材料力学-第六章-弯曲变形课件

Chapter6DeflectionofBeams第六章弯曲变形Chapter6DeflectionofBeams第六1第六章弯曲变形

(DeflectionofBeams)

§6-1

基本概念及工程实例（Basicconceptsandexampleproblems)

§6-4

用叠加法求弯曲变形

(Beamdeflectionsbysuperposition)§6-3

用积分法求弯曲变形（Beamdeflectionbyintegration)§6-2

挠曲线的微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)§6-5

静不定梁的解法(Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams)§6-6提高弯曲刚度的措施(Themeasurestostrengthenrigidity)第六章弯曲变形(DeflectionofBeams2

§6-1

基本概念及工程实例（Basicconceptsandexampleproblems）一、为何要研究弯曲变形仅保证构件不会发生破坏，但如果构件的变形太大也不能正常工作。1、构件的变形限制在允许的范围内。§6-1基本概念及工程实例一、为何要研究弯曲变3车削加工一等截面构件，如果构件的的变形过大，会加工成变截面；案例1：车削加工一等截面构件，如果构件的的变形过大，会加工成变截面；4如果钻床的变形过大，受工件的反力作用；摇臂钻床简化为刚架，不能准确定位。案例2：如果钻床的变形过大，受工件的反力作用；摇臂钻床简化为刚架，不5车间桁吊大梁的过大变形案例3：车间桁吊大梁的过大变形案例3：6会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还会引起较严重的振动；会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还会引起较严重的振动；7桥梁如果产生过大变形楼板、床、双杠横梁等都必须把它们的变形限制在允许的范围内。屋顶桥梁如果产生过大变形楼板、床、双杠横梁等都必须把它们的变形限8汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；案例1：２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；案9安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的过程中有较大的变形吸收落物或碰撞能量，保证驾驶员的人身安全案例2：安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的过10案例3：当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？案例3：当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，一旦发生碰11案例4：蹦床、跳板跳水要有大变形，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高度。案例4：蹦床、跳板跳水要有大变形，才能积蓄能量，将人体弹射到123、研究弯曲变形还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析以及振动分析等方面。除了解决构件的刚度外，3、研究弯曲变形还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析以及振131.挠度（Deflection）二、基本概念（Basicconcepts）w挠度AByx

横截面形心C（即轴线上的点）在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度.用w表示.C'C1.挠度（Deflection）二、基本概念（Basic142.转角

（Slope）转角AC'CyB

xw挠度（

横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角.用表示2.转角（Slope）转角AC'CyBxw挠度（153.挠曲线

（Deflectioncurve）梁变形后的轴线称为挠曲线.

式中,x

为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w

为该点的挠度.挠曲线yAB

x转角w挠度（C'C

挠曲线方程（equationofdeflectioncurve）为3.挠曲线（Deflectioncurve）梁164.挠度与转角的关系（Relationshipbetween

deflectionandslope）：yABx转角w挠度C'C挠曲线4.挠度与转角的关系yABx转角w挠度C'C挠曲线175.挠度和转角符号的规定（Signconventionfordeflectionandslope）

yABx转角w挠度C'C挠曲线挠度和转角的符号是根据所选坐标系而定的挠度：与y轴正向一致为正，反之为负。转角：挠曲线上某点处斜率为正时，转角为正，反之为负。5.挠度和转角符号的规定yABx转角w挠度C'C挠曲18§6-2

挠曲线的微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)一、推导公式（Derivationoftheformula)1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系（Relationshipbetweenthecurvatureofbeamandthebendingmoment）

横力弯曲时,M

和都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响,则§6-2挠曲线的微分方程一、推导公式（Derivation192.由数学得到平面曲线的曲率（Thecurvaturefromthemathematics）与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为2.由数学得到平面曲线的曲率与1相比十分微小而可以忽略不20

在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,w轴竖直向上为正.

曲线向上凸时:OxwxOw

因此,与的正负号相同

曲线向下凸时:(6.5)在规定的坐标系中,x轴水平向右21

此式称为

梁的挠曲线近似微分方程（differentialequationofthedeflectioncurve）(6.5)

近似原因:（1）略去了剪力的影响;（3）（2）略去了

项;此式称为梁的挠曲线近似微分方程（diffe22

§6-3

用积分法求弯曲变形（Beamdeflectionbyintegration)一、微分方程的积分

（Integratingthedifferentialequation)

若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成§6-3用积分法求弯曲变形一、微分方程的积分232.再积分一次,得挠度方程（Integratingagaingivestheequationforthedeflection）二、积分常数的确定（Evaluatingtheconstantsofintegration）1.边界条件（Boundaryconditions）

2.连续条件（Continueconditions）

1.积分一次得转角方程（Thefirstintegrationgivestheequationfortheslope）2.再积分一次,得挠度方程二、积分常数的确定24AB

在简支梁中,左右两铰支座处的挠度和都等于0.

在悬臂梁中,固定端处的挠度和转角都应等于0.ABAB在简支梁中,左右两铰支座处的和都等于025ABxFw例题1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角ABxFw例题1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由26（1）弯矩方程为解：（2）挠曲线的近似微分方程为xwABxF

对挠曲线近似微分方程进行积分（1）弯矩方程为解：（2）挠曲线的近似微分方程为xwAB27

梁的转角方程和挠曲线方程分别为

边界条件

将边界条件代入（3）（4）两式中,可得梁的转角方程和挠曲线方程分别为边界条28BxyAF（）都发生在自由端截面处和（）BxyAF（）都发生在自由端截面处和（）29例题2图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其和ABql例题2图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度30

解:由对称性可知,梁的两个支反力为ABqlFRAFRBx

此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为解:由对称性可知,梁的两个支反力为ABqlF31

梁的转角方程和挠曲线方程分别为

边界条件x=0和x=l时,

xABqlFRAFRBAB

在x=0和x=l处转角的绝对值相等且都是最大值，

最大转角和最大挠度分别为wmax

在梁跨中点处有最大挠度值梁的转角方程和挠曲线方程分别为32例题3图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角.ABFDabl例题3图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中33解:梁的两个支反力为FRAFRBABFDabl12xx

两段梁的弯矩方程分别为解:梁的两个支反力为FRAFRBABFDabl12xx34

两段梁的挠曲线方程分别为

（a）（0x

a）近似微分方程

转角方程

挠度方程

（b）（a

x

l

）两段梁的挠曲线方程分别为（a35D点的连续条件

边界条件

在x=a处

在x=0处,

在x=l处,

代入方程可解得:ABFDab12FRAFRBD点的连续条件边界条件36

（a）（0x

a）

（b）（a

x

l

）（a）（0xa）（37

将x=0和x=l

分别代入转角方程左右两支座处截面的转角

当a>b

时,右支座处截面的转角绝对值为最大将x=0和x=l分别代入转角38

简支梁的最大挠度应在处

先研究第一段梁,令得

当a>b时,x1<a

最大挠度确实在第一段梁中简支梁的最大挠度应在处先研究39

梁中点C

处的挠度为

结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的.梁中点C处的挠度为结论:40

（a）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程.只增加了(x-a)的项.

（b）对(x-a)的项作积分时,应该将(x-a)项作为积分变量.从而简化了确定积分常数的工作.积分法的原则（a）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之41连续性条件：ABLaCMxω特别强调在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。连续不光滑连续性条件：ABLaCMxω特别强调在中间铰两侧转角不同，但42例1：写出梁的边界条件、连续性条件：xωkCPABaL边界条件光滑连续性条件例1：写出梁的边界条件、连续性条件：xωkCPABaL边界条43例2：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL边界条件光滑连续性条件例2：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL边界条44

§6–4

用叠加法求弯曲变形

（Beamdeflectionsbysuperposition

）

梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载(可以是集中力,集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角,就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加.当每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和.这就是叠加原理.一、叠加原理

（Superposition）

§6–4用叠加法求弯曲变形梁451.载荷叠加（Superpositionofloads）多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和.2.结构形式叠加（逐段刚化法）：梁的变形可以看作是组成梁的每一部分单独变形的叠加。1.载荷叠加（Superpositionoflo46

按叠加原理求A点转角和C点挠度.解:（a）载荷分解如图（b）由梁的简单载荷变形表,查简单载荷引起的变形.BqFACaaF=AB+ABq按叠加原理求A点转角和C点挠度.解:（a）载荷分解如47

（c）叠加qFF=+AAABBBCaaq（c）叠加qFF=+AAABBBCaaq48例题4一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示.试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角A

,B。ABCqMel例题4一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示.试按叠加49

解:将梁上荷载分为两项简单的荷载,如图所示ABCqMe(a)lBAMe(c)lAq(b)BlCC()()()解:将梁上荷载分为两项简单的荷载,如图所示ABCqM50例题5试利用叠加法,求图所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC

和两端截面的转角A

,B

.ABCqll/2ABCq/2CABq/2q/2

解:可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加.例题5试利用叠加法,求图所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中51（1）正对称荷载作用下ABCq/2CABq/2q/2（2）反对称荷载作用下

在跨中C截面处,挠度wC等于零,但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零

可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l

/2的简支梁（1）正对称荷载作用下ABCq/2CABq/2q/2（2）反52CABq/2q/2可得到：Bq/2ACq/2将相应的位移进行叠加,即得()()()CABq/2q/2可得到：Bq/2ACq/2将相应的位移进行53例2抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC

?L/2L/2qCBA例2抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC?L/2L54qL/2L/2qCBAqq叠加法之载荷叠加法qL/2L/2qCBAqq叠加法之载荷叠加法55qqqq56ww57（1）将AC段刚化。（2）将BC段刚化。解：（3）最后结果叠加法之逐段刚化法（1）将AC段刚化。（2）将BC段刚化。解：（3）最后结果叠58例题6一抗弯刚度为EI的外伸梁受荷载如图所示,试按叠加原理并利用附表,求截面B的转角B以及A端和BC中点D的挠度wA

和wD.ABCDaa2a2qq例题6一抗弯刚度为EI的外伸梁受荷载如图所示,试按59解:ABCDaa2a2qqABAD2qqBCD解:ABCDaa2a2qqABAD2qqBCD60qBCDBAD2qBAD2qCBAD2qCC2qaBADBAD2qCqBCDBAD2qBAD2qCBAD2qCC2qaBADBA61由叠加原理得:D（1）求B

,wDBCqBCDBAD2qC由叠加原理得:D（1）求B,wDBCqBCDBAD2q62（2）求wA

因此,A端的总挠度应为qBCDBAD2qC2qaBAD（2）求wA因此,A端的总挠度应为qBCDBAD2q63二、刚度条件（Stiffnesscondition）1.数学表达式（Mathematicalformula）2.刚度条件的应用（Applicationofstiffnesscondition）（1）校核刚度（

Checkthestiffnessofthebeam）（2）设计截面尺寸（Determinetheallowableloadonthebeam）（3）求许可载荷

（Determinetherequireddimensionsofthebeam）是构件的许可挠度和转角.和二、刚度条件（Stiffnesscondition）1.数64例7下图为一空心圆杆,内外径分别为:d=40mm,D=80mm,杆的E=210GPa,工程规定C点的[w]=0.00001,B点的[]=0.001弧度,试校核此杆的刚度.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABB例7下图为一空心圆杆,内外径分别为:d=40mm,D=65解:（1）结构变换,查表求简单载荷变形.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNB+F2BC图2图3+F2BCDAM=图1F1=1kNDC解:（1）结构变换,查表求简单载荷变形.l=400mmF2=66（2）叠加求复杂载荷下的变形F2=2kN=++图1图2l=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNDBC图3F2BDAMACCF2（2）叠加求复杂载荷下的变形F2=2kN=++图1图2l=467（3）校核刚度:（rad）（3）校核刚度:（rad）68例9用叠加法计算图示阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩I2=2I1

所以：（1）刚化I1，则：解：（2）刚化I2，则：例9用叠加法计算图示阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩I2=2I169请思考试用叠加法计算图示阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩I2=2I1

请思考试用叠加法计算图示阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩I2=270一、基本概念（Basicconcepts）

1.超静定梁（staticallyindeterminatebeams）§6-5

静不定梁的解法（Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams）

单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁,称为超静定梁FABABCFFRAFRBFRC一、基本概念1.超静定梁§6-5静不定梁的解法（Solut71材料力学-第六章-弯曲变形课件72材料力学-第六章-弯曲变形课件732.“多余”约束（Redundantconstraint）

在静定梁基础上附加的约束3.“多余”反力（Redundantreaction）“多余”约束处相应的约束反力FRBABCFFABFRAFRC4.超静定次数（Degreeof

staticallyindeterminateproblem）

超静定梁的“多余”约束的数目就等于其超静定次数.n=未知力的个数-独立平衡方程的数目2.“多余”约束（Redundantconstraint）74二、求解超静定梁的步骤

(procedureforsolvingastaticallyindeterminate)1.画静定基建立相当系统：

将可动铰链支座看作多余约束,解除多余约束代之以约束反力RB.得到原超静定梁的基本静定系.2.列几何方程——变形协调方程

超静定梁在多余约束处的约束条件,梁的变形协调条件ABqqABFRB

根据变形协调条件得变形几何方程:二、求解超静定梁的步骤(procedureforsol75

3.列物理方程—变形与力的关系

查表得qAB将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程4.建立补充方程BAFRBqABFRB3.列物理方程—变形与力的关系查表得qAB将力与变76补充方程为由该式解得5.求解其它问题（反力,应力,变形等）qABFRBFRAMA求出该梁固定端的两个支反力qABBAFRB补充方程为由该式解得5.求解其它问题（反力,应力,变形等）q77

代以与其相应的多余反力偶MA

得基本静定系.

变形相容条件为

请同学们自行完成！方法二

取支座A

处阻止梁转动的约束为多余约束.ABqlABqlMA代以与其相应的多余反力偶MA得基本静定系78例题8

梁AC如图所示,梁的A端用一钢杆AD与梁AC铰接,在梁受荷载作用前,杆AD内没有内力,已知梁和杆用同样的钢材制成,材料的弹性模量为E,钢梁横截面的惯性矩为I,拉杆横截面的面积为A,其余尺寸见图,试求钢杆AD内的拉力FN.a2aABCq2qDl例题8梁AC如图所示,梁的A端用一钢杆AD与梁AC铰接,79CADBq2qAFNFNA点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点.即解:这是一次超静定问题.将AD杆与梁AC之间的连结铰看作多余约束.拉力FN为多余反力.基本静定系如图ADBCq2qFNFNA1CADBq2qAFNFNA点的变形相容条件是80变形几何方程为根据叠加法A端的挠度为BCq2qFNBCq2q在例题中已求得可算出:CFNB变形几何方程为根据叠加法A端的挠度为BCq2qFNBCq2q81拉杆AD

的伸长为:补充方程为:由此解得:ADBCq2qFNFN拉杆AD的伸长为:补充方程为:由此解得:ADBCq2qF82例题9求图示梁的支反力,并绘梁的剪力图和弯矩图.

已知EI=5103kN·m3.4m3m2mABDC30kN20kN/m例题9求图示梁的支反力,并绘梁的剪力图和弯矩图.4m83解:这是一次超静定问题

取支座B

截面上的相对转动约束为多余约束.

基本静定系为在B

支座截面上安置铰的静定梁,如图所示.4m3m2mABDC30kN20kN/m4m3m2mABDC30kN20kN/m

多余反力为分别作用于简支梁AB和BC的B端处的一对弯矩MB.

变形相容条件为，简支梁AB的B截面转角和BC梁

B

截面的转角相等.MB解:这是一次超静定问题取支座B截面上的相84由表中查得:4m3m2mABDC30kN20kN/mDAB30kN20kN/mMBC由表中查得:4m3m2mABDC30kN20kN/mDAB385补充方程为:解得:

负号表示B截面弯矩与假设相反.4m3m2mABDC30kNDAB30kN20kN/m20kN/mMBC补充方程为:解得:负号表示B截面弯矩与假设相86

由基本静定系的平衡方程可求得其余反力

在基本静定系上绘出剪力图和弯矩图.4m3m2mABDC30kN20kN/m+-32.0547.9518.4011.6431.801.603m-+++-25.6823.28由基本静定系的平衡方程在基本87§6-6提高梁刚度的措施一、改善结构、减少弯矩１、合理安排支座；２、合理安排受力；３、集中力分散；４、

ω一般与跨度有关，５、增加约束：成正比，与故可减小跨度；§6-6提高梁刚度的措施一、改善结构、减少弯矩１、合理安排88尾顶针、跟刀架或加装中间支架；较长的传动轴采用三支撑；桥梁增加桥墩。增加约束：采用超静定结构尾顶针、跟刀架或加装中间支架；较长的传动轴采用三支撑；桥梁增89采用超静定结构采用超静定结构90改变支座形式FF改变支座形式FF91改变载荷类型q=F/LF改变载荷类型q=F/LF92二、选择合理的截面形状A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，工字形、槽钢等；起重机大梁常采工字形或箱形截面；二、选择合理的截面形状A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，93起重机大梁常采工字形或箱形截面；起重机大梁常采工字形或箱形截面；94四、不宜采用高强度钢;三、加强肋盒盖、集装箱；各种钢材Ｅ大致相同。四、不宜采用高强度钢;三、加强肋盒盖、集装箱；各种钢材951、y’’=M(x)/EI在

条件下成立？A：小变形；B：材料服从虎克定律；C：挠曲线在XOY面内；D：同时满足A、B、C；2、等直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大

处一定最大。A：挠度B：