非线性电路与混沌

非线性电路混沌及其同步控制学号：0810130943姓名：孙晓光时间：2010/11/8指导老师：孙萍【摘要】本实验主要通过搭建蔡氏电路并改变电路初始条件，从而观察研究非线性电路的混沌现象及其应用。实验包括对非线性电阻I-U特性曲线的研究，和改变初始值验证混沌对初始条件的依赖性，并且观察驱动电路对响应电路的影响来探究混沌的同步，从而讨论混沌的特征及应用。通过该实验，增强了我们对非线性元件和非线性电路及混沌的认识，直观的观察混沌的产生，周期运动，倍周期与分岔，点吸引子，双吸引子，环吸引子，周期窗口的物理图像。【关键词】有源非线性负阻蔡氏电路周期振荡倍周期分岔混沌混沌同步一、引言非线性科学的发展已经历时近二百年，是一门综合性的，它给人以新的视野，通过一种崭新的科学世界观来研究事物发展的规律。在现实生活着有很多的例子，如描写打起变化的洛伦兹方程，描写人口增长得人口模型，描写电子管震荡的范德波尔方程，但是迄今为止，最丰富的混沌现象是非线性震荡电路中观察到的，这是因为电路可以精密元件控制，因策可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果，蔡氏电路是华裔科学家蔡少堂射击的能产生混沌的最简单的电路，它是首席核理解非线性现象的经典电路。后来，帕克拉和卡罗尔提出了实现混沌同步的驱动响应，混沌的同步原理的研究及其在保密通信中的应用成为研究的新热点。本实验将主要通过调节蔡氏电路中的初始参数电阻和电容来实现和观察混沌现象，理解倍周期分岔、混沌等非线性状态，学会测量、判断非线性系统的状态，了解混沌同步在通讯中的重要作用。二、原理2.1有源非线性负阻：一般的电阻器件是有线的正阻，即当电阻两端的电压升高时，电阻内的电流也会随之增加，并且i-v呈线性变化，所谓正阻，即I-U是正相关，i-v曲线的斜,Aw, — , 率F为正。相对的有非线性的器件和负阻，有源非线性负阻表现在当电阻两端的电压增大Ai时，电流减小，并且不是线性变化。负阻只有在电路中有电流是才会产生，而正阻则不论有没有电流流过总是存在的，从功率意义上说，正阻在电路中消耗功率，是耗能元件；而负阻不但不消耗功率，反而向外界输出功率，是产能元件。一般实现负阻是用正阻和运算放大器构成负阻抗变换器电路。因为放大运算器工作需要一定的工作电压，因此这种富足成为有源负阻。可等效为电路图1：u图1非线性负阻等效电路((1)电流与参考方向有关，所以:Zr~wZr~w1=-12Z2(2)TOC\o"1-5"\h\z输入阻抗为：ZN=土=-|U=?Zl (3)1 11气1 2用电路图2可以测试有源非线性负阻的i-v特性曲线，如图1所示为测试结果曲线，分为5段折现表明，加在非线性元件上的电压与通过它的电流就行是相反的，只有中间的三段这线区域可以产生负阻效应。2.1混沌：混沌是一种运动状态，是确定性中出现的无规律性，其主要特征是动力学特性对初始条件的依赖性非常敏感。一个混沌系统即使确定的又是不可预测的，也不能分解为两个子系统，通向混沌有三条主要途径：倍周期分岔道路：改变一些系统的参数，是系统周期加倍，知道丧失周期性，进入混沌；阵发性道路：在非平衡的系统中，某些参数的变化达到某一临界值是，系统会表现出在时间行为上时而周期，时而混沌的状况，最终进入混沌；准周期道路：有茹厄勒-塔根斯提出，由于某些参数的变化使得系统有不同频率的震荡相互耦合时，会产生一些新的频率，进而导致混沌。另外还有湍流道路，剪切流转等产生混沌。2.3分岔非线性电路在控制某些参数的变化后，一种新的定性不同于原来的状态出现，这些新的状态可以是定常状态、周期状态、准周期状态，也可以是混沌状态，原有形态失去稳定性后，新的形态一定会分岔出现，混沌、湍流这些复杂的状态都可以通过分岔得到。2.4吸引子在耗散的动力学系统，长时间以后状态总要烟花到有限空间的状态吸收集上，这样的状态叫吸引子，它是稳定的不动点。2.5菲根鲍姆常数一个完全确定的系统，即使非常简单，由于系统内部的非线性作用，同样具有内在的随机性，可以产生随机性的非周期运动。在许多非线性系统中，既有周期运动，又有混沌运动。菲根鲍姆发现，一个动力学系统中分岔点处参量R收敛服从普适规律。他指出，出现倍周期分岔预示着混沌的存在。5=4.6992016091029。非线性参数可以表征一个非线性系统趋于混沌的速度，5'=土二匕，5'越接近5，系统进入混沌就越快。日一日2.6非线性电路本实验以蔡氏电路为基本实验装置，蔡氏电路是能产生混沌的最简单的非线性电路，如电路图3所示，它由一个非线性电阻Rn、电感L，可调电阻R以及电容器q与c2，其中非线性电阻是核心元件，是系统产生混沌的必要条件。由基尔霍夫结点电流定律可以得到蔡氏电路的非线性动力学方程：

dUdidtRNiRdi__ldUdidtRNiRdi__l——Udtc2U-U)+iL—Uc1(4)(5)方程组中uc、Uc和iL任何一个量都可以描述系统状态，不存在解析解，只能数值求解。数值结果表明：对u、气和iL分别求解，可以得到系统相同的运动规律，即由周期震荡通过倍周期分岔进出混沌，具体发展是：周期震荡—2周期—2n周期—阵发混沌—单吸引子—双吸引子临界状态—双吸引子—稳定双吸引子。方程组中R、L、C1和C2的取值对计算结果的影响极大，取值只要发生微小变化甚至10-6量级，解就会从一个态变成另一个态，甚至从稳定态，变成不稳定态，从周期状态变成混沌状态。2.7混沌同步所谓混沌同步是指一个系统的混沌动力学轨道收敛于另一而系统的混沌动力学轨道，以至于两个系统在以后的时间里始终保持不掉的一致。方法是驱动响应方法，它将系统分为两个子系统：驱动子系统和响应子系统，然后对响应子系统进行复制，并用驱动子系统产生的信号驱动该复制的系统。混沌同步的目的是在一个相同的具有任意初始条件的形影系统中，从一个驱动系统中恢复给定的混沌轨迹。用于保密通信是，在传输前用混沌来隐藏消息，并通过混沌同步来在接收端抽取该隐藏的消息。实验中的混沌同步系统有两个相同才是电路和一个单项耦合系统构成的。相同的蔡氏电路之两个电路的元件的参数尽可能的接近，从而确保混沌同步实现的基本条件。单向耦合系统确保驱动系统能对响应系统产生影响，响应系统不能对驱动系统产生作用。如电路图4所示。三、实验内容 r @ TOC\o"1-5"\h\z3.1有源非线性负阻伏安特性的测定 x IJL如图搭建电路： 七R。 (p[Jr、改变可变电阻R的阻值，用万用表测 T0 量非线性负阻两端电压和电流变化的规律， =初步判定范围、拐点。然后连续改变R0的阻值， 图2电阻伏安特性测试电路

分别记录非线性负阻两端的电压和电流值，在拐点处要多记录数据。分析有源非线性负阻的特点。3.2观察并记录当电阻值变化时非线性电路的运动状态如图搭建蔡氏电路:图3.如图搭建蔡氏电路:图3.蔡氏电路逐渐改变可变电阻R的值，将非线性电路的电容。1和%的两端的电压信号输入到示波器中，用x-y模式显示其各个状态，观察电路从周期到准周期到混沌的变化过程，然后重新调节，记录每一个状态对应的非线性负阻两端的电压，截取各个状态的示波器显示图形，判断各个状态并分析原因。3.3观察当电容%变化时，非线性电路的运动状态，计算非线性参数如在电容C两侧并联两个电容箱（因为电容的增大和减小都要经历充电或放电的过程2所以电容变化后应稍作等候，为尽量朝一个方向增加电容，并联两个电容），然后连续改变电容，通过示波器观察非线性电路的各个状态，仔细微调节记录非线性电路从1周期到2周期，2周期到4周期，4周期到8周期的转折点的参变量C2的数值。然后根据公式&=巴二土计算非线性参数如，对比&，说明混沌的特点。日一日3.4混沌同步实验图4.混沌同步头验电路搭建两个所有元件参数一致的蔡氏电路，然后将调解电路参数是两个电路达到大致相同的混沌状态，由于稳定双吸引子状态稳定并且唯一，容易确定，一般调成双吸引子状态。然后用单向耦合系统连接两个电路，改变耦合电阻的阻值，观察并记录混沌状态，准同步状态，和同步状态，理解其意义。四、实验结果及分析4.1测量非线性负阻的I-U特性曲线图5.非线性电阻的i-v曲线拟合第一段：y=0.0024x+30.138第二段：y=-0.0004x+0.6641第三段：y=-0.0008x第四段：y=-0.0004x-0.6641第五段：y=0.0024x-30.132观察图5，图中的中间三段，体现了非线性，则该非线性负阻的工作区域是中间三段区域，即0〜10.664V。有源非线性负阻在电路中的作用是不消耗功率，反而向外界输出功率。4.2观察并记录电阻变化时非线性电路的运动状态：首先按照图3搭建好非线性电路，然后然后改变可变电阻R，观察并记录非线性电路的各种运动状态如后附件，同时测量非线性负阻两端电压数据如下：表1：非线性负阻两端电压运动状态周期振荡2周期4周期8周期阵发混沌电压/V3.59443.70163.69963.6993.579运动状态3周期单吸引子双吸引子临界双吸引子稳定双吸引子电压/V3.57493.25.96.936.484-3观察并记录当电容C2变化时非线性电路的运动状态，计算非线性参数选取不同可变电阻的R值下，观察当勺增加时非线性电路的运动状态，并记录不

同运动状态的电容值如下:表2：不同电阻下电容值运动状态2周期4周期8周期阵发混沌R较大时C值(日F)0.00380.00440.00470.0092R较小时C值3F)0.0190.0210.021420.02192由5-= 一匕可以得到日一日当R较大时:当R较小时:0.0044-0.0038 。当R较大时:当R较小时: =20.0047-0.00445'二0.021-0.019 =4.762 0.02142-0.021由于5'更接近费根鲍姆常数，所以系统为R较小时，系统更趋于混沌。2用阵发混沌和8周期的电容差值来验证当R较大时，AC=(0.0092-0.0047)日F=0.0045日F当R较小时，AC=(0.02142-0.021)日F=0.0042日F比较电容差值，当R较小时，AC较小，则系统更趋近于混沌，与非线性参数判断相同。验证成立，即R较小时，系统更趋于混沌。若将R换为电感和电容，也会出现类似结果，因为它们都是非线性电路的初始条件，电路系统各部分彼此之间相互耦合、相互影响，而混沌对于初始条件有敏感性。4.4混沌同步实验按图4搭建混沌同步电路。观察得混沌同步、准同步和去同步如附图。实验中，调节响应系统的可变电阻，当它增大时，相应系统的混沌同步现象愈来愈明显，减小到快接近零时，混沌现象遭到破坏，先变为准同步，然后去同步。改变耦合电阻，当它减小时，混沌同步现象越来越明显。4.5总结混沌的特点混沌是服从确定性规律但具有随机性的运动，其主要系统行为对初始条件很敏感。当初始条件发生微小变化时，系统可能在稳态和非稳态之间变化，或者混沌从一个运动状态运动到另外一个运动状态。混沌并不等于混乱，混沌是一种确定系统中出现的随机的运动。从全局角度看，所有的轨迹最终被捕捉到一个不变的集合，即奇怪吸引子，这表现了它的确定性。混沌是可复制的。五、 结论本实验测得了非线性负阻的I-U特性曲