平行四边形的面积

关于《平行四边形的面积》的教学思考、尝试和讨论浙江省绍兴县华舍实验学校钱建军312033、一种现象引出的一个问题：笔者曾经就平行四边形的面积知识考查过两位年龄大约30多岁的社会青年（如图）,回答都是“5*3=15”,试想,是由于受试的两位在小学阶段学习时老师没有把平行四边形转化为长方形吗？由此，笔者想到在自己六年级学生班里测试，结果有少量学生答案也是如此。可见，他们对于平行四边形面积知识并没有掌握。二、一次学习引出的更多思考：《平行四边形的面积》是人教五年级知识。为上《平行四边形的面积》这节课，笔者从中国期刊网上查阅了几十篇相关发表的文章，纵观这些材料，总的来看可以用三句话来概括:教学引入手法多样，中间展开不离转化，练习巩固讲究变化。每个设计者为使教学开场富有新意，对平行四边形面积课题引入做出多种尝试，但是不管怎么引入，中间都是用转化的方法来探究平行四边形的面积（即把平行四边形转化为等底等高的长方形），到课堂练习时，都比较重视平行四边形面积的变式训练。从中我们也可以看出，本课教学的重点从学习方法看就是转化思想，从学习内容看就是平行四边形的面积公式推导。似乎近二十年以来，我们就都是这么在教的。联系自己学习的理论文章，笔者认为：一般的教学方法都没有帮助学生建立起关于平行四边形面积的完整概念。“知其然，更知其所以然”，我们往往理解为“帮助学生知道这样是对的，并通过教学展开明白这样为什么是对的”。由于数学答案非此即彼，具有答案的唯一性。所以我们通常用'对的'去否定'错的‘。而对于为什么错？错在什么地方？错误是否可以被利用或转化？关于这方面的思考经常被我们所忽略。如上例，“5*2”是对的，因为它可以转化为长方形，长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高,面积等同。所以“5*2”是对的，所以“5*3”是错的。但我们是否想过：“5*2”的根本意义是什么呢？从乘法的角度讲它应该是5个单位（长度）与2个单位（宽度）的单位面积的乘积。这个可以通过转化体现出来。而“5*3”呢？也是如此，也应该有15个单位面积（长度5个单位，斜边3个单位）。问题在于这15个单位面积中的每一个并不是我们所规定的1平方厘米（可以通过对比发现）。我们在教学过程中就恰恰把这个重要过程省略了，而是采用了简单否定的方法。假若学生也全面地理解了平行四边形中邻边相乘的原意，那么简单封杀邻边相乘的做法是非常不可取的，甚至是错误的。因为从持续性发展的角度讲，不管是正方形、长方形还是平行四边形的面积，都可以通过邻边相乘再乘以两边夹角的正弦值来求得。只不过正方形、长方形正弦值正好是1。如果在小学里封杀了这条路径，那么学生还会有这方面的探究欲望吗？记得我们在读小学时，遇到2-5这种情况，我们（包括老师）就直接判断为题目错了，根本做不来。直到读初中了，我们突然发现，这样也能做一一“那时老师教错了”三、由思考引发的一次教学尝试：（平行四边形的面积教学片断）（一）话题引入T：今天我们一起学习的内容是平行四边形的面积，这个知识大家有没有学过？S：没学过T：我认为大家已经学过了，不信你们看。图示：3cm5cmT：你知道它的面积怎么算吗？S：5*3 （板书5*3 =15cm2）T：为什么这么算？S：因为长方形的面积计算公式：长方形面积=长*宽 （板书，与5*3位置上下相对应）T：那老师为什么说大家已经学过平行四边形的面积了？/长方形面积/S：因为长方形是特殊的平行四边形 （板书厶T：当把长方形看成平行四边形，它原来的各部分名称发生了怎样的变化？S：长方形的底变成了平行四边形的底，长方形的宽变成了平行四边形的高T：那么，这个特殊平行四边形的面积怎么计算？S：5*3=15cm2T：你认为这个特殊的平行四边形的面积计算公式是什么？/长方形面积/底*高 （板书 =底*高）（二）问题呈现T：现在我们知道了特殊的平行四边形的面积，那还有必要学这节课吗？S：—般的平行四边形面积怎么算呢？T：你是说像这样的平行四边形的面积吧？图示，请大家解答一下。S：5*3=15和5*2=10（板书）（说明：采用由特殊到一般的教学方法，把长方形放置在平行四边形的范畴中考虑，有利于学生“正强化”课堂教学实践也证明，这样引入，学生在计算平行四边形面积时出现邻边相乘的比例大大减少）T：这两种不同的算式代表了两种不同的观点：一种是认为“底*斜边”，另一种是认为“底*高”，我们这节课的最主要任务就是要弄清楚，到底是“底*斜边”还是“底*高”？（三）问题展开T：让我们一起来回顾一下当时长方形面积计算的学习过程吧（课件动画）5cmT：长方形的面积为什么是长*宽是有理由的，这里的5*3表示什么意思呢?5cm5,表示长度上有5个单位，3,表示宽度上有3个单位，计算的结果15表示有15块这样的小正方形（板书15块），而每一块这样的小正方形我们规定为（课件动画），所以最后是15cm2，实际上，在这个过程中，我们省略了*1cm2（板书：）5*3*1cm2=15cm2山块小正方形 葺块＞lcmJ（说明：这个过程可以由学生看图讲述）T：而在一般的平行四边形中，5*3的意思是也是有15块，不过不是小正方形，（如图）T：如果，这里的每一块也正好是lcm2的话，那我们的答案应该是正确的，但现在还不知道，怎么办呢？请你目测一下，这里的一小块是不是1cm2（目测很困难，想到把这两小块放在一起进行对比）T：你现在知道绿色的一块有蓝色的一块，哪个更大一些吗？S：蓝色的那块大一些T：你怎么知道的？S：把绿色的“多角”部分剪下来，移到左边去（课件动画），就知道了。T：为什么小正方形比小长方形大，就可以说小正方形比小平行四边形大？S：因为小平行四边形右边的三角块移到左边转化成小长方形时，只是形状发生变化，大小并没有变化小长方形的面积就等于小平行四边形的面积。T：现在我们知道了，各边长是lcm小平行四边形的面积并不是1cm2.所以整个平行四边形的面积并不是15cm2T：那么各边长是lcm小平行四边形的面积到底是多少呢？有谁知道这个答案？如果我们知道了这个小平行四边形的面积，那么只要15*这个数好了。板书5 *= 3 *（?）= ?15块小正方形 每块是?cm-关于这个问题的研究我们要到中学里才能得到解决。T：回顾一下，我们刚才是怎么比较出两个图形的大小的？S：通过割下来补上去这种转化的办法。T：这个转化的办法是我们数学学习中经常要用的办法，希望能引起大家的足够的重视。那么现以又有一个重要的问题产生了：是不是所有的平行四边形都能转化成和原来一样大小的长方形呢？如果可以，那么以后要算平行四边形的面积，我们都只要把它转化成长方形进行计算就可以了。现在请你用手上的材料研究一下。（下略 ）四、由教学尝试引出的讨论：1、学生已经会算长方形的面积了，为什么还要分析长方形面积计算是长*宽？我的思考：5年级学生对于长方形的面积计算确实是很熟练了，但是如果问问他们的某一位，却很少有人能回答出为什么是长*宽，那怕6年级学生也不行。计算是到达了自动化程度，但解释不了。我们不禁要问：学生这种自动化的水平是怎么形成的。这不能排除是做了许多这样的练习以后所达到。根据教学规律，任何一课新知学习以后，我们总要安排一定数量的练习作业，由中国教育的特殊国情所联想，学生不知道做了多少关于长方形面积计算的题目，到达自动化程度也是正常的。那么这里就产生了两种不同的观点，一是实用主义：只要学生会算就好。二是理论主义：知其然，更知其所以然。试想，如果只要求学生会算就好了，那么在三年级教学《面积和面积单位》时，教材还有必要要求我们花很多时间去探求长方形的面积公式吗？相信我们很多老师也那样去引导学生探求了，但为什么到到5、6年级又不会分析了呢？或许在第一次探求的时候，学生感受与理解并不十分到位；也或许是因为我们缺少回顾。实际上，长*宽正是乘法意义的体现，学生需要对长方形面积计算有一种更理性的认识。由此，也可以增强学生对平行四边形面积的理性认识。2、为什么不是直接把长方形和平行四边形进行大小比较，而是要分解为单位面积进行比较？（把长方形分解为边长为1厘米的小正方形，把平行四边形分解为边长为1厘米的小菱形进行比较）我的思考：直接拿长方形和平行四边形进行大小比较，得出面积大小，很容易直接简单地否定邻边相乘的做法——用“正确的去否定错误的”（这也正是中国期刊网数据库中本课例几十篇文章共同的地方），学生感受不深刻。如果通过比较单位面积的大小，一方面