第十章-自然对流课件

高等传热学内容第一章导热理论和导热微分方程第二章稳态导热 第三章非稳态导热

第四章凝固和熔化时的导热

第五章导热问题的数值解第六章对流换热基本方程第七章层流边界层的流动与换热第八章槽道内层流流动与换热第九章湍流流动与换热第十章自然对流

第十一章热辐射基础第十二章辐射换热计算第十三章复合换热

高等传热学内容第一章导热理论和1第十章自然对流

无论内部流动或外部流动，从能量守恒的观点看，都存在流动动力问题。由流体的粘性导致可用能的损耗，因而任何流动均需要驱动力来维持。前面第七、第八章讨论的对流换热问题属于受迫对流换热的范畴，即换热是由于外力的作用导致的流动引起的，泵功率的消耗是维持流动的条件。对于粘性流体，流动中可用能的贬值是由于热力学的原因。本章将重点讨论与受迫流动不同的对流换热问题，区别不仅在热力学方面，数学方面也有明显不同。本章讨论的流动不是受迫流动，而是自然对流，其原因是由于密度变化引起的浮升力的作用。流场与温度场是耦合的，因为温度的变化将引起密度的变化。自然对流与受迫流动的另一区别是远离里面的边界条件。自然对流的自然流速度为零，且最大速度在边界层内。自然对流分为外部流动和内部流动两类。前者指半无限大空间中壁面附近的自然对流，也称为无限大空间自然对流；后者是在有限封闭空间内的自然对流。第十章自然对流无论内部流动或外部流动，从能量守恒的观点210-1自然对流层流边界层方程组

在自然对流中，密度的变化由重力场体现其影响，体积力是不能忽视的，而密度的变化又是温度引起的，因而自然对流问题与受迫流动换热的求解明显不同，动量方程与能量方程必须同时求解。在二维稳态流动情况下，如图10-1所示，自然对流的方程组为

(10-1-1)(10-1-2)(10-1-3)(10-1-4)10-1自然对流层流边界层方程组在自然对流中，密度的变310-1自然对流层流边界层方程组

10-1自然对流层流边界层方程组410-1自然对流层流边界层方程组

与第二章的方程相比较，只是在y方向动量方程增加了体积力ρg。如果考虑到边界层的特点(x～δt，y～H，H)，动量方程可简化为

(10-1-5)

(10-1-6)

(10-1-7)其中式(10-1-6)简化为

(10-1-8)10-1自然对流层流边界层方程组与第二章的方程相比较，5流动的动力是体积力项。布斯涅斯克认为，在温差不大的情况下，温度只影响密度，其它物性参数均可视为常数。此外，压力对密度的影响忽略不计。引入容积膨胀系数

(10-1-9)近似地可以写为

(10-1-10)则(10-1-11)10-1自然对流层流边界层方程组

流动的动力是体积力项6这样边界层自然对流的控制方程为

(10-1-12)

(10-1-13)(10-1-14)需要强调的是，布斯涅斯克近似的应用有一定的范围。10-1自然对流层流边界层方程组

这样边界层自然对流的控制方程为10-1自然对流层流边界层7下面进行数量级分析。考虑热边界层特点，即x～δt，y～H，分析式(10-1-14)的能量方程：对流项导热项

(10-1-15)其中，的数量级是。由连续性方程，有

(10-1-16)代入式(10-1-15)得到

(10-1-17)即

(10-1-18)然而δt是未知量。10-1自然对流层流边界层方程组

下面进行数量级分析。10-1自然对流层流边界层方程组8考虑动量方程(10-1-13)：惯性力项摩擦力项浮升力项，(10-1-19)同除以浮外力项，并代入式(10-1-18)有惯性力项摩擦力项浮升力项

1(10-1-20)其中(10-1-21)称为瑞利数。上式表明惯性力与粘性力的关系由物性Pr数制约。Pr>>1时，边界层内摩擦力与浮升力平衡；Pr<<1时，边界层内惯性力与浮升平衡。Pr>>1时

(10-1-22)10-1自然对流层流边界层方程组

考虑动量方程(10-1-13)：10-1自然对流层流边界9代入式(10-1-18)有

(10-1-23)因，则有

(10-1-24)由于Pr>>1，与第二章分析类似，δ>>δt。由于热边界层外流体等温，流动的动力来自δt。在δ层中惯性力与摩擦力平衡(见图10-2)：

(10-1-25)将代入上式得

(10-1-26)10-1自然对流层流边界层方程组

代入式(10-1-18)有10-1自然对流层流边界层方程1010-1自然对流层流边界层方程组

图10-2Pr>>1时的边界分析10-1自然对流层流边界层方程组图10-2Pr>>11从而有(10-1-27)或(10-1-28)考虑式(10-1-22)得到

(10-1-29)即高Pr数流体中，受热层推动一个更厚的未加热层。通常将δ称为速度边界层厚度的表示对于自然对流问题是不恰当的，因为速度分布由δ和δt两个变量决定，不只取决于δ。Pr<<1时，在δt层内力的平衡由惯性力项和浮升力顶构成，见图10-3。考虑式(10-I-19)的对应项

(10-1-30)10-1自然对流层流边界层方程组

从而有1210-1自然对流层流边界层方程组

10-1自然对流层流边界层方程组13而

代入式(10-1-30)有

(10-1-31)(10-1-32)(10-1-33)(10-1-34)式中，RaHPr的作用与Pr<<1情形中的RaH是一样的。定义10-1自然对流层流边界层方程组

而10-1自然对流层流边界层方程组14(10-1-35)称为布斯涅斯克数。图10-3给出了δt和v的分布。热边界层δt内动力来自浮升力，而滞止项为惯性力；在热边界层δt外流体等温且无运动，速度分布贯穿在整个δt内。δv表示速度的极值位置，其内速度由摩擦滞止到壁面的无滑移边界，即δv层内摩擦力与浮生力平衡：

(10-1-36)应用式(10-1-33)有

(10-1-37)其中(10-1-38)比较式(10-1-37)、(10-l-32)得到

(10-1-39)值得指出的是，δv不是δ。10-1自然对流层流边界层方程组

1510-2-1相似解不难观察到，竖直板附近的自然对流产生的流动层与竖直板高度相比，边界层很薄，与受迫对流不同的是其主流速度和层外静压。可以设想，竖壁附近自然对流的层流边界层也可采用相似方法来求解。1．常壁温条件的求解引入相似变量

(10-2-1)类似地引入流函数

(10-2-2)相应的边界层动量方程和能量方程为

(10-2-3)(10-2-4)10-2层流边界层的相似解与积分解

10-2-1相似解10-2层流边界层的相似解与积分解1610-2层流边界层的相似解与积分解

定义无量纲温度(10-2-5)引入无量纲流函数

(10-2-6)令

(10-2-7)则相似变量表示为

(10-2-8)(10-2-9)10-2层流边界层的相似解与积分解

定义无量纲温度1710-2层流边界层的相似解与积分解

不难求出

(10-2-10a)(10-2-10b)(10-2-11)

(10-2-12)10-2层流边界层的相似解与积分解不难求出1810-2层流边界层的相似解与积分解

将以上各项代入式(10-2-3)、（10-2-4)得到

(10-2-13)(10-2-14)边界条件为(10-2-15)式(10-2-13)、(10-2-14)为非线性常微分方程，采用数值方法求解。10-4给出了斯托克斯公式在Pr＝0.01～100范围内的速度分布和温度分布。壁面处的换热方程为

(10-2-16)无量纲化上式得则10-2层流边界层的相似解与积分解将以上各项代入式(11910-2层流边界层的相似解与积分解

10-2层流边界层的相似解与积分解2010-2层流边界层的相似解与积分解

沿竖壁平均对流换热的表面传热系数

(10-2-17)或(10-2-18)表10-1给出了与Pr数的关系。在和时得到以下结果：

(10-2-19a)

(10-2-19b)伊得给出了适用于不同Pr数的近似式：

(10-2-20)10-2层流边界层的相似解与积分解沿竖壁平均对流换热的2110-2层流边界层的相似解与积分解

10-2层流边界层的相似解与积分解2210-2层流边界层的相似解与积分解

2．常热流壁面杨光祖分析了等壁温状况，发现壁温按指数规律变化时，同样存在相似解：

(10-2-21)相似变量与常壁温相同，得到

(10-2-22)(10-2-23)当n＝0时，常数，即常壁温状态。若n＝1/5，则壁面温度的变化与常热流边界条件给定的规律一致。由式(10-2-16)有10-2层流边界层的相似解与积分解2．常热流壁面2310-2层流边界层的相似解与积分解

(10-2-24)考虑上式可写为

(10-2-25)当时，，上式变为即常热流边界条件。10-2层流边界层的相似解与积分解2410-2层流边界层的相似解与积分解

表10-2给出了常热流时的相似解。需要指出的是．尽管常热流条件存在相似解，但壁温是待定量，因而Gr不是已知值，斯帕罗等提出以下修正：

(10-2-26)式中各项均为已知值，富级(Fuji)等给出了用表示的准则关联式：

(10-2-27)一些文献指出，自然对流问题中物性变化的影响较大，应用Ra作为流态的判据。因Ra＝GrPr，主要依据并不是恰当的边界层厚度的数量级，并且它随Pr变化很大。同样，无量纲速度

采用，其随Pr数量级亦有较大的变化。10-2层流边界层的相似解与积分解表10-2给出了常热2510-2层流边界层的相似解与积分解

10-2层流边界层的相似解与积分解2610-2层流边界层的相似解与积分解

10-2-2积分解与受迫流动相似，可以采用积分方法获得层流自然对流问题的近似解。设壁面热流密度为qw，热边界层厚度为δt，并且对于Pr＝1的情况近似的δ=δt。对边界层微分方程积分，可以得到

(10-2-28)(10-2-29)其中为过余温度。边界层的速度分布假定为多项式的形式，即

(10-2-30)10-2层流边界层的相似解与积分解

10-2-2积2710-2层流边界层的相似解与积分解

其中U为参考速度。对应的边界条件为得到

(10-2-31)(10-2-32)10-2层流边界层的相似解与积分解

其中U为参考速度。2810-2层流边界层的相似解与积分解

代入积分方程得到

(10-2-33)(10-2-34)方程中的未知量为参考速度U和边界层厚度δ。假设，则有

10-2层流边界层的相似解与积分解

代入积分方程得到2910-2层流边界层的相似解与积分解

考虑方程两侧y的指数项相等，则必须存在解得

代回式(10-2-33)、(10-2-34)得到

(10-2-35)(10-2-36)而热流密度10-2层流边界层的相似解与积分解

考虑方程两侧y的指3010-2层流边界层的相似解与积分解

(10-2-37)(10-2-38)(10-2-39)壁面处为常热流条件，采用积分方法：

(10-2-40)式中10-2层流边界层的相似解与积分解

3110-3自然对流湍流流动与换热

与受迫流动一样．自然对流发展到一定程度时由层流过渡到湍流，且过渡也是在一个区域中逐渐进行的。开始过渡的位置，受外部流动的影响，如图10-5结出的层流到湍流的过渡过程。一般对空气可取作为粗略的过渡的起始判据。对自然对流湍流边界层动量与热量传递机理的研究远少于对受迫流动湍流边界层的研究。目前，对湍流自然对流的处理方法多采用与受迫流动相似的方法。理论上，两者的机理由实验观察到的情况十分相似，但自然对流的平均速度小得多。其速度场与温度场相耦合，给分析增加了很大的困准，理论分析多采用积分方法。10-3自然对流湍流流动与换热与受迫流动一样．自然对流3210-3自然对流湍流流动与换热10-3自然对流湍流流动与换热3310-3自然对流湍流流动与换热

埃克特首先提出积分法，对应的动量方程和能量方程可写为

(10-3-1)(10-3-2)为分析方便，仍假定速度边界层和温度边界层相同。假设速度分布为

(10-3-3)(10-3-4)10-3自然对流湍流流动与换热埃克特首先提出积分法，对3410-3自然对流湍流流动与换热

对应的边界条件为在处，存在速度极值，即参考速度U与湍流边界层内的最大速度成正比。因前面给出的速度分布和温度分布在壁面附近不成立，因而不能通过求导的办法得到壁面粘性切应力和热流密度。埃克特借用了受迫湍流外掠平壁的结果，即

(10-3-5)(10-3-6)10-3自然对流湍流流动与换热对应的边界条件为3510-3自然对流湍流流动与换热

将式（10-3-3）、（10-3-6）代入动量方程和能量方程，并假设参考速度和边界层厚度随y作指数变化、即，…(其中m＝1/2，n＝7/l0)，经整理得到

(10-3-7)(10-3-8)进一步得到

(10-3-9)

(10-3-10)10-3自然对流湍流流动与换热将式（10-3-3）、（3610-3自然对流湍流流动与换热

对应的平均为

(10-3-11)对于空气(Pr=0.72)可以简化为

(10-3-12)文献[6]对温度分布采用两层模型，并以为两层的分界。对于Pr＝0.73的气体，结果为

(10-3-13)邱吉尔推荐了可在整个Ra数范围内使用的公式：

(10-3-14)10-3自然对流湍流流动与换热对应3710-3自然对流湍流流动与换热

上式既适用于常壁温边界，也适用于常热流边界，定性温度。若取，则上式为

(10-3-15)考虑室内温度环境下的空气，Pr＝0.72，式(10-3-15)化为

(10-3-16)对于高Ra数，有

10-3自然对流湍流流动与换热上式既适用于常壁温边界，3810-4其他条件下的自然对流换热

10-4-1耦合边界层工程中经常存在竖壁一侧被加热，另一侧被冷却；两侧出现浮升和下沉边界层的情况，例如房间的墙和窗以及被动式太阳房的隔板。如图10-6所示的单层窗，壁面为有限厚度，两侧流体温度分别为th和tc，但无论壁面温度或壁面热流密度均是未知量，这个问题属于两个边界层耦合问题。壁面的温度不是唯一确定的，而是“浮动”的，只要满足两侧热平衡即可，其中一个边界层驱动另一个边界层。上述问题在生活中是常见的，然而有关耦合边界层传热的分析则是近年来的工作。基于线性方法给出了时的Nu数的预测，见图10-6。对动量方程和能量方程的积分尚不能封闭整个问题，还需要壁面温度的附加方程。图10-6给出的整体Nu、Ra数是基于两侧流体的温差。传热速率随壁面厚度变量增大或减小。壁面厚度变量定义为

(10-4-1)其中Δ为壁面厚度，H为壁面高度，λ、λw分别为流体和里面的导热系数。注意无量纲变量ω是壁面热阻与一侧边界层热阻量级之比。10-4其他条件下的自然对流换热10-4-1耦合边界3910-4其他条件下的自然对流换热10-4其他条件下的自然对流换热4010-4其他条件下的自然对流换热

文献[11]指出，对于双边界层的耦合的问题，用前面讨论的等热流密度的模型来近似，所得结果很满意。因此，Nu和的关系可以来用两个等热流密度边界层，包含三个串联热阻的方法来求解。图l0-6给出了所得结果，它与Oseen线性近似解一致性很好。需要指出的是，单边界层与双边界层问题所采用的温差有所不同。10-4-2倾斜壁面图10-7给出了4种倾斜壁换热的情形。壁与竖直方向的夹角为ф通常-60°＜ф＜60°(较大夹角的情形包括在水平壁面的问题中)。图10-7a、b诱导的流动趋于脱离壁面，而图10-7c、d引导的流动挤压壁面。对图10-7所示边界层流动的分析与竖壁是类似的，而只要在浮升力项中用gcosф代替g，即沿平板方向的重力加速度为gcosф。因而，在沿等温壁的层流的自然对流换热计算中采用

(10-4-2)10-4其他条件下的自然对流换热文献[11]指出，对于4110-4其他条件下的自然对流换热10-4其他条件下的自然对流换热4210-4其他条件下的自然对流换热

对于常热流的层流自然对流换热，采用

(10-4-3)在湍流区域，传热计算中仍然采用g，而不是，即倾斜的角度()对湍流的影响较小。然而维里特指出，常热流情况下倾斜角对于层流到湍流的过渡有明显的影响，表10-3给出了工质为水时(Pr＝6.5)过渡区的起始和终止范围。对于常壁温的倾斜壁面，Llody等给出了对应的过渡区Ra数与角度ф的关系，见表l0-4。10-4其他条件下的自然对流换热对于常热流的层流自然对4310-4其他条件下的自然对流换热10-4其他条件下的自然对流换热4410-4其他条件下的自然对流换热

10-4-3水平壁面水平壁面的自然对流换热问题可以分为两类(如图10-8所示)：热面向上或冷面向下；热面向下或冷面向上。当热面向上或冷面向下时，由于垂直于加热面(或冷却面)的浮升力(或下降力)诱发不稳定，使得在中央区域产生边界层脱离。当温差足够大时，被加热的流体(或被冷却的流体)将从整个表面上脱离。当热面向下或冷面向上时，边界层将会覆盖整个表匝，流体在边缘后面离开表面。对于热面向上或冷面向下的状况，LLody给出的推则方程为

(10-4-4)式中Ra数的定型尺寸，A是平板面积，P是周长。10-4其他条件下的自然对流换热10-4-3水平壁4510-4其他条件下的自然对流换热10-4其他条件下的自然对流换热4610-4其他条件下的自然对流换热

相应的热面向下或冷面向上的换热准则关系式为

(10-4-5)以上讨论的皆是常壁温边界。当边界是常热流时，仍然采用式(10-4-4)、(10-4-5)，只是采用整个平板上的平板与流体的平均温差。王启杰采用干涉的方法研究了平板自由对流换热。对于热面向上的状况，他发现并非任何情况都出现边界层脱离，其特点是随机不稳定性随Ra和平板的尺寸减少而减弱。对于30mm×30mm～100mm×100mm的乎板，实验数据总结为下式：

(10-4-6)当Ra数降低时，Nu数有所增加，其原因可能是由于平板的尺寸下降时边缘效应加大。10-4其他条件下的自然对流换热相应的热面向下或冷面向4710-4其他条件下的自然对流换热

10-4-4水平圆柱和球工程中经常见到水平圆管、竖直圆管等柱体以及球的外侧的对流换热。对于任意形状等球面水平柱体的近似作法已有详细的讨论。图10-9所示等温水平圆柱或球外侧的自然对流与沿竖壁的流动相类似，区别只是表面是曲面以及高度为圆柱直径。文献[15]给出的准则关联式为

(10-4-7)上式的适用范围是，定性温度为。当流体与球体之间存在温差产生的自然对流换热现象时，文献[16]结出了相应的关联式：

(10-4-8)适用范围为10-4其他条件下的自然对流换热10-4-4水平圆4810-4其他条件下的自然对流换热10-4其他条件下的自然对流换热4910-4其他条件下的自然对流换热

10-4-5竖直槽道内的自然对流图10-10所示是两平行竖直平板组成的竖宜槽道，板间距为b。若边界层厚度远小于平板间距，可以认为平板上形成的边界层互不影响，每一侧平板可以按前述竖直平板的自然对流问题处理。如果板间距离不大，边界层会互相影响，并最终汇合．形成一股浮升的烟囱流。此类现象通常是肋片式散热器和电子器件冷却具有的特点。这种流动与前面章节讨论的自然对流边界流动和管内受迫流动不同，被称为竖直槽道内的自然对流。由于其与前述流动的本质不同以及主要的应用背景。它已成为自然对流研究的一个主要分支。为简单起见，以图10-10所描述的现象为例分析如下。槽道内的方程组仍然是

(10-4-9)(10-4-10)(10-4-11)10-4其他条件下的自然对流换热10-4-5竖直槽5010-4其他条件下的自然对流换热10-4其他条件下的自然对流换热5110-4其他条件下的自然对流换热

考虑槽道足够长，径向速度足够大，形成充分发展流，则

(10-4-12)进一步应用充分发展流区域的压力只是流动方向x的函数，而槽道的开口与环境相连，密度为ρ∞，则有

(10-4-13)将式(10-4-12)、(10-4-13代入动量方程(10-4-10)，并应用布斯醒斯克假设，得到

(10-4-14)上式即自然对流的泊肃叶方程。求解动量方程(10-4-14)需要首先确定温度分布。而在求解能量方程获取温度分亦的过程中，又必须已知速度分布，因而温度分布和速度分布是耦合的，必须同时求解。但是，对于两个等温乎板内充分发展流的情况，温度可以近似认为

(10-4-15)10-4其他条件下的自然对流换热考虑槽道足够长，径向速5210-4其他条件下的自然对流换热

基于以上假设，式(10-4-14)的右侧为一常数，求解将非常容易。速度分布质量流量

定义通道瑞利数整体努塞尔数(10-4-16)罗森诺讨刮论了充分发展流的换热和板间距问题的关系式，给出了准则关联式。过增元率分析了变物件对竖直槽道内自然对流的影响。研究表明，通道内自然对流抽吸流量随的增加，先增加后减小，即存在质量流量最大值的问题10-4其他条件下的自然对流换热基于以上假设，式(105310-5封闭空间自然对流换热

封闭交间自然对流换热是当代重要的传热课题之一，已在工程与地球物理学等领域有了广泛的应用。封闭腔内的自然对流属于内部流动，均前面讨论的无限空间自然对流的边界层问题有根本的不同，它是由有限空间内的流体与壁面内的热交换的复杂作用引起的。无论太阳集热器和建筑物的隔热绝缘以及电子器件的散热，过是大气与地下水的环流等，均存在自然对流的现象。由于其明确的应用背景，近年来吸引了众多的研究者对其进行研究，Catton和Ostrach等给出了详细的叙述。封闭空间的自然对流现象，随封闭空间的几何形状和位置特点而变化。根据在实际应用中的特点，一般可分为两类：从侧面加热的封闭空间；从底部加热的封闭空间。前者反映的是如太阳菜热器、双面门亩以及室内空气环流的应用，后者代表的是水平面绝缘问题。10-5封闭空间自然对流换热封闭交间自然对流换热是当代5410-5封闭空间自然对流换热

10-5-1水平矩形空间如图10-11所示，矩形空间上下两表面维持不同的温度，两侧面保持绝热。水平封闭丰腔内的自然对流换热与后面提到的竖直矩形空腔内的自然对流换热有本质的不同。如果水平封闭空腔的上表面温度高于下表面的温度，由于流体的密度随温度增加而减小，空间将不出现自然对流，温度在竖直方向上是上高下低的线性分布，热量的传递依靠导热。若以板间距为定型尺寸H，则Nu数等于1。当下表面的温度高于上表面的温度时，则可能出现不稳定的现象。由稳态性理论分析表明，存在一个有限的临界Racr值，只有省以水平封闭空间的板间距为定形尺寸H时的RaH超过临界值Racr后，封闭空间的流体才丧失稳定性。当封闭空腔在水平方向上有足够的长宽时，Ostrach根据线性稳定性理沦给出了对流的临界Ra数：

(10-5-1)向湍流过渡的判据为及RaH=5830，满足RaH=45000时流动进入旺盛湍流。10-5封闭空间自然对流换热10-5-1水平矩形空5510-4其他条件下的自然对流换热10-4其他条件下的自然对流换热5610-5封闭空间自然对流换热

当Ra>1708时，断面上的流动形成对称的蜂窝流排列，这种流型通常称为Benard流。如图10-12所示，随Ra的增大，蜂窝流将变得众来愈复杂。蜂窝流的传热效应，就是在竖直方向上增大净传热速率，可以用基于竖直间距H的流动平均Nu数来反映传热的增强，即

(10-5-2)文献[21]给出了范围内的实验解：