-1),化简得3X-ey=0.ee(2)方法一f(x)=-3χ2+(6-a)x+a.ex 令g(x)=-3X2+(6-a)X+a设XX为g(x)=0的两根,则X=6-a-√a2+36X=6-a+√a2+36.ɪ& ɪ 6 4 6当X<XI时，g(X)<0,即/(X)<0，此时fX)为减函数；当X1<X<X2时，g(X)>0,即/(X)>0,此时fX)为增函数；当X>X2时，g(X)<0,即/(X)<0，此时fX)为减函数.由fX)在［3,+8)上为减函数，得X=6~a+√a2+36≤3,解得a≥-9，2 6 2故a的取值范围为［-9,+8).方法二f(X)=-3x2+(6-a)x+a由题意知-3X2+(6-a)X+a≤0对任意的X∈［3,+8)恒ex成立(且不恒等于0)，分离