微系统设计与制造第4章课件

微系统设计中的工程力学机电学院刘晓明7/31/20231微系统设计中的工程力学机电学院7/31/20231

薄板的静力弯曲：7/31/20232薄板的静力弯曲：7/31/202327/31/202337/31/20233设质量块的位移为X（t）由牛顿第二定律得出运动方程：其通解为：

其中，振动质量块角频率（自然频率）：一、机械振动1.1基本公式简单的机械振动系统如图4-7a

7/31/20234设质量块的位移为X（t）由牛顿第二定律得出运动方

质量块的振动频率：圆周频率通常被认为是系统的自然频率，是一个用来估算包括微器件在内的固体结构谐振的非常重要的量，它的单位是弧度每秒rad/s。我们在图4-7b所示的系统中引入一个阻尼器，假设阻尼器的阻尼系数为c，它将产生一个与质量块速度成比例的减速阻尼力。运动方程被修正为：7/31/20235质量块的振动频率：7/31/20235

式中质量块的瞬时位置X（t）会取三种情况中的一种，这取决于阻尼比的大小，阻尼比被定义为：情况1：过阻尼此时解得：图4-9描述了上述解的可能情况：

从图中我们可以看出，在这种情况下，质量块的振动幅值迅速下降，因此，过阻尼在易于过量振动的机械和器件（包括微系统）的设计中是合适的。7/31/20236式中质量块的瞬时位置X（t）会取三种情况中的一种7/31/202377/31/20237情况2：临界阻尼情况此时解得：图4-10描述了上述解的可能情况：

从图中我们可以看出，在这种情况下，质量块的振动幅值开始时减小，然后在最后衰减前有一轻微增加，这种情况不如过阻尼情况理想。7/31/20238情况2：临界阻尼情况此时解得：图4-10描述了上述解的可能情7/31/202397/31/20239情况3：欠阻尼此时解得：图4-11描述了上述解的可能情况：

从图中我们可以看出，在这种情况下，尽管振幅不断衰减，质量块仍长时间保持振动状态，这种情况对于机械设计而言是最不理想的。7/31/202310情况3：欠阻尼此时解得：图4-11描述了上述解的可能情况：4.3.2共振

考虑这样一种情况，图4-7a中的简单质量块-弹簧系统受到一个谐振频率为的力，如图4-7c所示。质量块的瞬态位置X（t）的运动方程可以表示为：其中，F0是所施加力的最大幅值求解上式可得：7/31/2023114.3.2共振考虑这样一种情况，图4-7a中的简

当时，在很短的时间内，如图4-12所示，这种现象被称为质量块-弹簧系统的共振。

对于复杂几何形状的微器件，理论上存在无穷多个共振模态，这些多模态结构的共振可以归结为结构系统本身具有无穷多个固有频率。用表示结构在第n阶模态下的固有频率：

上式，当时，X（t）不确定。但是，根据洛比达法则我们可得特殊情况下的解：7/31/202312当时，在很短的时间内，7/31/2023137/31/202313

在诸如微器件这样的结构的模态分析中，上式中的刚度系数K和质量M分别被刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]替代。这些矩阵可以从有限元分析中得到。共振的后果是灾难性的，因此，结构的工程设计总是试图避免这种情况的发生，做法是提高结构的固有频率，使所有能预见到的外界激振力的频率都不会达到哪怕是最低模态的固有频率。可是，加速度计设计是一个例外，接近固有频率的振动能导致质量块更大的振幅，因此能提供更大和更灵敏的输出信号。7/31/202314在诸如微器件这样的结构的模态分析中，上式中的刚度系数4.3.4加速度计的设计理论图4-14a描述一种典型的加速度计，它由一个用弹簧和阻尼器支撑的测振质量构成。7/31/2023154.3.4加速度计的设计理论7/31/202315

其中，X是基底振动的最大振幅，t为时间，是基底振动的角频率，这个振动系统的外壳被连接到一个振动的机械上，机械的振幅x（t）可以描述为：x(t)=Xsint

如果指定y（t）为质量块m偏离初始位置的振幅，那么，质量块m相对于基底的相对运动或者净运动可以表示为：

由牛顿定律可得质量块的运动方程：7/31/202316其中，X是基底振动的最大振幅，t为时间，将关系式

代入上述方程得：由于，上式又可以表示为：这是一个二阶非齐次微分方程，它的解包括两个部分，即通解（CS）和特解（PS）。通解可以由以下齐次方程得到：加速度计设计的关键是它的特解，为了得到这部分特解，假设：其中，是输入相对于运动的相位差7/31/202317将关系式代入上述把假设解代入非齐次方成，可以确定质量块相对运动的最大幅值Z：和上面的解也可以表示为：7/31/202318把假设解代入非齐次方成，可以确定质量块相对运动的最大幅和其中为加速度计无阻尼自由振动的固有频率。为微加速计中阻尼介质的阻尼系数与临界阻尼的比（4-32a）（4-32b）7/31/202319和其中为加速度计无阻尼自由振动的固有频率。为微加速计中阻尼介很容易发现，当系统接近共振时，即时，式（4-32a）的振幅。由于h与阻尼效应有关，h=0时的自由振动将导致质量块的振幅无限大。因此阻尼参数h的选择在加速度计的设计中至关重要。阻尼对质量块振幅的影响被定性显示在图4-15中。从图中可以看出，当时，最大相对振幅近似等于测振的最大振幅；当时，有以下关系：其中，是加速度计所附着的机械的最大加速度。7/31/202320很容易发现，当系统接近共振时，即其7/31/2023217/31/2023217/31/2023227/31/2023224.3.5阻尼系数1、压膜阻尼。2、剪切阻尼。无论哪种情况，阻尼系数C都能从下面简单关系式中得到：

其中，是对运动质量的阻力，C是阻尼系数，V(t)是运动质量的速度。（4-36）7/31/2023234.3.5阻尼系数1、压膜阻尼。无论哪种情况，阻尼系数C压膜中的阻尼系数图4-21所示的系统代表了一个长2L和宽2W的振动条，它压缩一个狭窄的缝隙H（t）中的阻尼流体。如果y（t）是长条的瞬态位置，那么长条的运动速度表示为。7/31/202324压膜中的阻尼系数图4-21所示的系统代表了一个长2L和

对于不可压缩的阻尼流体介质，可以得到以下表达式：其中，H0

是流体模的名义厚度。（4-37）

联立式（4-37）与式（4-36）能得到压缩阻尼系数c：（4-38）

式（4-38）中的函数的数值与的关系在表4-2中给出。很明显，在不可压缩的压膜中的阻尼系数与流体性质无关。7/31/202325对于不可压缩的阻尼流体介质，可以得到以下（4-37）剪流中的微阻尼考虑图4-24所示的情况，其中运动质量m在周围流体中以速度V运动。假设的无滑移流体流动条件导致梁的两个表面速度轮廓呈线性分布，如图。7/31/202326剪流中的微阻尼考虑图4-24所示的情况，其中运动质量7/31/2023277/31/202327

在梁的上表面或者下表面的切应力可以表示为：

其中，是阻尼流体的动力黏度，是流体中的速度轮廓，流-固界面的流体速度为V。当前情况下的速度轮廓线遵循线性关系，也就是其中，H是梁顶部或底部与封闭外壳间的隙宽度。利用上面的速度函数，我们通过式（4-42）可求出接触表面的切应力：（4-42）

从中我们可以计算作用在梁顶面和底面的等效剪切力：7/31/202328在梁的上表面或者下表面的切应力可以表示为：其中，其中，L和b是梁的长和宽。阻尼系数c因而可以由式（4-36）计算得到：

7/31/202329其中，L和b是梁的长和宽。7/31/2023294.4热力学

一般对暴露在高温中的微机械和器件有三种严重的影响：1、材料机械强度的热效应。2、蠕变。3、热应力。4.4.1材料机械强度的热效应

如图4-31所示，大多数工程材料随温度的增加，刚度、屈服强度和极限强度会减小，这对塑料和聚合物更明显。幸运的是，许多微传感器和致动器中核心材料，包括硅、石英和Pyrex玻璃，对温度都相对不敏感。此外，这些变化在封装材料中表现更明显。7/31/2023304.4热力学一般对暴露在高温中的微机械和器件有7/31/2023317/31/2023314.4.2蠕变

当材料的温度超过材料的熔点一半时，材料中会发生蠕变。蠕变是材料不承受附加机械载荷时的一种形式的变形。如图4-33所示，一些器件的部分，例如粘接剂和焊点，会在一段时间后发生蠕变。蠕变一般分三个阶段：初期蠕变、稳态蠕变和三重蠕变。材料长期暴露在高温中时会导致有害的三重蠕变，造成器件灾难性的失效。蠕变行为的另一个重要事实是：蠕变曲线随温度增加而变得更陡。从图中我们可以看出，蠕变的三个阶段的差别在更高温度下变得越来越小，与更低温度相比，结构在这些温度下发生蠕变失效的时间更短。7/31/2023324.4.2蠕变当材料的温度超过材料的熔点一半时，材7/31/2023337/31/202333

图4-34b所示的杆，其总的膨胀或收缩可以通过公式计算，其中L是杆在参考温度下的原始长度。由此导致的热应变为：。4.4.3热应力

因为大多数微系统由不同材料的元器件组成，例如薄膜层，所以由热膨胀系数（CTE）不匹配产生的热应力需要在设计阶段被精确的评估，因为过大的热应力会导致微器件失效。因此，热应力分析是微系统设计的一个重要部分。材料由于热环境改变而膨胀或收缩的量由以下因素决定：①温度变化②材料的热膨胀系数。7/31/202334图4-34b所示的杆，其总的膨胀或收缩可以通过公式

现在分析图4-34a的情况。两端固定，当施加一个温度升高时，杆中会产生一个压应力：

下面我们讲述如何计算由于热膨胀系数不同而导致的热应力和形变。图4-35显示了一个由两个长条粘在一起的双层梁，两个条板有不同的热膨胀系数，这种情况能使长条随温度的上升或下降而产生向上或者向下的弯曲。双层板的界面力F和曲率由以下公式决定：（4-49）7/31/202335现在分析图4-34a的情况。两端固定，当施加一个温度升式（4-49）中的E1、E2分别是条板1和2的杨氏膜量。见例题4-15（4-50）

许多MEMS元件呈薄板和梁的形状，以下讲述这些结构中的热应力分布的封闭解。图4-38定义了三维固体在静力平衡状态下的应力和相应的应变分量。沿着x、y、z方向的位移分别被表示为、和。7/31/202336式（4-49）中的E1、E2分别是条板1和2的杨氏膜量。见例题4-157/31/202337例题4-157/31/2023377/31/2023387/31/202338薄板中沿厚度方向的温度变化导致的热应力

图4-39描述了一个笛卡尔坐标系定义的任意形状的薄板。假设该平板承受平面应力，这意味着在承受沿厚度方向的温度变化时，有如下情形：热应力：热应变：（4-51）（4-52a）7/31/202339薄板中沿厚度方向的温度变化导致的热应力图4-39位移分量：（4-52b），x方向

（4-53a），y方向

（4-53b），z方向

（4-53c）7/31/202340位移分量：（4-52b），x方向法向热力和热力矩根据温度函数表示为：（4-54a）（4-54b）其中，是热膨胀系数，是杨氏膜量，是材料的泊松比。7/31/202341法向热力和热力矩根据温度函数表示温度沿厚度方向变化的梁中的热应力如图4-40梁的横截面积相应的惯性矩为。弯应力是我们关心的主要应力分量：（4-55）相应的应变分量为：（4-56a）（4-56b）7/31/202342温度沿厚度方向变化的梁中的热应力如图4-40梁的沿x方向的位移分量为：（4-57