华东师大版初中数学七年级下册课件：第7章-一次方程组

第7章一次方程组7.1二元一次方程组和它的解问题1暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛.比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.勇士队在第一轮中赛了9场，只负了2场，共得17分.

那么这个队胜了几场？又平了几场呢？情境导入你一定会解答这个问题！请将你的解法与大家交流，比较一下，谁的方法好？用算术方法解答：胜了5

场，平了2

场。方法一：[3×（9–2）–17]÷（3–1）=2（场）9–2–2=5（场）用一元一次方程解方法二：设勇士队胜了x

场，则平了（7–x）场，根据题意，得3x

+（7–x）=

17解这个方程，得x

=

5，∴7–x

=

2，答：胜了5

场，平了2

场。探索问题中有两个未知数，如果分别设为x、y，又会怎样呢？胜平合计场数得分xy73xy17探究新知设勇士队胜了x场，平了y场，那么根据题意，由上表得

x+y=7，①

3x+y=17.②两个未知数x、y必须同时满足①、②这两个方程.因此，把两个方程合在一起，并写成

x+y=7，①

3x+y=17.②上面列出的两个方程都有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1.像这样的方程，叫做二元一次方程.把这样的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.练习

下列方程组中不是二元一次方程组的是

（填序号）.③④⑤前面用算术方法或者通过列一元一次方程以求得勇士队胜了5场，平了2场，即x=5，y=2.这里的x=5与y=2既满足方程①，即5+2=7，又满足方程②，即3×5+2=17.我们就说x=5与y=2是二元一次方程组

x+y=7，

3x+y=17.

的解，并记作

x=5，

y=2.

一般地，使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.下面4组数值中，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？x=–2

y=6（1）x=3y=4（2）x=4y=3（3）x=6y

=–2（4）×√×√练习问题2某校现有校舍20

000

m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若新建校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4

倍，则应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？试一试设应拆除xm2

旧校舍，建造ym2

新校舍，

y–x=20000×30%，y=4x.

1.若方程（m–2）x|m－1|+（n+3）yn－8=6是关于x，y的二元一次方程，则m=

，n=

.09课堂练习2.下列方程中，是二元一次方程的是（

）.Dx=–1y=–2x=1y=23.下列四组数值中，

（

）是二元一次方程组的解.2x+3y=4，3x–y=–5.x=1y=–2A.D.x=–1y=2C.B.C4.根据题意，列出二元一次方程组；（1）小华买了60分与80分的邮票共10枚，花了7元2角，那么，60分和80分的邮票各买了多少枚？解：设60分的邮票买了x枚，80分的邮票买了y枚.x+y=10，60x+80y=720.（2）甲、乙两人共植树138棵，甲所植的树比乙所植的树的多8棵，试问甲、乙两人各植树多少棵？解：设甲植树x棵，乙植树y棵.x+y=138，x–y=8.含有两个未知数的一次方程二元一次方程二元一次方程组两个二元一次方程组的解归纳总结1.完成课本P26习题7.1第1、2题，2.完成练习册本课时的习题.课后作业谢谢！第7章一次方程组7.2二元一次方程组的解法第1课时运用代入法解二元一次方程组探索回顾上节课的问题2.设应拆除xm2

旧校舍，建造ym2

新校舍，

y–x=20000×30%，①y=4x.②

那么根据题意可列出方程组怎样求这个二元一次方程组的解呢？回顾导入方程②表明，y与4x的值是相等的，因此，方程①中的y可以看成4x，即将②代人①：y=4xy–x=20000×30%，可得4x–x=20000×30%.探究新知解把②代入①，得4x–x=20000×30%，3x=6000，x=2000.把x=2000代人②，得y=8000.

x=2000，

y=8000.

所以答：应拆除2000m2旧校舍，建造8000m2新校舍.从这个解法中我们可以发现：通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的这种解法叫做代入消元法，简称代入法.代入法用同样的方法解上节课问题1中的二元一次方程组.

解方程组：

x+y=7，①

3x+y=17.②这里没有一个方程是一个未知数用另一个未知数表示的形式，怎么办呢?例1解由①，得y=7–x.③将③代入②，得3x+7–x=17.解得x=5.将x=5代入③，得y=2.

x=5，

y=2.

所以练习已知方程x–2y=6，用x表示y，则y=________；用y表示x，则x=________.6+2y思考回顾并概括上面的解答过程，并想一想，怎样解方程组：

3x–5y=6，①

x+4y=–15.②解由②，得x=–15–4y.③将③代入①，得3（–15–4y

）

–5y=6.解得y=–3.将y=–3代入③，得x=–3.

x=–3，

y=–3.

所以练习

x

=

3y

+

2，①

x+3y=8.②解将①代入②，得3y

+2+3y

=8.解得y=1.将y=1代入①，得x=5.

x=5，

y=1.所以

解方程组：

2x–7y=8，①

3x–8y–10=0.②这两个方程中未知数的系数都不是1，怎么办？能不能将其中一个方程适当变形，用一个未知数来表示另一个未知数呢？例2解由①，得x=4+y.③将③代入②，得解得y=–0.8.将y=–0.8代入③，得x=1.2.

x=1.2，

y=–0.8.

所以723（4+y

）

–8y

–10=0.721.把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：解：课堂练习2.二元一次方程组的解为（）.x+2y=10y=2x

x=4y=3A.x=2y=4C.x=3y=6B.x=4y=2D.C3.用代入法解下列方程组：解：（1）把①代入②，得7x+5（x+3）=9，解得，代入①，得，

∴方程组的解为解：（2）由①，得y=–4x+15.③把③代入②得3x–2（–4x+15）=3.解得x=3.把x=3代入③，得y=3.∴方程组的解为4.小婷知道和都是二元一次方程ax+by+4=0的解，她想知道是否也是方程ax+by+4=0的解，你能帮帮她吗？说说你的方法.解：∵和都是二元一次方程ax+by+4=0的解，∴解得代入二元一次方程ax+by+4=0，得–3x+y+4=0.将代入–3x+y+4=0，得–3×3+4+4=–1≠0，∴不是方程

–3x+y+4=0的解.用一个未知数表示另一个未知数代入消元解一元一次方程得到一个未知数的值求另一个未知数的值代入法的核心思想是消元

归纳总结1.完成课本P30练习第1、2题，2.完成练习册本课时的习题.课后作业谢谢！第7章一次方程组7.2二元一次方程组的解法第2课时运用加减法解二元一次方程组复习回顾根据等式性质填空：若a=b，那么a±c=______.若a=b，那么ac=______.思考若a=b，c=d，那么a+c=b+d吗?b±cbc等于复习导入

解方程组：

3x+5y=5，①

3x–4y=23.②注意这个方程组的未知数x的系数相同，都是3.请你把这两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减，看看，能得到什么结果？探究新知例3把两个方程的两边分别相减，就消去了x，得到9y

=–18，即

y=–2.把y=–2代入①，得x=5.

x=5，

y=–2.

所以思考从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新解法吗？通过将两个方程的两边分别相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程.这种解法叫做加减消元法，简称加减法.加减法

解方程组：

3x+7y=9，①

4x–7y=5.②解①+②，得7x=14，

即x=2.将x=2代入①，得y=.

x=2，

y=.

所以3737例4

利用加减消元法解方程组时，在方程组的两个方程中:（1）某个未知数的系数互为相反数，则可以直接____________________________消去这个未知数；

（2）如果某个未知数的系数相等，则可以直接_____________________________消去这个未知数.把这两个方程中的两边分别相加把这两个方程中的两边分别相减结论：练习解方程组：①②解：①+②，得4x=8.解得x=2.把x=2代入①，得2+2y=9.解得∴这个方程组的解为

解方程组：

5x+6y=42.②

3x–4y=10，

①直接相加减不能消去一个未知数，怎么办呢？例5解由①×3，②×2，得③+④，得19x=114.解得x=6.将x=6代入②，得y=2.

x=6，

y=2.

所以

10x+12y=84.④

9x–12y=30，

③思考能否先消去x

再求解？怎么做？解由①×5，②×3，得④–③，得38y=76，解得y=2.将y=2代入②，得x=6.

x=6，

y=2.

所以

15x+18y=126.④

15x–20y=50，

③试一试在上节课例2的方程组是用代入法解的，现在用加减法试试，看哪种方法比较简便.

2x–7y=8，①

3x–8y–10=0.②解得y=–0.8.将y=–0.8代入②，得x=1.2.

x=1.2，

y=–0.8.

所以解由①×3–②×2，得–5y=4，1.用加减法解下列方程组：解：（1）②–①，得a=1.把a=1代入①，得2×1+b=3.解得b=1.∴这个方程组的解为课堂练习解：（2）②–①×4，得7y=7.解得y=1.把y=1代入②，得2x+1=3.解得x=1.∴这个方程组的解为①②2.解方程组：③代入法加减法解：由①得将③代入②，得代入③，得解：①×4–②，得代入①，得3.解下列方程组：解：（1）整理得①+②，得4y=28.解得y=7.把y=7代入①，得3x–7=8，解得x=5.∴这个方程组的解为解：（2）整理得①×3–②，得2v=4.解得v=2.把v=2代入①，得8u+18=6.解得.

∴这个方程组的解为4.已知方程组的解满足方程x+y=8，求m的值.解：①+②，得5x+5y=2m+2.又∵x+y=8，∴5×8=2m+2.解得m=19.故m的值为19.加减消元法条件：步骤：方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍变形加减求解回代写出解归纳总结1.完成课本P34练习，2.完成练习册本课时的习题.课后作业谢谢！第7章一次方程组7.2二元一次方程组的解法第3课时二元一次方程（组）的简单应用我国古代算书《孙子算经》中有一题：今有雉（鸡）兔同笼，上有35头，下有94足，问雉、兔各几何？问题情境导入设有雉x只，兔y只.根据头数、足数可得二元一次方程组：x+y=35，2x+4y=94，

某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：每天可以粗加工16吨或者精加工6吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后的利润为

2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？探究新知例6

分析：问题的关键是先解答前一个问题，即先求出安排粗加工和精加工的天数.从题目中的信息我们可以得到这样的等量关系：（1）粗加工天数+精加工天数=15；（2）粗加工任务+精加工任务=140.

解设应安排x天粗加工，y天精加工.根据题意，有

16x+6y=140.

x+y=15，

解得

x=5，

y=10.

出售这些加工后的蔬菜一共可获利1000×16×5+2000×6×10=200000（元）.答：应安排5天粗加工，10天精加工，加工后出售共可获利200000元.我们可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题.这种处理问题的过程可以进一步概括为:问题方程（组）解答分析抽象求解检验列二元一次方程组解应用题的般步骤：审弄清题意和题目中的数量关系，找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系；设根据问题设出两个未知数；列根据等量关系，列出需要的代数式，从而列出方程组;解解这个方程组，得出未知数的值；验检验所求的未知数的值是否符合题意，是否符合实际情况；写出答.答练习

甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇，试问两人的速度各是多少？分析：·甲出发点乙出发点4km··甲追上乙乙2h行程甲2h行程同时出发，同向而行··甲出发点乙出发点4km乙0.5h行程甲0.5h行程相遇地同时出发，同向而行解设甲、乙的速度分别是xkm/h，y

km/h.根据题意与分析图示的两个相等关系，得2x–2y=4，x+y=4.1212解得x=5，y=3.答：甲的速度是5km/h，乙的速度是3km/h.1.现在父亲的年龄是儿子的年龄的3倍，7年前父亲的年龄是儿子的年龄的5倍，问父亲、儿子现在的年龄分别是（

）A.42岁，14岁 B.48岁，16岁

C.36岁，12岁 D.39岁，13岁A课堂练习2.蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现这两种小虫共有腿108条和20对翅膀，则蜻蜓有____只，蝉有_____只.2163.如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，则每个小长方形的长和宽分别是多少？解：设每个小长方形的宽为

xcm，长为ycm.观察图形，得把①代入②，得x+4x=50.解得x=10.把x=10代入①，得y=40.∴这个方程组的解为答：每个小长方形的长为40cm，宽为10cm.4.用含药30%和75%的两种防腐药水，配制含药50%的防腐药水18kg，两种药水各需多少千克？解：设需含药30%的药水xkg，含药75%的药水ykg.由题意，得由②，得2x+5y=60.③③–①×2，得3y=24.解得y=8.把y=8代入①.得x=10.∴这个方程组的解为答：两种药水分别需10kg和8kg.问题方程（组）解答分析抽象求解检验处理问题的过程归纳总结1.完成课本P36习题7.2第2、3、4题，2.完成练习册本课时的习题.课后作业谢谢！第7章一次方程组7.3三元一次方程组及其解法问题在7.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数.问题导入探索在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？探究新知胜了10÷2=5（场），平了18–5×3=3（场），负了10–5–3=2（场）.方法1方法2由题意知，胜了10÷2=5（场），设平了x场，则负了（10–5–

x）场，依题意得5×3+x=18，解得x=3，所以胜了5场，平了3场，负了2场.设胜了x场，平了y

场，则负了（x–y）场.方法3依题意，得

x+y

+（x–y）=10，

3x+y=18.

解得

x=5，

y=3.

所以胜了5场，平了3场，负了2场。如果设这个队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为x、y、z，又将怎样呢？

x+y

+z

=10，①

3x+y=18，

②

x

=

y

+z.

③怎样解三元一次方程组呢？对于三元一次方程组，同样可以先消去一个（或两个）未知数，转化为二元一次方程组（或一元一次方程）求解。将③代入①和②，得到

2y

+2z

=10，④

4y+3z=18.⑤

解得

y=3，

z=2.

将y=3，z=2代入方程③，得到x=5.

x=5，

y=3，

z=2.所以试一试上面的三元一次方程组能否应用加减消元法求解？或者能否利用方程③，直接消去方程①中的y+z？比较一下，哪种方法更简便？将③代入①，得2x=10，解得

x=5.将

x=5代入②，得y=3.将

x=5，y=3代入③，得

z=2.

解方程组：

2x–3y

+4z

=3，①

3x–2y

+z

=7.②

x

+

2y–3z=1.

③解由方程②，得z=7–3x+2y.④将④分别代入①和③，得

–2x+y=–5，

5x–2y=11.

例1解这个二元一次方程组，得

x=1，

y=–3.

代入④，得z=–2.所以原方程组的解是

x=1，

y=–3，

z=–2.练习①②③解将③分别代入①和②，得5y+z=12，6y+

5z=22.

解这个二元一次方程组，得

y=2，

z

=2.

代入③，得x=8.所以原方程组的解是

x=8，

y=2，

z=2.

解方程组：

3x+4y–3z

=3，①

2x–3y–2z

=2.②

5x–3y+4z=–22.

③解③–

②，得x+2z=–8.①×3+②×4，得x–z=1.x+2z=–8，x–z=1.得方程组例2解得

x=–2，

z=–3.

代入②，得y=0.所以原方程组的解是

x=–2，

y=0，

z=–3.解三元一次方程组的基本思路是什么？

通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元1.对于方程组此三元一次方程的最优的解法是先消去（）转化为二元一次方程组.C2x+3y=5，2x+y+z=6，3x–2y–

z=–2，D.都一样课堂练习2.解下列三元一次方程组：①②③①②③解：（1）②×2+③得

x+2y=53.④④+①得

x=22.代入④得

y=代入②得

z=∴原方程的解是

解：（2）①+②得

5x+2y=16.④②+③得

3x+4y=18.⑤

⑤–④×2得

x=2.代入④得

y=3.∴原方程的解是

把

x=2，y=3代入③得z=1.3.在等式y=ax2+bx+c中，当x=–1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，c的值.解：根据题意，得三元一次方程组解得三元一次方程组定义含未知数的项的次数都是1含有3个未知数解答思路化“三元”为“二元”一共有三个方程归纳总结1.完成课本P41习题7.3第1题，2.完成练习册本课时的习题.课后作业谢谢！第7章一次方程组7.3三元一次方程组及其解法问题在7.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数.问题导入探索在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？探究新知胜了10÷2=5（场），平了18–5×3=3（场），负了10–5–3=2（场）.方法1方法2由题意知，胜了10÷2=5（场），设平了x场，则负了（10–5–

x）场，依题意得5×3+x=18，解得x=3，所以胜了5场，平了3场，负了2场.设胜了x场，平了y

场，则负了（x–y）场.方法3依题意，得

x+y

+（x–y）=10，

3x+y=18.

解得

x=5，

y=3.

所以胜了5场，平了3场，负了2场。如果设这个队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为x、y、z，又将怎样呢？

x+y

+z

=10，①

3x+y=18，

②

x

=

y

+z.

③怎样解三元一次方程组呢？对于三元一次方程组，同样可以先消去一个（或两个）未知数，转化为二元一次方程组（或一元一次方程）求解。将③代入①和②，得到

2y

+2z

=10，④

4y+3z=18.⑤

解得

y=3，

z=2.

将y=3，z=2代入方程③，得到x=5.

x=5，

y=3，

z=2.所以试一试上面的三元一次方程组能否应用加减消元法求解？或者能否利用方程③，直接消去方程①中的y+z？比较一下，哪种方法更简便？将③代入①，得2x=10，解得

x=5.将

x=5代入②，得y=3.将

x=5，y=3代入③，得

z=2.

解方程组：

2x–3y

+4z

=3，①

3x–2y

+z

=7.②

x

+

2y–3z=1.

③解由方程②，得z=7–3x+2y.④将④分别代入①和③，得

–2x